Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов



Скачать 33.02 Kb.
Дата14.05.2013
Размер33.02 Kb.
ТипДокументы

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

доц. В.М. Мануйлов


1. Линейное пространство. Определение, примеры. Линейная оболочка. Аффинное пространство.

2. Линейная (не)зависимость системы векторов. Ранг системы векторов. Размерность. Базис. Координаты.

3. Подпространство. Факторпространство. Теорема о сумме размерностей подпространства и факторпространства.

4. Пересечение и сумма подпространств. Теорема об их размерностях. Прямая сумма двух и более подпространств. Внешняя прямая сумма.

5. Двойственное пространство. Двойственный базис. Пример базиса в двойственном пространстве к пространству многочленов.

6. Изоморфизм линейных пространств. Второе двойственное пространство. Канонический изоморфизм между пространством и его вторым двойственным.

7. Линейные отображения. Ядро и образ линейного отображения. Матрица линейного отображения. Зависимость от базиса.

8. Линейные операторы. Инвариантное подпространство. Ограничение оператора и фактор-оператор. Вид матрицы оператора, обладающего инвариантным подпространством.

9. Собственные значения и собственные векторы. Существование нетривиальных инвариантных подпространств в случае алгебраически замкнутого поля.

10. Операторы проектирования. Их алгебраическая и геометрическая характеризация.

11. Нильпотентные операторы. Теорема о нормальной форме для нильпотентного оператора.

12. Собственные значения и собственные векторы. Корневые подпространства. Аннулирующий мно­гочлен. Минимальный многочлен.

13. Теорема Гамильтона-Кэли (доказательство для алгебраически замкнутых полей).

14. Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств, (для алгебраически замкнутых полей).

15. Теорема Жордана о приведении к нормальной форме.

16. Овеществление и комплексификация линейных пространств и операторов.

17. Канонический изоморфизм . Существование одномерных или двумерных инвариантных подпространств для операторов в вещественных линейных пространствах.

18. Евклидовы (унитарные) пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.

19. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение. Проекция и ортогональная составляющая.

20. Расстояние от вектора до подпространства, угол между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов.

21. Определитель Грама . Объем n-мерного параллелепипеда. Связь между и , где – оператор.

22.
 Изоморфизмы евклидовых (унитарных) пространств. Операторы, сохраняющие скалярное произведение. Изометрии.

23. Канонический вид унитарного оператора.

24. Канонический вид ортогонального оператора.

25. Самосопряженные и кососимметрические операторы, их канонический вид.

26. Нормальные операторы, связь нормальности с диагонализируемостью.

27. Неотрицательные и положительные операторы. Существование и единственность неотрицательного квадратного корня из неотрицательного оператора.

28. Полярное разложение операторов (доказательство для невырожденного случая).

29. Билинейные, полуторалинейные, квадратичные функции. Канонический изоморфизм . Левое и правое ядро. Невырожденность.

30. Матрица билинейной (полуторалинейной) функции, ее изменение при заменах базиса. (Анти)симметричные и эрмитовы функции.

31. Ортогональное дополнение относительно (анти)симметричной билинейной (эрмитовой полуторалинейной) функции. Его размерность. Сумма подпространства и его ортогонального дополнения. Второе ортогональное дополнение.

32. Нормальный вид симметричных билинейных функций над полями и .

33. Нормальный вид эрмитовых полуторалинейных функций.

34. Нормальный вид антисимметричных билинейных функций.

35. Теорема инерции. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра.

36. Группы , , . Частные случаи.

37. Приведение симметрической билинейной (эрмитовой полуторалинейной) функции к каноническому виду в евклидовом пространстве.

38. Приведение пары квадратичных функций к диагональному виду.

39. Тензоры. Полилинейные функции. Примеры. Координатное определение тензоров.

40. Умножение тензоров. Базис в пространстве тензоров.

41. Свертка тензоров. Поднятие и опускание индексов.

42. Симметричные и кососимметричные тензоры. Симметризация и альтернирование. Внешнее умножение, его свойства.

43. Базис в пространстве кососимметрических тензоров.

44. Связь между линейной зависимостью и тривиальностью внешнего произведения.

Похожие:

Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов iconРабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" Направление подготовки 010200 «Математика и компьютерные науки»
Дисциплина "Линейная алгебра" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,...
Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов iconАналитическая геометрия и линейная алгебра
Ны «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным...
Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов icon1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Основной курс "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" предназначен для студентов первого курса отделения прикладной инфоматики...
Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2008
Евклидовы пространства: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск...
Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 2 Москва
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2...
Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов iconЛинейная алгебра и геометрия
Линейная зависимость и независимость. Признаки зависимости, связан­ные с разложениями векторов. Свойства разложений по линейно независимым...
Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов iconЛинейные операторы методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 1 Москва 2005
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 1...
Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов iconСеминарские занятия "аналитическая геометрия и линейная алгебра"
Направленные отрезки. Множество векторов. Коллинеарность и компланарность. Линейная зависимость и независимость векторов
Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов iconГраф научных интересов магистранта Мукосей О. И. механико-математический факультет
Теории полугрупп, групп, колец, модулей и алгебр, полей и многочленов; линейная и полилинейная алгебра, гомологическая алгебра и...
Линейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов iconРабочая программа дисциплины " Аналитическая геометрия и линейная алгебра " предназначена для студентов 1 курса по специальности
Рабочая программа дисциплины "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" предназначена для студентов 1 курса
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org