Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве»
|
Скачать 0.78 Mb.
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ фгоувпо «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
и программного обеспечения ЭВМ
Часть 1. Аналитическая геометрия на плоскости. Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве. Мурманск 2006 г. УДК 514.2 + 512.64 + 514.144.2 (075.8) ББК 22.151.5 + 22.143Я73 М 33 Составители – Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ; Великая Елена Евгеньевна, старший преподаватель кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ.
Рецензент – Кацуба В.С., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ Редактор Корректор Мурманский государственный технический университет, 2006 Оглавление Стр. Введение………………………………………………………………………….. 4 Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и «Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве»….......................................................................................................................... 5 Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия на плоскости»…………………………………………..……………………….…… 7
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №1...…..... 12 Справочный материал по темам «Элементы линейной алгебры. Анали- тическая геометрия в пространстве» …….…………….……………………… 19 1. Матрицы…………………………………………………………………… 19 2. Линейные операции над матрицами…………………………………….. 20 3. Определители……………………………………………………………... 21 4. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Крамера…………………………...…………… 22 5. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений при помощи обратной матрицы………………………………………...………..….. 23 6. Векторы. Операции над векторами………………………………….…... 24 7. Уравнение плоскости в пространстве…………………………….……... 27 8. Уравнения прямой в пространстве…………………………………..….. 28 Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №2……… 29 Варианты контрольных работ………………………………………………….. 39 Варианты контрольной работы №1……………………………………….. 39 Варианты контрольной работы №2……………………………………....... 42 Рекомендуемая литература …………………………………………….............. 46 Введение Основной формой обучения студентов-заочников математике является самостоятельная работа студентов над учебным материалом: чтение учебников, решение типовых задач с проверкой правильности решения, выполнение контрольных работ. В настоящем пособии содержатся список рекомендуемой литературы, методические указания к изучению теоретического материала и рекомендации по выполнению контрольной работы №1 по теме «Аналитическая геометрия на плоскости» и контрольной работы №2 по теме «Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве». В результате изучения этих тем студенты 1-го курса должны: • освоить метод координат на плоскости и научиться решать простые геометрические задачи с использованием уравнений прямой и уравнений кривых 2-го порядка; • ознакомиться с основами линейной алгебры (действия над матрицами, вычисление определителей), научиться решать системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера и при помощи обратной матрицы; • изучить основы векторной алгебры (линейные операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их приложения); • освоить метод координат в пространстве, научиться решать задачи с использованием средств аналитической геометрии. Предлагаемое пособие включает варианты контрольных работ №1 и №2 для студентов 1 курса заочной формы обучения, а также справочный материал, необходимый для выполнения каждой из этих работ. Кроме того, в пособии содержится решение примерного варианта каждой контрольной работы, в котором имеются ссылки на используемый справочный материал. Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» И «Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольных работ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением каждой из контрольных работ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи. Таблица 1. № к.раб.№ задачиСодержание (темы)Литература123411Декартовы координаты точек на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Уравнения прямой линии на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости[1], гл.III, § 9.1, 9.2, 10.1, 10.2, 10.3; [2], гл.3, §1-2, 5, 6; [3], ч.1, гл.I, № 16-20, 74, 76, 99, 100, 102, 105, 111, 113, 114, 119, 121; [4], гл.3, № 21, 24, 25, 29, 39, 86-88, 91, 94, 95, 12212Уравнения линий на плоскости в декартовых координатах[1], гл.III, §10.1; [2], гл.3, § 5; [3], ч.1, гл.I, № 44, 47, 48, 150; [4], гл.3, № 52, 55, 60-67, 136, 148, 15913, 4Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Точки пересечения линий на плоскости[1], гл.III, § 9.3, 11; [2], гл.3, § 7, 8; [3], ч.1, гл.I, № 134, 136, 144, 145, 149, 155-157, 169, 170, 187-195; [4], гл.3, № 126, 128, 139, 141, 150-152, 156 Окончание таблицы 1. 123415Полярные координаты точки на плоскости. Связь между декартовыми и полярными координатами. Уравнения линий на плоскости в полярных координатах[1], гл.III, § 9.1, 10.1; [2], гл.3, § 3, 5; [3], ч.1, гл.I, № 29, 30, 33-35, 49 -51; [4], гл.3, № 44, 45, 53(5), 54 21Матрицы. Операции над матрицами [1], гл.I, §1; [2], гл.10, § 1; [3], ч.1, гл.IV, № 399-403, 414, 41522Определители. Обратная матрица. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы [1], гл.I, § 2, 3.1, 3.2, 4.1, 4.3; [2], гл.10, § 2-4; [3], ч.1, гл.I, № 210, 211, 217, 219, 225-227; [4], гл.7, № 20-25, 38-4323Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов[1], гл.II, § 5-8; [2], гл.9, § 1-4, 6-8; [3], ч.1, гл.II, № 244, 248, 256-266, 284; [4], гл.10, №37, 47, 48, 51, 72, 73, 77, 83-8424Плоскость и прямая линия в пространстве[1], гл.IV, § 12.1-12.6; [2], гл.9, § 11-13; [3], ч.1, гл.III, № 288, 289, 302, 307, 314, 325, 333, 334, 341; [4], гл.10, № 104, 113, 119, 131, 132, 141, 151, 153 Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы. Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия на плоскости» 1. Декартова система координат (ДСК) на плоскости Расстояние |АВ| между двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ) (рис.1): |AB| = . (1) Деление отрезка в заданном отношении. Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A (рис. 1), т.е. , то координаты точки C: . (2) Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. =1, то координаты точки C: . (3) В ДСК уравнение линии имеет вид F(х, у) = 0 или у = f(х). 2. Полярная система координат (ПСК) Положение точки М в ПСК (рис.2) определяют две координаты: М , где r – полярный радиус (r = |0M|), φ = – полярный угол. ОДЗ для полярных координат: или Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то получим формулы связи между декартовыми координатами точки M(x; y) и ее полярными координатами М : и (4) Чтобы найти полярный угол φ по известному значению tgφ, нужно учесть, в какой четверти координатной плоскости находится точка М: (5) В ПСК уравнение линии имеет вид F(r, φ) = 0 или r = f(φ). 3. Прямая линия на плоскости Общее уравнение прямой на плоскости: Ах + В у + С = 0. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3): у = k x + b. (6) Уравнение вертикальной прямой (рис. 3): х = а. (7) Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М(х0; у0) (уравнение пучка прямых): у – y0 = k(x – x0). (8) Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(х1; у1) и В(х2; у2): . (9) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: . (10) Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k1 x + b1 и у = k2 x + b2. Условие параллельности прямых на плоскости: k1 = k2.. (11) Условие перпендикулярности прямых: . (12) Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то k1 = 0 и обратно: если k2 = 0, то k1 не существует. Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу: , (13) откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то . 4. Кривые второго порядка Каноническое уравнение эллипса: . (14) Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 4): O – центр эллипса; с – фокусное расстояние; F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы эллипса; |А1А2| = 2a – длина большой оси; а – большая полуось эллипса; |B1B2| = 2b – длина малой оси; b – малая полуось эллипса. Для эллипса справедливо: c2 = a2 – b2. Число называется эксцентриситетом эллипса . Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 5). В этом случае фокусы эллипса F1(0; –c), F2(0; c), эксцентриситет и справедливо c2 = b2 – a2. Если a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности: x2 + y2 = R2 , где R= a= b. В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности, фокусное расстояние с = 0, эксцентриситет окружности . Каноническое уравнение гиперболы: . (15) Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 6): O – центр гиперболы; с – фокусное расстояние; F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы гиперболы; |А1А2| = 2a – длина вещественной оси; а – вещественная полуось гиперболы; |B1B2| = 2b – длина мнимой оси; b – мнимая полуось гиперболы. Уравнения асимптот гиперболы: . Для гиперболы справедливо: с2 = a2 + b2. Число называется эксцентриситетом гиперболы . Канонические уравнения параболы. Существуют 4 вида канонических уравнений параболы: х2 = 2ру. (16) Фокус F(0; ), уравнение директрисы: у = – . Рис. 7. х2 = –2ру. (17) Фокус F(0; – ), уравнение директрисы: у = . Рис. 8. у2 = 2рх. (18) Фокус F( ; 0), уравнение директрисы: х = – . Рис. 9. у2 =–2рх . (19) Фокус F(– ; 0), уравнение директрисы: х = . Рис. 10.Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l). Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат ХОY в точку O1(α; β). При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X1O1Y1 будут (х1; у1), где (20) Примеры таких преобразований приведены в таблице 2. Таблица 2. В системе координат ХОYВ системе координат X1O1Y1 Окружность с центром в точке O1(α;β) и с радиусом R: Каноническое уравнение окружности: Эллипс с центром в точке O1(α;β): Каноническое уравнение эллипса: Гипербола с центром в точке O1(α;β): Каноническое уравнение гиперболы: .Параболы с вершиной в точке O1(α;β) или .Канонические уравнения парабол: или Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №1 Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–3; –1), В(4; 6), С(8; –2). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат. Задача 2. Даны координаты точки А(3; 0), уравнение прямой l: 3x = 4 и число λ = 3 : 2. Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ. Сделать чертеж в системе координат. Задача 3. Дано уравнение кривой 2-го порядка: . Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат. Задача 4. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой l: x + 2y –3 = 0. Требуется: 1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду; 2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой; 3) построить обе линии в исходной системе координат. Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК): . Требуется: 1) найти область определения функции ; 2) построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках = 0, 1, ….,16, принадлежащих области определения функции ; 3) найти уравнение заданной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом ПСК, а положительная полуось ОХ – с полярной осью ОР; 4) определить тип кривой. Решение задачи 1. 1) Вычислим длину стороны ВС по формуле (1): |BС|= = 2) Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (10): y = –2x + 14 – уравнение ВС. 3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле (9): и возьмем из уравнения ВС угловой коэффициент прямой ВС: . Из расположения точек A, B, C на координатной плоскости видно, что угол В в треугольнике ABC – острый, поэтому по формуле (13) вычислим . 4) Для получения уравнения высоты АK, проведенной из вершины А, используем уравнение пучка прямых (8) и условие перпендикулярности прямых (12). Сначала вычислим угловой коэффициент прямой АK . Так как , то . Уравнение AK получим по формуле (8): у – уА = kAK(x– xA) у – (–1) = (x– (–3)) x –2y + 1 = 0 – уравнение AK. 5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если AМ – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит AМ в отношении 2 : 1, начиная от точки А, т.е. . Основание медианы AМ – точка М является серединой отрезка ВС. Найдем координаты точки М по формулам (3): М(6; 2). Теперь, когда координаты концов отрезка AМ известны, найдем координаты точки P, которая делит AМ в отношении = 2, начиная от точки А, по формулам деления отрезка в заданном отношении (2): P(3; 1) – центр тяжести треугольника АВС. 6) Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY (рис. 11). Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу. Ответы: 1) длина стороны |BС| = ; 2) уравнение стороны ВС: y = –2x + 14; 3) угол при вершине В: ; 4) уравнение высоты АK: x –2y + 1 = 0; 5) координаты центра тяжести треугольника P(3; 1); 6) чертеж на рис. 11. Решение задачи 2. Пусть М(х; у) – произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющую условию задачи (рис. 12), т.е. где K – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую 3x = 4. Так как K лежит на прямой 3x = 4, то K . Запишем условие в координатной форме, используя формулу (1) для длины отрезка: . Это и есть уравнение искомой траектории, т.к. ему удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) на этой траектории. Для упрощения уравнения возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены: , откуда получаем – уравнение гиперболы с полуосями . Построим чертеж гиперболы в системе координат ХОY (рис. 13). Ответ: – уравнение траектории. Чертеж на рис. 13. Решение задачи 3. Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у: . Получили уравнение эллипса с центром в точке O1(5; – 2) (см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»). Осуществив параллельный перенос осей координат в системе XOY по формулам: получим каноническое уравнение эллипса в системе координат X1O1Y1 , где O1(5; –2) в системе XOY (рис. 14). Найдем характерные элементы эллипса: . Отсюда получаем: а = 3 – большая полуось эллипса, b = 2 – малая полуось эллипса, с = – фокусное расстояние. Координаты фокусов эллипса в системе координат X1O1Y1: F1(– ; 0), F2( ; 0). Найдем координаты фокусов в системе координат XOY: Таким образом, координаты фокусов эллипса в системе координат XOY: F1(– ; –2), F2( ;–2). Вычислим эксцентриситет эллипса: Изобразим на чертеже расположение эллипса относительно обеих систем координат (рис. 14). Ответ: – каноническое уравнение эллипса, где Характерные элементы: O1(5; –2) – центр эллипса; а = 3 – большая полуось эллипса, b = 2 – малая полуось эллипса; с = – фокусное расстояние; координаты фокусов эллипса в системе координат XOY: F1(– ; –2), F2( ;–2); эксцентриситет эллипса Чертеж на рис. 14. Решение задачи 4. 1) Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной у (квадрат переменной х в уравнении отсутствует): . Получили уравнение параболы вида с вершиной в точке (см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»). Осуществим параллельный перенос осей координат по формулам: В результате получим каноническое уравнение параболы в системе координат X1O1Y1.
Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А(3; 0) и В(1; 1). 3) Построим обе линии в системе координат XOY (рис. 15). Ответы: 1) ; 2) А(3; 0), В(1; 1); 3) чертеж на рис. 15. Решение задачи 5. 1) Область определения функции найдем из условия : При n = 0 получаем при интервалы Следовательно, область определения 2) Для построения кривой в ПСК вычислим значения функции в точках , k = 0, 1, …, 16, входящих в область определения, т.е. в точках, где выполнено условие , и заполним таблицу 3. Таблица 3. k k 00––––1π/8–99π/83,722π/8–1010π/82,833π/8–1111π/81,544π/801212π/8055π/81,5 1313π/8–66π/82,81414π/8–77π/83,71515π/8–8 416 – Для построения точек кривой в ПСК в каждом из направлений, задаваемых углом , откладываем от полюса отрезок длины . Соединив полученные таким образом точки, получаем график функции в ПСК (рис. 16). 3) Найдем уравнение кривой, заданной в ПСК уравнением , в декартовой системе координат. Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки получим: . Следовательно, уравнение кривой в ДСК имеет вид уравнения кривой 2-го порядка: . 4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у: . Это уравнение задает окружность с центром в точке O1(–2; 0) и с радиусом R = 2. Найдем координаты точки O1(–2; 0) в ПСК: , (здесь выбираем n = 1, т.к. четверти (формулы (5)). Ответы: 1) область определения: 2) чертеж на рис. 16; 3) уравнение кривой в ДСК: ; 4) тип кривой – окружность с центром в точке и с радиусом R = 2. Справочный материал по темам «Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве»
Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица, состоящая из m·n элементов (m строк и n столбцов): Amn = , где aij – элементы матрицы, i = 1,2,…, m – номер строки, j = 1,2,…, n – номер столбца. Для краткости матрицу обозначают одной буквой, например, буквой А. |
Похожие:
 | Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2008 Евклидовы пространства: Метод указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск... | | Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 2 Москва Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2... |
| Линейные операторы методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 1 Москва 2005 Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 1... | | Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр аналитическая геометрия Теоретические вопросы: Уравнения прямой на плоскости Расстояние прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости |
 | Программа курса «Аналитическая геометрия» Декартовы координаты точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Полярные, цилиндрические и сферические координаты | | Аналитическая геометрия и линейная алгебра Ны «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным... |
| На самостоятельное изучение по дисциплине «Аналитическая геометрия» выносятся следующие темы: Тема № Аффинное n-мерное пространство. Аффинная система координат на плоскости и в 3-х-мерном аффинном пространстве | | Контрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб для вузов. 5-е изд., стер. М.: Физматлит, 2002. – 317 с |
| Аналитическая геометрия Координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точек и координаты векторов | | 1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Основной курс "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" предназначен для студентов первого курса отделения прикладной инфоматики... |