Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве»



страница1/4
Дата17.05.2013
Размер0.78 Mb.
ТипМетодические указания
  1   2   3   4


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

фгоувпо «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

  • Кафедра высшей математики


и программного обеспечения ЭВМ

  • Методические рекомендации к выполнению контрольных

  • работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета

  • по дисциплине «Математика»



Часть 1.

Аналитическая геометрия на плоскости. Элементы линейной

алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве.

Мурманск

2006 г.

УДК 514.2 + 512.64 + 514.144.2 (075.8)

ББК 22.151.5 + 22.143Я73

М 33

Составители – Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Великая Елена Евгеньевна, старший преподаватель кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ.


  • Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО ЭВМ 15 февраля 2006 г., протокол № 4



Рецензент – Кацуба В.С., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ


Редактор

Корректор

Мурманский государственный технический университет, 2006

Оглавление

Стр.

Введение………………………………………………………………………….. 4

Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости»

и «Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве»….......................................................................................................................... 5

Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия на

плоскости»…………………………………………..……………………….…… 7

  1. Декартова система координат (ДСК) на плоскости………………….…. 7

  2. Полярная система координат (ПСК)…………………………………….. 7

  3. Прямая линия на плоскости……………………………………………… 8

  4. Кривые второго порядка………………………………………..………... 9

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №1...…..... 12

Справочный материал по темам «Элементы линейной алгебры. Анали-

тическая геометрия в пространстве» …….…………….……………………… 19

1. Матрицы…………………………………………………………………… 19

2. Линейные операции над матрицами…………………………………….. 20

3. Определители……………………………………………………………... 21

4. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с

тремя неизвестными методом Крамера…………………………...…………… 22

5. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений при

помощи обратной матрицы………………………………………...………..….. 23

6. Векторы. Операции над векторами………………………………….…... 24

7. Уравнение плоскости в пространстве…………………………….
……... 27

8. Уравнения прямой в пространстве…………………………………..….. 28

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №2……… 29

Варианты контрольных работ………………………………………………….. 39

Варианты контрольной работы №1……………………………………….. 39

Варианты контрольной работы №2……………………………………....... 42

Рекомендуемая литература …………………………………………….............. 46
Введение
Основной формой обучения студентов-заочников математике является самостоятельная работа студентов над учебным материалом: чтение учебников, решение типовых задач с проверкой правильности решения, выполнение контрольных работ.

В настоящем пособии содержатся список рекомендуемой литературы, методические указания к изучению теоретического материала и рекомендации по выполнению контрольной работы №1 по теме «Аналитическая геометрия на плоскости» и контрольной работы №2 по теме «Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве». В результате изучения этих тем студенты 1-го курса должны:

• освоить метод координат на плоскости и научиться решать простые геометрические задачи с использованием уравнений прямой и уравнений кривых 2-го порядка;

• ознакомиться с основами линейной алгебры (действия над матрицами, вычисление определителей), научиться решать системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера и при помощи обратной матрицы;

• изучить основы векторной алгебры (линейные операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их приложения);

• освоить метод координат в пространстве, научиться решать задачи с использованием средств аналитической геометрии.

Предлагаемое пособие включает варианты контрольных работ №1 и №2 для студентов 1 курса заочной формы обучения, а также справочный материал, необходимый для выполнения каждой из этих работ. Кроме того, в пособии содержится решение примерного варианта каждой контрольной работы, в котором имеются ссылки на используемый справочный материал.
Методические указания по темам

«Аналитическая геометрия на плоскости» И «Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве»
В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольных работ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением каждой из контрольных работ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи.

Таблица 1.



к.раб.№

задачиСодержание (темы)Литература123411Декартовы координаты точек на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Уравнения прямой линии на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости[1], гл.III, § 9.1, 9.2, 10.1, 10.2, 10.3;

[2], гл.3, §1-2, 5, 6;

[3], ч.1, гл.I, № 16-20, 74, 76, 99, 100, 102, 105, 111, 113, 114, 119, 121;

[4], гл.3, № 21, 24, 25, 29, 39, 86-88, 91, 94, 95, 12212Уравнения линий на плоскости в декартовых координатах[1], гл.III, §10.1;

[2], гл.3, § 5;

[3], ч.1, гл.I, № 44, 47, 48, 150;

[4], гл.3, № 52, 55, 60-67, 136, 148, 15913, 4Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Точки пересечения линий на плоскости[1], гл.III, § 9.3, 11;

[2], гл.3, § 7, 8;

[3], ч.1, гл.I, № 134, 136, 144, 145, 149, 155-157, 169, 170, 187-195;

[4], гл.3, № 126, 128, 139, 141, 150-152, 156 Окончание таблицы 1.
123415Полярные координаты точки на плоскости. Связь между декартовыми и полярными координатами. Уравнения линий на плоскости в полярных координатах[1], гл.III, § 9.1, 10.1;

[2], гл.3, § 3, 5;

[3], ч.1, гл.I, № 29, 30, 33-35, 49 -51;

[4], гл.3, № 44, 45, 53(5), 54 21Матрицы. Операции над матрицами [1], гл.I, §1; [2], гл.10, § 1;

[3], ч.1, гл.IV, № 399-403, 414, 41522Определители. Обратная матрица. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы [1], гл.I, § 2, 3.1, 3.2, 4.1, 4.3;

[2], гл.10, § 2-4;

[3], ч.1, гл.I, № 210, 211, 217, 219, 225-227;

[4], гл.7, № 20-25, 38-4323Линейные операции над векторами.

Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов[1], гл.II, § 5-8;

[2], гл.9, § 1-4, 6-8;

[3], ч.1, гл.II, № 244, 248, 256-266, 284;

[4], гл.10, №37, 47, 48, 51, 72, 73, 77, 83-8424Плоскость и прямая линия в пространстве[1], гл.IV, § 12.1-12.6;

[2], гл.9, § 11-13;

[3], ч.1, гл.III, № 288, 289, 302, 307, 314, 325, 333, 334, 341;

[4], гл.10, № 104, 113, 119, 131, 132, 141, 151, 153

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия на плоскости»
1. Декартова система координат (ДСК) на плоскости
Расстояние |АВ| между двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ) (рис.1):

|AB| = . (1)

Деление отрезка в заданном отношении. Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A (рис. 1), т.е. , то координаты точки C:

. (2)

Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. =1, то координаты точки C:

. (3)

В ДСК уравнение линии имеет вид F(х, у) = 0 или у = f(х).

2. Полярная система координат (ПСК)

Положение точки М в ПСК (рис.2) определяют две координаты: М , где r полярный радиус

(r = |0M|), φ = полярный угол.

ОДЗ для полярных координат: или

Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то получим формулы связи между декартовыми координатами точки M(x; y) и ее полярными координатами М :

и (4)

Чтобы найти полярный угол φ по известному значению tgφ, нужно

учесть, в какой четверти координатной плоскости находится точка М:

(5)

В ПСК уравнение линии имеет вид F(r, φ) = 0 или r = f(φ).
3. Прямая линия на плоскости
Общее уравнение прямой на плоскости:

Ах + В у + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):

у = k x + b. (6)

Уравнение вертикальной прямой (рис. 3):

х = а. (7)

Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М(х0; у0­) (уравнение пучка прямых):

у y0 = k(x x0). (8)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(х1; у1) и В(х2; у2):

. (9)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

. (10)

Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k1 x + b1 и у = k2 x + b2.

Условие параллельности прямых на плоскости:

k1 = k2.. (11)

Условие перпендикулярности прямых:

. (12)

Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то k1 = 0 и обратно: если k2 = 0, то k1 не существует.

Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:

, (13)

откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то .

4. Кривые второго порядка

Каноническое уравнение эллипса:

. (14)

Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 4):

O – центр эллипса;

с – фокусное расстояние;

F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы эллипса;

|А1А2| = 2a длина большой оси;

а – большая полуось эллипса;

|B1B2| = 2b – длина малой оси;

b – малая полуось эллипса.

Для эллипса справедливо: c2 = a2 b2.

Число называется эксцентриситетом эллипса .

Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 5).

В этом случае фокусы эллипса F1(0; –c), F2(0; c), эксцентриситет и справедливо c2 = b2a2.

Если a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности:

x2 + y2 = R2 ,

где R= a= b.

В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности, фокусное расстояние с = 0, эксцентриситет окружности .

Каноническое уравнение гиперболы:

. (15)

Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 6):

O – центр гиперболы;

с – фокусное расстояние;

F1(c; 0), F2(c; 0) фокусы гиперболы;

|А1А2| = 2a длина вещественной оси;

а – вещественная полуось гиперболы;

|B1B2| = 2b – длина мнимой оси;

b – мнимая полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы:

.

Для гиперболы справедливо: с2 = a2 + b2.

Число называется эксцентриситетом гиперболы .
Канонические уравнения параболы.

Существуют 4 вида канонических уравнений параболы:

х2 = 2ру. (16)
Фокус F(0; ), уравнение директрисы: у = – . Рис. 7.

х2 = –2ру. (17)
Фокус F(0; – ), уравнение директрисы: у = . Рис. 8.

у2 = 2рх. (18)
Фокус F( ; 0), уравнение директрисы: х = – . Рис. 9.

у2 =–2рх . (19)
Фокус F(– ; 0), уравнение директрисы: х = . Рис. 10.Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).

Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат ХОY в точку O1(α; β). При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X1O1Y1 будут (х1; у1), где

(20)

Примеры таких преобразований приведены в таблице 2.

Таблица 2.

В системе координат ХОYВ системе координат X1O1Y1 Окружность с центром в точке O1(α;β) и с радиусом R:

Каноническое уравнение окружности:

Эллипс с центром в точке O1(α;β):

Каноническое уравнение эллипса:

Гипербола с центром в точке O1(α;β): Каноническое уравнение гиперболы: .Параболы с вершиной в точке O1(α;β)

или .Канонические уравнения парабол:

или Примерный вариант и образец выполнения

контрольной работы №1
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС:

А(–3; –1), В(4; 6), С(8; –2).

Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.
Задача 2. Даны координаты точки А(3; 0), уравнение прямой l: 3x = 4 и число λ = 3 : 2.

Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ. Сделать чертеж в системе координат.
Задача 3. Дано уравнение кривой 2-го порядка: .

Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.
Задача 4. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой l: x + 2y –3 = 0.

Требуется: 1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду; 2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой; 3) построить обе линии в исходной системе координат.
Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК): .

Требуется: 1) найти область определения функции ; 2) построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках = 0, 1, ….,16, принадлежащих области определения функции ; 3) найти уравнение заданной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом ПСК, а положительная полуось ОХ – с полярной осью ОР; 4) определить тип кривой.

Решение задачи 1.

1) Вычислим длину стороны ВС по формуле (1):

|BС|= =
2) Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (10):

y = –2x + 14 – уравнение ВС.
3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле (9):



и возьмем из уравнения ВС угловой коэффициент прямой ВС: .

Из расположения точек A, B, C на координатной плоскости видно, что угол В в треугольнике ABC – острый, поэтому по формуле (13) вычислим

.
4) Для получения уравнения высоты АK, проведенной из вершины А, используем уравнение пучка прямых (8) и условие перпендикулярности прямых (12). Сначала вычислим угловой коэффициент прямой АK . Так как , то .

Уравнение AK получим по формуле (8):

у уА = kAK(xxA) у – (–1) = (x– (–3))

x –2y + 1 = 0 – уравнение AK.
5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если AМ – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит AМ в отношении 2 : 1, начиная от точки А, т.е. .

Основание медианы AМ – точка М является серединой отрезка ВС. Найдем координаты точки М по формулам (3):

М(6; 2).

Теперь, когда координаты концов отрезка AМ известны, найдем координаты точки P, которая делит AМ в отношении = 2, начиная от точки А, по формулам деления отрезка в заданном отношении (2):



P(3; 1) – центр тяжести треугольника АВС.

6) Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY (рис. 11). Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.


Ответы:

1) длина стороны |BС| = ;

2) уравнение стороны ВС: y = –2x + 14;

3) угол при вершине В: ;

4) уравнение высоты АK: x –2y + 1 = 0;

5) координаты центра тяжести треугольника P(3; 1);

6) чертеж на рис. 11.
Решение задачи 2.

Пусть М(х; у) – произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющую условию задачи (рис. 12), т.е. где K

основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую 3x = 4. Так как K лежит на прямой 3x = 4, то K .

Запишем условие в координатной форме, используя формулу (1) для длины отрезка:

.

Это и есть уравнение искомой траектории, т.к. ему удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) на этой траектории.

Для упрощения уравнения возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:



, откуда получаем

– уравнение гиперболы с полуосями

.

Построим чертеж гиперболы в системе координат ХОY (рис. 13).

Ответ: – уравнение траектории. Чертеж на рис. 13.
Решение задачи 3.

Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

.

Получили уравнение эллипса с центром в точке O1(5; – 2) (см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»).

Осуществив параллельный перенос осей координат в системе XOY по формулам: получим каноническое уравнение эллипса в системе координат X1O1Y1 , где O1(5; –2) в системе XOY (рис. 14).

Найдем характерные элементы эллипса:

.

Отсюда получаем: а = 3 большая полуось эллипса, b = 2 малая полуось эллипса, с = фокусное расстояние. Координаты фокусов эллипса в системе координат X1O1Y1: F1(– ; 0), F2( ; 0).

Найдем координаты фокусов в системе координат XOY:



Таким образом, координаты фокусов эллипса в системе координат XOY:

F1(– ; –2), F2( ;–2).

Вычислим эксцентриситет эллипса:

Изобразим на чертеже расположение эллипса относительно обеих систем координат (рис. 14).

Ответ: – каноническое уравнение эллипса, где

Характерные элементы:

O1(5; –2) – центр эллипса;

а = 3 большая полуось эллипса, b = 2 малая полуось эллипса;

с = фокусное расстояние;

координаты фокусов эллипса в системе координат XOY: F1(– ; –2), F2( ;–2);

эксцентриситет эллипса

Чертеж на рис. 14.
Решение задачи 4.

1) Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной у (квадрат переменной х в уравнении отсутствует):



.

Получили уравнение параболы вида с вершиной в точке (см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»). Осуществим параллельный перенос осей координат по формулам: В результате получим каноническое уравнение параболы в системе координат X1O1Y1.


  1. Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат XOY. Для этого решим систему уравнений:





Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А(3; 0) и В(1; 1).
3) Построим обе линии в системе координат XOY (рис. 15).
Ответы: 1) ;

2) А(3; 0), В(1; 1);

3) чертеж на рис. 15.
Решение задачи 5.
1) Область определения функции найдем из условия :



При n = 0 получаем при интервалы Следовательно, область определения
2) Для построения кривой в ПСК вычислим значения функции в точках , k = 0, 1, …, 16, входящих в область определения, т.е. в точках, где выполнено условие , и заполним таблицу 3.

Таблица 3.

k k 00––––1π/8–99π/83,722π/8–1010π/82,833π/8–1111π/81,544π/801212π/8055π/81,5 1313π/8–66π/82,81414π/8–77π/83,71515π/8–8 416

Для построения точек кривой в ПСК в каждом из направлений, задаваемых углом , откладываем от полюса отрезок длины . Соединив полученные таким образом точки, получаем график функции в ПСК (рис. 16).

3) Найдем уравнение кривой, заданной в ПСК уравнением , в декартовой системе координат.

Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки получим: . Следовательно, уравнение кривой в ДСК имеет вид уравнения кривой 2-го порядка: .
4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

.

Это уравнение задает окружность с центром в точке O1(–2; 0) и с радиусом R = 2. Найдем координаты точки O1(–2; 0) в ПСК:

,

(здесь выбираем n = 1, т.к. четверти (формулы (5)).

Ответы:

1) область определения:

2) чертеж на рис. 16;

3) уравнение кривой в ДСК: ;

4) тип кривой – окружность с центром в точке и с радиусом R = 2.


Справочный материал по темам

«Элементы линейной алгебры. Аналитическая

геометрия в пространстве»


  1. Матрицы

Матрицей размерности mn называется прямоугольная таблица, состоящая из m·n элементов (m строк и n столбцов):

Amn = , где aij – элементы матрицы,

i = 1,2,…, m – номер строки, j = 1,2,…, n – номер столбца.

Для краткости матрицу обозначают одной буквой, например, буквой А.
  1   2   3   4

Похожие:

Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2008
Евклидовы пространства: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск...
Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 2 Москва
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2...
Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» iconЛинейные операторы методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 1 Москва 2005
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 1...
Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 тр аналитическая геометрия Теоретические вопросы: Уравнения прямой на плоскости
Расстояние прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» iconПрограмма курса «Аналитическая геометрия»
Декартовы координаты точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Полярные, цилиндрические и сферические координаты
Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» iconАналитическая геометрия и линейная алгебра
Ны «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным...
Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» iconНа самостоятельное изучение по дисциплине «Аналитическая геометрия» выносятся следующие темы:
Тема № Аффинное n-мерное пространство. Аффинная система координат на плоскости и в 3-х-мерном аффинном пространстве
Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» iconКонтрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб для вузов. 5-е изд., стер. М.: Физматлит, 2002. – 317 с
Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» iconАналитическая геометрия
Координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точек и координаты векторов
Методические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве» icon1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Основной курс "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" предназначен для студентов первого курса отделения прикладной инфоматики...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org