Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды



Скачать 216.37 Kb.
Дата20.05.2013
Размер216.37 Kb.
ТипДокументы

Математический анализ. Ряды. Стр. из

Числовые ряды.
膠釣鴨音杖å. Числовым рядом называется

.
Например, .
膠釣鴨音杖å. Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм этого ряда:

.
Суммой числового ряда в этом случае называется предел

: .
厥夭儼. Исследуем на сходимость .

( )

При : .

Если , то ряд расходится.

Если , то . Ряд сходится и .

Если или , то поскольку не имеет конечного предела, ряд расходится.
Итак,

сходится при .
Если предел не существует либо бесконечен, то ряд расходится.
屢典諺à. О необходимом условии сходимости ряда.

Если ряд сходится, то (при ).
Обратное утверждение неверно, у ряда общий член , но ряд расходится.
Простейшие свойства рядов.
1. Линейность.

Если ряды и сходятся (и суммы соответственно равны и ), то линейная комбинация тоже сходится (к сумме ).

Это свойство вытекает из линейности предела:

.
2. На сходимость ряда не влияет изменение первых членов ряда:

и сходятся или расходятся одновременно, если при (конечно, суммы, в которые сходятся ряды разные).

Дело в том, что частичные суммы при этих рядов отличаются на постоянную величину: (при ). Следовательно, если имеет предел, то и имеет его (и наоборот).
Знакоположительные числовые ряды.
Речь идёт о рядах с .
屢典諺à. Критерий сходимости знакоположительных рядов.

Ряд сходится последовательность частичных сумм ограничена.
屢典諺à. 1-ый признак сравнения.

Пусть . Тогда:

1. Если сходится, то сходится.

2. Если расходится, то расходится.
屢典諺à. 2-ой признак сравнения.

Пусть и - знакоположительные ряды, причём при . Тогда эти два ряда сходятся или расходятся одновременно.

屢典諺à. Признак Даламбера.

Пусть . Тогда:

1. Если , то ряд сходится.

2. Если , то ряд расходится.

屢典諺à. Радикальный признак Коши.

Пусть и существует предел ( ). Тогда:

1. Если , то ряд сходится.

2. Если , то ряд расходится.
屢典諺à. Интегральный признак Коши.

Пусть определена на , непрерывна там и является невозрастающей. Тогда ряд сходится сходится интеграл .
厥夭儼. Исследование ряда Дирихле.

( ).

монотонно убывает, непрерывна.

сходится при и расходится при . Следовательно:

сходится при и расходится при .
Оценить частичные сумма ряда можно следующим способом (следует из доказательства теоремы об интегральном признаке Коши):

.
Пример оценки для гармонического ряда.



при .
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
膠釣鴨音杖å. Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид:

(или ), где .

Ряды, не являющиеся знакопостоянными ( или ) называются знакопеременными.
Например, - знакочередующийся ряд, - знакопеременный ряд.
Признак Даламбера и оба признака Коши в случае знакопеременных и знакочередующихся рядов не работают!
膠釣鴨音杖å. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится.
膠釣鴨音杖å. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся.
屢典諺à. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
屢典諺à. Признак Лейбница.

Пусть монотонно невозрастает и . Тогда ряд сходится.
Функциональные последовательности и ряды.
膠釣鴨音杖å. Пусть множество ограничено сверху (т.е. ). Тогда супремумом называется минимальное из чисел , таких что .

Максимальным из чисел множества заменить нельзя. Такого может не быть.
屢典諺à. Супремум ограниченного сверху множества существует и единственен.
膠釣鴨音杖å. Пусть множество ограничено снизу (т.е. ). Тогда инфиниумом называется наибольшее из чисел , таких что .
膠釣鴨音杖å. Пусть ограничена сверху на множестве (т.е. при ). Тогда , где , а - множество значений функции при .
Аналогично определение для .
Вообще говоря, супремум – это замена понятия максимума, если у функции нет точки максимума.
厥夭儼.


膠釣鴨音杖å. Рассмотрим последовательность , зависящую от параметра , .

, т.е. последовательность функций с областью определения .

При любом значении параметра последовательность может быть сходящейся или расходящейся.

Множеством (областью) сходимости последовательности называется множество , при которых является сходящейся. Предел этой последовательности обозначается через , а область определения – через .
厥夭儼.

, .

Если , то . Если , то . При остальных последовательность расходится.

Следовательно, множество сходимости , а предельная функция .
膠釣鴨音杖å. Говорят, что сходится к равномерно на множестве , если при .
屢典諺à. Пусть состоит их непрерывных на множестве функций и сходится равномерно к . Тогда тоже непрерывна.
膠釣鴨音杖å. Пусть - функциональная последовательность, . Рассмотрим ряд . Этот ряд сходится при некоторых , и множество таких называется множеством (областью) сходимости этого ряда.
Сумма ряда зависит от : .
膠釣鴨音杖å. Ряд называется равномерно сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится равномерно к .
卵抑增淳å из теоремы о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности.

Пусть непрерывна на и равномерно сходится на . Тогда является непрерывной на .
В самом деле, - это непрерывная функция. сходится к равномерно на , следовательно, непрерывна.
屢典諺à. Вейерштрасса о равномерной сходимости рядов.

Пусть , и сходится. Тогда сходится равномерно. Т.е. если функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым, то сходится равномерно.
屢典諺à. Об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Пусть сходится равномерно на к . Тогда сходится равномерно к ( ).
卵抑增淳å. Пусть ряд сходится равномерно к на . Тогда сходится равномерно к .
Т.е. функцию можно интегрировать почленно.
厥夭儼.

, причём ряд сходится равномерно на ( ). Тогда

- новая формула.


屢典諺à. Пусть ряд удовлетворяет следующим условиям:

  1. непрерывно дифференцируема на .

  2. равномерно сходится к на .

  3. сходится хотя бы в одной точке .

Тогда исходный ряд сходится равномерно на к некоторым и .
厥夭儼.

.

Формально дифференцируем:

- этот ряд сходится равномерно на , т.к. мажорируется сходящимся числовым рядом.

; - сходится.

По третьему условию теоремы: ряд сходится в

- сходится (т.к. ).

Следовательно, , причём .
Степенные ряды.
膠釣鴨音杖å. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,

где - коэффициенты степенного ряда, - центр ряда.
屢典諺à. Абеля.

Пусть ряд сходится в точке . Тогда он сходится при любом , удовлетворяющем неравенству , причём на любом отрезке внутри интервала сходимость равномерная.
卵抑增淳å из теоремы Абеля.

Если ряд расходится в точке , то он расходится и при .
Действительно, если бы он сходился при , то он сходился бы и в точке по теореме Абеля.
屢典諺à. О радиусе сходимости.

Для каждого степенного ряда существует , удовлетворяющее свойствам:

  1. Если , то ряд сходится только при .

  2. Если , то ряд сходится при .

  3. Если , то ряд сходится при и расходится при .

Сходимость на любом отрезке внутри интервала равномерная.
Это число называется радиусом сходимости степенного ряда.
堵橓阻鴨杖å о равномерной сходимости.

Если , то в точке ( ) ряд сходится, следовательно, по теореме Абеля он сходится равномерно на .
屢典諺à. Формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

1. Если существует (конечный или бесконечный) предел , то радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле:

.

2. Если существует (конечный или бесконечный) предел , то:

.
행靭妬杖å. Ряд с центром сводится к заменой .

Все наши результаты переносятся на общие степенные ряды.

В частности, ряд сходится на и расходится вне соответствующего отрезка.
屢典諺à. Если ряд имеет радиус сходимости , то такой же радиус сходимости имеют ряды и .
Итак, если формально проинтегрировать или продифференцировать ряд , то радиус сходимости не изменится.

卵抑增淳å.

Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать внутри интервала сходимости , т.е. если , то

.
Указанные ряды сходятся равномерно на любом отрезке . Это является обоснованием следствия и из него вытекает, что функции можно сколько угодно много раз дифференцировать.

При этом

.

Итак,

.
Это – формула для коэффициентов Тейлора-Маклорена функции . Т.о. если , то ( ).
厥夭儼.

Рассмотрим ряд



Это означает, что . Функция с такими производными: .

( ).
厥夭儼.





Здесь формулы для радиуса сходимости напрямую не работают, т.к. все нечётные коэффициенты равны . Замена: .



, т.е. ряд сходится.

, т.е. исходный ряд сходится при .

厥夭儼.


厥夭儼.



Т.е. ряд сходится на .

Можно показать, что , т.е. ряд сходится и при ).
厥夭儼.


厥夭儼.

1.


2. Интеграл Пуассона.





( )




3. Интегральный синус.



( )


4. Интеграл Френеля.



Три слагаемых дают ответ с погрешностью .
Ряды Фурье.
Рассмотрим простейшую гармоническую функцию:

,

где - амплитуда, - фазовый сдвиг. Функция периодична с периодом .
, т.е. функция вида .

Но функция вида также является -периодической.
膠釣鴨音杖å. Тригонометрическим многочленом степеней (периода ) называется сумма

.

(период ).
厥抑依蓮杖å. Коэффициенты и для тригонометрического многочлена вычисляются при помощи формул:


Однако, эти формулы имеют смысл не только для тригонометрического многочлена, но и для любой непрерывной на функции.
屢典諺à. О равномерной сходимости ряда Фурье.

Пусть - -периодичная непрерывная на всей оси функция, имеющая кусочно-непрерывную производную . Тогда ряд Фурье этой функции равномерно сходится на всей оси.
屢典諺à. О поточечной сходимости ряда Фурье.

Пусть - -периодичная функция, удовлетворяющая условию Дирихле: - кусочно-непрерывная функция и отрезок можно разбить на интервалы, на каждом из которых функция ограничена, монотонна и непрерывна.

Тогда ряд Фурье сходится всюду на оси, причём


ÿ卽孼猥.

, - односторонние пределы в .

厥抑依蓮杖å. Î скорости убывания коэффициентов Фурье.

Пусть непрерывна и имеет непрерывные производные до порядка включительно и .

Тогда и .
«Геометрические» методы в теории рядов Фурье.
Напомним, что линейным пространством (векторным пространством) называется множество объектов (векторов), которые можно складывать и умножать на числа.
Рассмотрим линейное пространство , состоящее из кусочно-непрерывных функций на . Над функциями определены операции умножения на число и сложения, причём результирующие функции будут являться кусочно-непрерывными.
Скалярным произведением в линейном пространстве назовём число , сопоставленное любой паре векторов и , обладающее свойствами:

  1. .

  2. , причём .

  3. .


В можно ввести скалярное произведение: .

樂迹增循 скалярного произведения:

  1. .

  2. , причём .

  3. , вытекает из линейности интеграла.


В евклидовом пространстве (пространстве с определённым в нём скалярным произведением) есть следующие понятия.
1. Ортогональность (перпендикулярность).


2. Неравенство Коши-Буняковского.



В :


3. Норма (длина) вектора.



в :



В дальнейшем чтобы отличать норму в , будем обозначать .
Из свойств скалярного произведения (в любом евклидовом пространстве) вытекают свойства норм:

, причём .

(неравенство треугольника).

.
В нетривиальным является только неравенство треугольника:

.
Пространство не является конечномерным, т.е. в нём нет конечного базиса.
Рассмотрим функции

.

Эти функции попарно ортогональны: при . Или: при .

при

при .
Итак, - ортогональный набор векторов.
Среднее квадратичное отклонение.
Напомним, что . Норма порождает понятие расстояния в пространстве :

.

Такая величина называется средним квадратичным уклонением от .
На рисунке - малая величина, а - большая величина.
膠釣鴨音杖å. Пусть - последовательность функций в . Она называется сходящейся в смысле средних квадратов (в среднем) к , если

.

(равномерно сходится к нулю).
厥夭儼.




при .

Отметим, что не сходится равномерно к нулю, т.к.

.

Есть ещё поточечная сходимость функциональных последовательностей. Напомним, что поточено, если .

Задача о наилучшем приближении.
Пусть и - ортонормированная система элементов :



Нужно найти линейную комбинацию наименее уклоняющуюся в смысле средних квадратов от .
屢典諺à. О наилучшем приближении.

Решение задачи о наилучшем приближении:

, где .

Такие коэффициенты называются коэффициентами Фурье функции по системе .

Доказательство.

Рассмотрим



при .

.

Видно, что правая часть минимальна если , т.е. .
행靭妬杖å. Из доказательства видно, что квадрат уклонения равен

.
Геометрический смысл.
.

Лучший выбор – проекция.




.

Что будет, если увеличивать ? Пусть у нас есть бесконечный набор . Из замечания видно, что .

При получаем - неравенство Бесселя.
Кроме того, из формулы получаем:

при при , т.е. .
Ряд называется рядом Фурье функции по бесконечной системе .
Ряд Фурье сходится в смысле квадратов, если в смысле квадратов.
Из написанного вытекает, что - равенство Персеваля.
膠釣鴨音杖å. Система называется полной в , если справедливо равенство Персеваля



(или, что то же самое, ряд Фурье сходится к ).
Неравенство Бесселя для неортонормированных ортогональных систем.


- ортогональная, не нормированная система;



屢典諺à. Ортогональная система является полной в пространстве , т.е. ряд Фурье по этой системе сходится в смысле средних квадратов .
Вычислим нормы.


Равенство Персеваля для неортонормированных ортогональных систем.
В силу теоремы есть полнота системы выполнено равенство Персеваля.

Имеем равенство Персеваля:


Похожие:

Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды iconСуммируя числовые ряды…
Эйлера-Маскерони. Есть еще странные ряды типа 1-1+1-1+1-1+1-, сумма которых считается по-разному (варианты: 1,0,1/2). Замечу, что...
Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды iconЧисловые ряды. Функциональные последовательности и ряды
Понятие числового ряда. Критерий Коши. Необходимое и достаточное услорие сходимости рядов с неотрицательными членами
Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды iconНижний Новгород 2005 г. Удк 517 ббк в161. 31 к-84 к-84 Числовые ряды. Учебно
К-84 Числовые ряды. Учебно-методическая разработка. Составители Круглова С. С., Шишина В. Т. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского...
Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды iconТема Числовые ряды. Функциональные ряды
Если при исследовании ряда на сходимость по признаку Д`Аламбера установлено, что, это означает, что
Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды iconАннотации базовой части дисциплин циклов фгос математический и естественнонаучный цикл
Математический анализ; последовательности и ряды; дифференциальное и интегральное исчисления; ххх гармонический анализ; дифференциальные...
Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды iconВысшая математика с-6,12 (ЭнМИ) 3 семестр, 33 (зач., экз.), 2004-2005 уч г
Числовые ряды. Частичная сумма и остаток ряда. Свойства сходящихся числовых рядов. Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными...
Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды iconРабочей программы дисциплины Кратные интегралы и ряды Место дисциплины в структуре ооп
Изучению курса предшествуют следующие дисциплины: «Математический анализ I», «Математический анализ ii», «Алгебра и геометрия»
Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды iconРяды Числовые ряды
Коши, Даламбера. Доказательство теоремы о том, что признак Коши сильнее признака Даламбера. Интегральный признак Коши. Теорема Лейбница...
Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды iconУчебная программа Дисциплины б2 «Математический анализ ii» по направлению 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»
Дисциплины «Математический анализ ii» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями функций...
Математический анализ. Ряды. Стр из Числовые ряды iconМатематический анализ (Кратные интегралы и ряды) для мк-201, мт-201
Непрерывность, интегрирование, дифференцируемость предела функциональной последовательности
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org