для студентов 1 курса ФВМ, ФЗТА Вариант № 1 Пример 1 Найти . Решение.
1 способ.
Применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения запишем:
2 способ.
Поскольку исходная функция есть алгебраическая сумма элементарных функций, непрерывных в области определения, а, следовательно, и при , то согласно определению непрерывности функции имеем
. Пример 2 Найти .
Решение.
При непосредственной подстановке предельного значения числитель и знаменатель обращаются в нуль.
.
.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.
При непосредственной подстановке предельного значения числитель и знаменатель обращаются в нуль.
.
Имеем неопределённость вида . Используя формулу
для раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель на сопряжённый двучлен , а затем при наличии общего множителя сократим на него дробь.
Пример 4 Найти . Решение.
При числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:
Пример 5 Найти Решение.
При непосредственной подстановке предельного значения числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости избавимся от иррациональности сделав замену . Тогда при
Затем после преобразований сократим дробь на общий множитель.
Пример 6 Найти .
Решение.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разделим почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень , т.е. на , предварительно раскрыв скобки.
Вариант № 2 Пример 1 Найти Решение.
При числитель дроби стремится к числу 4, а знаменатель к числу 2.
Следовательно, применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения можно записать
Возможен и другой способ (см. вариант №1). Пример 2 Найти Решение.
При непосредственной подстановке предельного значения числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.
Для квадратного трёхчлена
,
где
Для получим:
.
Числитель разложим на множители следующим образом:
Тогда
Пример 3 Найти Решение.
При непосредственной подстановке предельного значения числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Используя формулу
для раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель соответственно на сопряжённые двучлены и , а затем при наличии общего множителя сократим на него дробь.
Пример 4 Найти Решение.
При числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределенность с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:
Пример 5 Найти Решение.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разделим почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень , т.е. на (при извлечении корня имеем 1-ю степень).
Пример 6 Найти . Решение.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости сделаем замену при , а затем разделим почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень , т.е. на .
Вариант № 3
Пример 1 Найти Решение.
При числитель дроби стремится к 0, а знаменатель к числу 10.
Следовательно, применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения можно записать
Возможен и другой способ (см. вариант № 1).
Пример 2 Найти Решение.
При непосредственной подстановке предельного значения числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.
Для квадратного трёхчлена
где
Для получим:
Знаменатель разложим по формуле
Для получим:
Тогда
Пример 3 Найти Решение.
При непосредственной подстановке предельного значения числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель соответственно на сопряжённые двучлены и , а затем при наличии общего множителя сократим на него дробь.
Пример 4 Найти
Решение.
При числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:
Пример 5 Найти Решение.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости сделаем замену ( ; при ), а затем разделим почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень , т.е. на .
Пример 6 Найти Решение.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разделим почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень , т.е. на .