Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения



Скачать 193.51 Kb.
Дата08.10.2012
Размер193.51 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

Р. Б. Лапшина

Типовая расчетная работа по теме: «Дифференциальные уравнения»

и методические рекомендации к ней

для студентов очной формы обучения для инженерных направлений


Учебно-методическое пособие

Саранск 2012

ТР Дифференциальные уравнения

Часть 1. Дифференциальные уравнения первого порядка и второго порядка, допускающие понижение порядка

Теоретические вопросы:

1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным.

3. Линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли.

4. Дифференциальные уравнения - ого порядка, допускающие понижение порядка.

5. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Расчетные задания

Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

1.1 1) ; 2) ;

3) .

1.2 1) ; 2) ;

3) .

1.3 1) ; 2) ;

3) .

1.4 1) ; 2) ;

3) .

1.5 1) ; 2) ;

3) .

1.6 1) ; 2) ;

3) .

1.7 1) ; 2) ;

3) .

1.8 1) ; 2) ;

3) .

1.9 1) ; 2) ;

3) .

1.10 1) ; 2) ;

3) .

1.11 1) ; 2) ;

3) .

1.12 1) ; 2) ;

3) .

1.13 1) ; 2) ;

3) .

1.14 1) ; 2) ;

3) .

1.15 1) ; 2) ;

3) .

1.16 1) ; 2) ;

3) .

1.17 1) ;

2) ;

3) .

1.18 1) ; 2) ;

3) .

1.19 1) ; 2) ;

3) .


1.20 1) ; 2) ;

3) .

1.21 1) ; 2) ;

3) .

1.22 1) ;

2) ;

3) .

1.23 1) ; 2) ;

3) .

1.24 1) ; 2) ;

3) .

1.25 1) ;

2) ;

3) .

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию.

2.1 , .

2.2 , .

2.3 , .

2.4 , .

2.5 , .

2.6. , .

2.7. , .

2.8 , .

2.9 , .

2.10 , .

2.11 , .

2.12 , .

2.13 , .

2.14 , .

2.15 , .

2.16 , .

2.17 , .

2.18 , .

2.19 , .

2.20 , .

2.21 , .

2.22 , .

2.23 , .

2.24 , .

2.25 , .
Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить полученное значение функции при с точностью до двух знаков после запятой.

3.1 , , , , .

3.2 , , , .

3.3 , , , .

3.4 , , , , .

3.5 , , , .

3.6 , , , .

3.7 , , , .

3.8 , , , , .

3.9 , , , .

3.10 , , , .

3.11 , , .

3.12 , , , .

3.13 , , , , .

3.14 , , , .

3.15 , , , .

3.16 , , .

3.17 , , , , .

3.18 , , , ,

3.19 , , , .

3.20 , , , .

3.21 , , , .

3.22 , . , .

3.23 , , , .

3.24 , , , .

3.25 , , , .

Задание 4. Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

4.1 1) , 2) , , .

4.2 1) , 2) , , .

4.3 1) , 2) , , .

4.4 1) , 2) , , .

4.5 1) , 2) , , .

4.6 1) , 2) , , .

4.7 1) , 2) , , .

4.8 1) , 2) , , .

4.9 1) , 2) , , .

4.10 1) , 2) , , .

4.11 1) , 2) , , .

4.12 1) , 2) , , .

4.13 1) , 2) , , .

4.14 1) , 2) , , .

4.15 1) , , , 2) .

4.16 1) , 2) , , .

4.17 1) , 2) , , .

4.18 1) , 2) , , .

4.19 1) , 2) , , .

4.20 1) , 2) , , .

4.21 1) , 2) , , .

4.22 1) , 2) , , .

4.23 1) , 2) , , .

4.24 1) , 2) , , .

4.25 1) , 2) , , .
Часть 2. Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Теоретические вопросы:

1. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.

2. Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.

3. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

4. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.

5. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

6. Линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (метод характеристического уравнения, метод исключения).
Расчетные задания

Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

1.1 1) ; 2) ;

3) .

1.2 1) ; 2) ;

3) .

1.3 1) ; 2) ;

3) .

1.4 1) ; 2) ;

3) .

1.5 1) , 2) ;

3) .

1.6 1) ; 2) ;

3) .

1.7 1) , 2) ;

3) .

1.8 1) ; 2) ;

3) .

1.9 1) ; 2) ;

3) .

1.10 1) ; 2) ;

3) .

1.11 1) ; 2) ;

3) .

1.12 1) ; 2) ;

3) .

1.13 1) ; 2) ;

3) .

1.14 1) ; 2) ;

3) .

1.15 1) ; 2) .

3) .

1.16 1) ; 2) ;

3) .

1.17 1) ; 2) ;

3) .

1.18 1) ; 2) ;

3) .

1.19 1) ; 2) ;

3) .

1.20 1) ; 2) ;

3) .

1.21 1) ; 2) ;

3) .

1.22 1) ; 2) ;

3) .

1.23 1) ; 2) ;

3) .

1.24 1) ; 2) ;

3) .

1.25 1) ; 2) ;

3) .
Задание 2. Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.

2.1

а) ; б) .

2.2

а) ; б) .

2.3

а) ; б) .

2.4

а) ; б) .

2.5

а) ; б) .

2.6

а) ; б) .

2.7

а) ; б) .

2.8

а) ; б) .

2.9

а) ; б) .

2.10

а) ; б) .

2.11

а) ; б) .

2.12

а) ; б) .

2.13

а) ; б) .

2.14

а) ; б) .

2.15

а) ; б) .

2.16

а) ; б) .

2.17

а) ; б) .

2.18

а) ; б) .

2.19

а) ; б) .

2.20

а) ; б) .

2.21

а) ; б) .

2.22

а) ; б) .

2.23

а) ; б) .

2.24

а) ; б) .

2.25

а) ; б) .
Задание 3. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

3.1 1) , 2) .

3.2 1) ; 2) .

3.3 1) ; 2) .

3.4 1) ; 2) .

3.5 1) ; 2) .

3.6 1) ; 2) .

3.7 1) , 2) .

3.8 1) ; 2) .

3.9 1) ; 2) .

3.10 1) ; 2) .

3.11 1) , 2) .

3.12 1) ; 2) .

3.13 1) ; 2) .

3.14 1) ; 2) .

3.15 1) ; 2) .

3.16 1) ; 2) .

3.17 1) ; 2) .

3.18 1) ; 2) .

3.19 1) ; 2) .

3.20 1) ; 2) .

3.21 1) ; 2) .

3.22 1) ; 2) .

3.23 1) ; 2) .

3.24 1) ; 2) .

3.25 1) ; 2) .
Задание 4. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных.

4.1 4.2

4.3 ; 4.4

4.5 ; 4.6

4.7 4.8

4.9 4.10

4.11 4.12

4.13 4.14

4.15 4.16

4.17 4.18

4.19 4.20

4.21 4.22

4.23 4.24

4.25
Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами: 1) сведением к дифференциальному уравнению; 2) с помощью характеристического уравнения.

5.1 5.2

5.3 5.4

5.5 5.6

5.7 5.8

5.9 5.10

5.11 5.12

5.13 5.14

5.15 5.16

5.17 5.18

5.19 5.20

5.21 5.22

5.23 5.24

5.25

Методические рекомендации к выполнению ТР

Основные теоретические сведения

1. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его общим интегралом будет

.

2. Дифференциальное уравнение называется однородным относительно переменных и , если - однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е. . Данное уравнение с помощью замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3. Уравнение называется линейным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения находим по формуле

.

4. Уравнение вида

,

где и - постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением.

Если корни характеристического уравнения действительны и различны, то общий интеграл уравнения выражается формулой

.

Если , то общий интеграл уравнения находится по формуле

.

Если , то общее решение уравнения находится по формуле

.

5. Уравнение вида



называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение уравнения , то общее решение уравнения имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения уравнения методом неопределенных коэффициентов.

Пусть , тогда

1) , если не является корнем характеристического уравнения;

2) , если является простым корнем характеристического уравнения;

3) , если двукратным корнем характеристического уравнения.

Пусть , тогда:

1) , если число является корнем характеристического уравнения;

2) , если число не является корнем характеристического уравнения.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

- НДУ

- структура общего решения НДУ.

Характеристическое уравнение имеет корни , .

- общее решение ОДУ.

По функции запишем структуру частного решения .

.



Найденные выражения , , подставляем в исходное уравнение и, разделив обе его части на , получаем уравнение

.

Приравнивая коэффициенты при , , , получаем систему, решая ее находим и .

.

, .

- частное решение НДУ.

- общее решение ОДУ.

Пример 2. Найти решение дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.



Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде , . Требуется определить постоянные и удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая на , получим систему уравнений:



Составляем характеристическое уравнение и решаем его:



- корни характеристического уравнения.

Корню соответствует система

или .

Полагаем , тогда . Получаем решение системы:

, .

Корню соответствует система

или

Получаем , тогда . Получим решение системы:

, .

Общее решение исходной системы имеет вид




Похожие:

Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 тр аналитическая геометрия Теоретические вопросы: Уравнения прямой на плоскости
Расстояние прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения iconУчебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012

Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Алгебраические структуры
Под внутренней операцией понимается при этом, по существу, функция (не обязательно всюду определенная) нескольких аргументов из со...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Лабораторная работа № Бинарные отношения
Построить граф и график этого отношения. Какими свойствами обладает это отношение? Решение
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Отображения. Функции Сведения из теории
Пусть даны некоторые множества и. Бинарное соответствие из в называется отображением множества в множество, если
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены
Задача 45. Указать системы показателей и степень следующих одночленов от неизвестных
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса Сведения из теории
Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы линейных уравнений с несколькими неизвестными
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Результант. Дискриминант Рассмотрим два многочлена натуральной степени над полем
Дискриминант тогда и только тогда равен нулю, когда многочлен имеет хотя бы один кратный корень
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org