Учебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения
|
Скачать 193.51 Kb.
|
| МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва» Р. Б. Лапшина Типовая расчетная работа по теме: «Дифференциальные уравнения» и методические рекомендации к ней для студентов очной формы обучения для инженерных направлений Учебно-методическое пособие Саранск 2012 ТР Дифференциальные уравнения Часть 1. Дифференциальные уравнения первого порядка и второго порядка, допускающие понижение порядка Теоретические вопросы: 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. 2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным. 3. Линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли. 4. Дифференциальные уравнения - ого порядка, допускающие понижение порядка. 5. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Расчетные задания Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений. 1.1 1) ; 2) ; 3) . 1.2 1) ; 2) ; 3) . 1.3 1) ; 2) ; 3) . 1.4 1) ; 2) ; 3) . 1.5 1) ; 2) ; 3) . 1.6 1) ; 2) ; 3) . 1.7 1) ; 2) ; 3) . 1.8 1) ; 2) ; 3) . 1.9 1) ; 2) ; 3) . 1.10 1) ; 2) ; 3) . 1.11 1) ; 2) ; 3) . 1.12 1) ; 2) ; 3) . 1.13 1) ; 2) ; 3) . 1.14 1) ; 2) ; 3) . 1.15 1) ; 2) ; 3) . 1.16 1) ; 2) ; 3) . 1.17 1) ; 2) ; 3) . 1.18 1) ; 2) ; 3) . 1.19 1) ; 2) ; 3) . 1.20 1) ; 2) ; 3) . 1.21 1) ; 2) ; 3) . 1.22 1) ; 2) ; 3) . 1.23 1) ; 2) ; 3) . 1.24 1) ; 2) ; 3) . 1.25 1) ; 2) ; 3) . Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию. 2.1 , . 2.2 , . 2.3 , . 2.4 , . 2.5 , . 2.6. , . 2.7. , . 2.8 , . 2.9 , . 2.10 , . 2.11 , . 2.12 , . 2.13 , . 2.14 , . 2.15 , . 2.16 , . 2.17 , . 2.18 , . 2.19 , . 2.20 , . 2.21 , . 2.22 , . 2.23 , . 2.24 , . 2.25 , . Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить полученное значение функции при с точностью до двух знаков после запятой. 3.1 , , , , . 3.2 , , , . 3.3 , , , . 3.4 , , , , . 3.5 , , , . 3.6 , , , . 3.7 , , , . 3.8 , , , , . 3.9 , , , . 3.10 , , , . 3.11 , , . 3.12 , , , . 3.13 , , , , . 3.14 , , , . 3.15 , , , . 3.16 , , . 3.17 , , , , . 3.18 , , , , 3.19 , , , . 3.20 , , , . 3.21 , , , . 3.22 , . , . 3.23 , , , . 3.24 , , , . 3.25 , , , . Задание 4. Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. 4.1 1) , 2) , , . 4.2 1) , 2) , , . 4.3 1) , 2) , , . 4.4 1) , 2) , , . 4.5 1) , 2) , , . 4.6 1) , 2) , , . 4.7 1) , 2) , , . 4.8 1) , 2) , , . 4.9 1) , 2) , , . 4.10 1) , 2) , , . 4.11 1) , 2) , , . 4.12 1) , 2) , , . 4.13 1) , 2) , , . 4.14 1) , 2) , , . 4.15 1) , , , 2) . 4.16 1) , 2) , , . 4.17 1) , 2) , , . 4.18 1) , 2) , , . 4.19 1) , 2) , , . 4.20 1) , 2) , , . 4.21 1) , 2) , , . 4.22 1) , 2) , , . 4.23 1) , 2) , , . 4.24 1) , 2) , , . 4.25 1) , 2) , , . Часть 2. Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Теоретические вопросы: 1. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функций. 2. Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения. 3. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Структура общего решения. 4. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. 5. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. 6. Линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (метод характеристического уравнения, метод исключения). Расчетные задания Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений. 1.1 1) ; 2) ; 3) . 1.2 1) ; 2) ; 3) . 1.3 1) ; 2) ; 3) . 1.4 1) ; 2) ; 3) . 1.5 1) , 2) ; 3) . 1.6 1) ; 2) ; 3) . 1.7 1) , 2) ; 3) . 1.8 1) ; 2) ; 3) . 1.9 1) ; 2) ; 3) . 1.10 1) ; 2) ; 3) . 1.11 1) ; 2) ; 3) . 1.12 1) ; 2) ; 3) . 1.13 1) ; 2) ; 3) . 1.14 1) ; 2) ; 3) . 1.15 1) ; 2) . 3) . 1.16 1) ; 2) ; 3) . 1.17 1) ; 2) ; 3) . 1.18 1) ; 2) ; 3) . 1.19 1) ; 2) ; 3) . 1.20 1) ; 2) ; 3) . 1.21 1) ; 2) ; 3) . 1.22 1) ; 2) ; 3) . 1.23 1) ; 2) ; 3) . 1.24 1) ; 2) ; 3) . 1.25 1) ; 2) ; 3) . Задание 2. Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части. 2.1 а) ; б) . 2.2 а) ; б) . 2.3 а) ; б) . 2.4 а) ; б) . 2.5 а) ; б) . 2.6 а) ; б) . 2.7 а) ; б) . 2.8 а) ; б) . 2.9 а) ; б) . 2.10 а) ; б) . 2.11 а) ; б) . 2.12 а) ; б) . 2.13 а) ; б) . 2.14 а) ; б) . 2.15 а) ; б) . 2.16 а) ; б) . 2.17 а) ; б) . 2.18 а) ; б) . 2.19 а) ; б) . 2.20 а) ; б) . 2.21 а) ; б) . 2.22 а) ; б) . 2.23 а) ; б) . 2.24 а) ; б) . 2.25 а) ; б) . Задание 3. Найти общее решение дифференциальных уравнений. 3.1 1) , 2) . 3.2 1) ; 2) . 3.3 1) ; 2) . 3.4 1) ; 2) . 3.5 1) ; 2) . 3.6 1) ; 2) . 3.7 1) , 2) . 3.8 1) ; 2) . 3.9 1) ; 2) . 3.10 1) ; 2) . 3.11 1) , 2) . 3.12 1) ; 2) . 3.13 1) ; 2) . 3.14 1) ; 2) . 3.15 1) ; 2) . 3.16 1) ; 2) . 3.17 1) ; 2) . 3.18 1) ; 2) . 3.19 1) ; 2) . 3.20 1) ; 2) . 3.21 1) ; 2) . 3.22 1) ; 2) . 3.23 1) ; 2) . 3.24 1) ; 2) . 3.25 1) ; 2) . Задание 4. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных. 4.1 4.2 4.3 ; 4.4 4.5 ; 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами: 1) сведением к дифференциальному уравнению; 2) с помощью характеристического уравнения. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 Методические рекомендации к выполнению ТР Основные теоретические сведения 1. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его общим интегралом будет . 2. Дифференциальное уравнение называется однородным относительно переменных и , если - однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е. . Данное уравнение с помощью замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными. 3. Уравнение называется линейным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения находим по формуле . 4. Уравнение вида , где и - постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением. Если корни характеристического уравнения действительны и различны, то общий интеграл уравнения выражается формулой . Если , то общий интеграл уравнения находится по формуле . Если , то общее решение уравнения находится по формуле . 5. Уравнение вида называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение уравнения , то общее решение уравнения имеет вид . Укажем правило нахождения частного решения уравнения методом неопределенных коэффициентов. Пусть , тогда 1) , если не является корнем характеристического уравнения; 2) , если является простым корнем характеристического уравнения; 3) , если двукратным корнем характеристического уравнения. Пусть , тогда: 1) , если число является корнем характеристического уравнения; 2) , если число не является корнем характеристического уравнения. Пример 1. Найти общее решение уравнения - НДУ - структура общего решения НДУ. Характеристическое уравнение имеет корни , . - общее решение ОДУ. По функции запишем структуру частного решения . . Найденные выражения , , подставляем в исходное уравнение и, разделив обе его части на , получаем уравнение . Приравнивая коэффициенты при , , , получаем систему, решая ее находим и . . , . - частное решение НДУ. - общее решение ОДУ. Пример 2. Найти решение дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения. Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде , . Требуется определить постоянные и удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая на , получим систему уравнений: Составляем характеристическое уравнение и решаем его: - корни характеристического уравнения. Корню соответствует система или . Полагаем , тогда . Получаем решение системы: , . Корню соответствует система или Получаем , тогда . Получим решение системы: , . Общее решение исходной системы имеет вид |
