Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов



Скачать 122.41 Kb.
Дата10.06.2013
Размер122.41 Kb.
ТипУрок
Урок геометрии в 9 классе
ТЕОРЕМА СИНУСОВ И

КОСИНУСОВ
На уроке рассматриваются различные доказательства теоремы синусов и теоремы косинусов, их применение при решении задач.

Тема. Теорема синусов и косинусов.

Цели: 1) доказать теорему синусов и косинусов и показать их применение

при решении задач

2) закрепить теорему о площади треугольника и совершенствовать

навыки решения задач на ее применение

3) развивать мышление, логику, интерес к предмету.
Ход урока.
I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания
№40 - рабочая тетрадь

№1023.
В С

Дано: АВСД – прямоугольник

∠СОД = 30º, АС = 10 см

___________________________


Найти: S АВСD

А D
Решение: S △OCD = S △AOB = ½ OC OD sin ∠COD

∠BOC = 180º - ∠ COD; sin ∠ BOC = sin(180º - ∠COD) = sin ∠COD
S△ BOC = S△ AOD = ½ AO OC sin∠ COD;

S △OCD = S △ AOB = S △ BOC = S △ AOD = ½ OC OD sin ∠ COD
Пусть диагональ прямоугольника d.

S △ OCD = ½ ½ d ½ d sin ∠ COD

S △OCD = 1/8 d² sin ∠COD; S ABCD = 4 1/8 d² sin∠ COD =

= ½ d ² sin ∠COD

S ABCD = ½ d² sin∠ COD
S ABCD = ½ 10² ½ = 25 cм²
Ответ: S ABCD = 25 cм²


Задача. В △ АВС медианы АА1 и СС1 пересекаются в точке О. АА1 =15 см,

СС1 =18см, ∠ АОС1 = 60º. Найти: S △ ABC.
Дано: △ АВС, АА1 , СС1 - медианы;

АА1 ⋂ СС1 = О ; АА1 = 15 см;

B СС1 = 18 см ; ∠АОС1 = 60º

Найти: S △ ABC

А С

Решение: Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

АО = 2/3 АА1 = 10 см, ОС1 = 1/3 СС1 = 6 см
S△ AOC1 = ½ AO OC1 sin 60º = ½ 10 6 √ 3 / 2 = 15 √3 см²
S △ ABC = 6 15 √ 3 = 90 √3 см²
III. Работа по индивидуальным карточкам ( 4 человека)
I уровень (карточка №1)
1. В треугольнике △ МNК ∠МКN = 150º, МN = 8, а площадь треугольника равна 20. Найдите NK .

2. В параллелограмме один из углов равен 45º, а его стороны равны 5 см и 8 см. Найдите его площадь.

3. В прямоугольнике диагональ равна 12 см, а угол между диагоналями 30º. Найдите площадь прямоугольника.
II уровень (карточка№2)
1. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 8 см и 12 см, а угол между ними равен 45º.

2. В треугольнике МКN ∠N= 150º, МN = 4 см, N К = 6 см, N Е - биссектриса треугольника . Найдите площадь треугольников МNЕ и NКЕ.

3.
Медианы △АВС пересекаются в точке О, ∠АВС = 30º, АВ =4 см,

ВС = 6 см. Найдите произведение площадей треугольников АОС, ВОС, ВОА.



IV Весь класс тест №3
Вариант 1.
1. Чему равны значения синуса и косинуса угла, равного 135 º ?
2. Найдите значение тангенса угла α, если его косинус равен ( - √3/2).

3. Найдите угол α, если его синус равен √2/2. Сколько решений имеет задача?
4. Упростите выражение:
b sin 45º + b cos 135º + b sin 180º =

Вариант 2.
1. Чему равны значения синуса и косинуса угла, равного 150 º ?
2. Найдите значение тангенса угла α , если его косинус равен ( √3/2).

3. Найдите угол α , если его синус равен √3/2. Сколько решений имеет задача?
4. Упростите выражение:
b sin 120º + b cos 150º + b sin 90º =

( дети меняются местами и проверяют правильность задания на доске, где изображены правильные ответы)

v Решение задач на готовых чертежах.
Повторение формул:
1) S△ = ½ a hа , S пр. тр-ка= ½ а b;
S △ = √p(p – a)(p – b)(p – c);

S △ = ½ ab sin C.
2) Sпар-ма = a b sin α ;
Sпар-ма = ½ d1 d2 sin α ;
3) Sпр-ка = ½ d ² sin α .


Устное решение задач на готовых чертежах:
1) В

S △ АВС -?

А 6 С

2) В С



BD = 6, AC = 10

А D S ABCD - ?

3)

B C


A 6 D S ABCD - ?
4) B C AC =12



135º



A D S ABCD -?

5)

B C



A 8 D Найти: h 1 - ?, h2 - ?


VI Изучение нового материала.
Историческая справка.
Теорема синусов была впервые доказана в X – XII вв математиками Ближнего и Среднего Востока. Открытие этой теоремы сыграло важнейшую роль в развитии тригонометрии.

Теорему косинусов знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида.
Итак, теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.
Дано: △ ABC

B a, b, c - стороны △ ABC

С a b c

b Доказать: ----- = --------- = ------

А sin A sin B sin C
Доказательство: 1) Какая формула выражает зависимость между сторонами треугольника и синусами его углов? (Формула для вычисления площади треугольника)

S △ ABC = ½ ab sin C (1)

S △ ABC = ½ ac sin B (2)
S △ ABC = ½ bc sin A (3)
½ ab sin C = ½ ac sin B ½ ac sin B = ½ bc sin A
b sin C = c sin B a sin B = b sin A
b c a b

------ = ------- ; ------- = --------

sin B sin C sin A sin B

a b c

--------- = --------- = --------

sin A sin B sin C

VII С докладом два ученика ( другое доказательство теоремы синусов)
1)
Дано: △ ABC

В a, b, c - стороны △ ABC

С a b c

b Доказать: ----- = --------- = ------

А sin A sin B sin C

Доказательство:

abc abc abc

--------------------- = -------------------- = ------------------------

2 ½ ab sin C 2 ½ ac sin B 2 ½ bc sin A

c b a

-------- = --------- = ----------

sin C sin B sin A

2) A

a)



б) B C1
A



B C1 Дано: △ АВС

а b с

Доказать : -------- = -------- = -------

sin A sin B sin C

Доказательство:
Пусть △ АВС вписан в окружность (О;R ). Проведем диаметр АС1 = 2R . Проведем ОD ⊥ АВ.
а) Если С ∈ ◡ АnВ, то α = ∠ С (т.к. ∠ С = ∠ С1 опираются на одну ◡АmВ, а ∠ С1 = α как соответственные в подобных треугольниках АВС и АDО)

б) Если С ∈ ◡ АmВ, то из четырехугольника АСВС1 (вписанного)

∠ С + ∠ С1 = 180º , ∠С1 = 180º - ∠ С , α = 180º - ∠ С (по свойству о сумме противоположных углов вписанного четырехугольника)
И в случае а) , и в случае б) из △ АОD имеем:
sin α = AD/AO, AD = AO sin α , AD = AB/2, AO =R, α = ∠ C

AB/2= R sin C, AB = 2R sin C , 2R = AB / sin C

аналогично получим:

BC = 2R sin A, 2R = BC / sin A ⇒

CA = 2R sin B, 2R = CA / sin B
AB BC CA

⇒ ---------- = ------------ = ------------- ⇒

sin C sin A sin B
a b c

⇒ --------- = ---------- = -----------

sin A sin B sin C
VIII Применение теоремы синусов.

Что можно найти, используя теорему синусов?
Решение задач. Устно!

1) (на доске) △ ММК, записать теорему синусов для △ МNK

2) Рабочая тетрадь № 41 .
Какая сторона лежит против А ? Какой угол лежит против стороны АС?

Используя свойство пропорций выразите ВС и найдите его значение.
Задача. На рисунке изображен подъемный кран, у которого стойка АВ = 10 м, плечо АС = 13 м ∠ ВАС = 120º . Найдите длину тяги ВС ?
B

C


(решение этой задачи сводится к нахождению стороны а △ АВС по двум известным сторонам b и с и углу А между ними)

Справиться с этой задачей поможет теорема косинусов. Докажим ее.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: △ АВС

AB = c, BC = a, AC = b



Доказать: a² = b² + c² - 2bc cos A

Доказательство:

Поместим треугольник АВС в прямоугольную систему координат.
B С² = (b cos α - c)² + (b sin α - 0)²
B С² = b² cos² α - 2bc cos α + c² + b² sin ² α =

= b² ( cos² α + sin² α ) + c² - 2bc cos α = b² + c² - 2bc cos α

a² = b ² + c ² - 2bc cos α .
IX Другое доказательство теоремы косинусов для прямоугольного и тупоугольного треугольника.



B (x;y) y


B (x;o) A (0;0) O C (b;0) x
Доказательство:
В △ BB1C : a² = y² + (b - x)²
B △ ABB1 : y² = c² - x²
a² + y² = y² + (b - x )² + c² - x²
a² = b² - 2xb + x² + c² - x²
a² = b² + c² - 2xb,

т.к. х = c cos A, получаем
a² = b² + c² - 2bc cos A

Вернемся к задаче с подъемным краном:
a² = b² + c² - 2bc cos A
a² = 13 ² + 10² - 2 13 10 cos 120 º
a ² = 269 - 260 (- cos 60º ) = 269 + 260 0,5 = 399

a = √399 ≈ 20 м
Ответ: 20 м.
Применение теоремы косинусов (устно).
△ CDE , CE² = CD² + DE² + 2 CD DE cos D

cos A = (b² + c² - a ² ) / 2bc
Формула дает возможность, не вычисляя углов треугольника установить вид его по углам.
1) если b² + c² > a² , то cos ∠ A > 0 , ∠A - острый
2) если b² + c² = a² , то cos ∠ A = 0 , ∠ A - прямой
3) если b² + c² < a² , то cos ∠ A < 0 , ∠ A - тупой

X Решение задач ЕГЭ.
Задача1. В △АВС проведена медиана АD. Найти ее длину, если ВС = а,

АС =b , АВ = с.

А



В a/2 D a/2 C



Решение.
Пусть АD = m . Запишем теорему косинусов для △АВD и △АDС,
соответственно: АВ²= АD ² + ВD ² - 2 АD ВD cos α ;

AC² = AD² + DC² - 2 AD DC cos (180º - α) или
с² = m² + (a/2)² - 2m a/2 cos α;
b² = m² + ( a/2)² + 2m a/2 cos α.
Сложим эти равенства и получим: с² + b² = 2m² + a²/ 2 ,
√2b² + 2c² - a²

откуда m = --------------------- .

2
Задача 2. Найти площадь равнобедренного треугольника, если угол при вершине 150º, а радиус описанной окружности равен √3 +1.
В



А С
Решение.
Очевидно, что для нахождения площади надо знать боковую сторону а. Так как △АВС равнобедренный, то ∠А =∠С = 15º . Для △АВС запишем
теорему синусов: а/ sin A = 2R, откуда a = 2R sin A. Тогда:
S = ½ a² sin B = 2R² sin²A sin B = 2 (√3 + 1)² sin² 15º sin 150º =
( √ 3 + 1)² (1 – cos 30º) sin 30º = ( 4 + 2 √3 ) (1 - √3/2) 1/2 =
2 ( 2 + √3) (2 - √3) 2 (4 – 3)

= -------------------------- = ----------- =1/2.

2 2 2 2
Здесь были использованы формулы понижения степени:

2 sin² 15º = 1 – cos 30º и формулы приведения sin150º =sin ( 180º -30º) =

= sin 30º.



XI Решение одной задачи разными способами.


Задача. Стороны треугольника a, b, c. Найдите радиус окружности, имеющей свой центр на с и касающейся двух других сторон а и b.


C


A O B

I способ. 1) Углы А и В находим по теореме косинусов.

2) Из треугольника ADO AO = r / sin A.
3) Из треугольника ОЕВ ОВ = r / sin B

4) Из уравнения r / sin A + r / sin B = c находим r.


II способ. 1) ОС – биссектриса угла DСВ, так как О равноудалена от его
сторон, тогда АО / ОВ = b / а; АВ / АО = (b + а) / b ;
АО = (b с) / (b + с).
2) cos A находим из треугольника АВС по теореме косинусов.

3) По косинусу находим синус угла А, используя формулу
sin² A + cos² A = 1.
4) Из треугольника АDО r = b c / (b + a) sin A.
№ 1025(а,е)
а) В Дано: ∠ А = 60, ∠ В = 40 , с = 14

Найти: ∠ С, а, b

A b C

Решение.
1) ∠ С = 180º - ( ∠ А + ∠В) = 80º
2) а/ sin 60º= b / sin 40º = 14 / sin 80º
a = 14 sin 60º / sin 80º≈ 12,3; b = 14 sin 40º / sin 80º ≈ 9,1
е)

В Дано: а =6,3; b = 6,3; ∠ С = 54º .

А Найти: с , ∠ В , ∠ А.
С

Решение.
1) По теореме косинусов: с² = 6,3² + 6,3² - 2 6,3 6,3 cos 54º =

= 2 6,3² (1 - cos 54º ) ≈ 5,7
2) По теореме синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C
6,3/ sin A = b / sin B = 5,7 / sin 54º
sin A = sin B = (6,3 sin 54º ) / 5,7
∠ A = ∠ B = 63º

XII Задание на дом: п.97, п. 98, вопросы 8, 9 (доказательство теоремы)

№ 42, №44 (рабочая тетрадь)

XIII Итоги урока.




Похожие:

Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов iconРазработка урока геометрии в 9 классе «Теорема косинусов»
Цель урока триедина, включает в себя обучающую, развивающую и воспитывающую компоненты, а именно
Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов iconУрок по геометрии в 8-м классе по теме: "Теорема Пифагора "
Воспитание устойчивого интереса к изучению предмета геометрии, понимания роли геометрии в решении практических задач, возникающих...
Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов iconТеорема синусов и косинусов в задачах с практическим
Цель: Обобщить знания, умения и навыки учащихся в решении задач с практическим
Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов iconРешение треугольников, площадь треугольника, площадь четырёхугольника
Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов, формулы приведения, местонахождение центра вписанной и описанной окружностей, Свойство...
Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов iconУрока по теме: «Теорема косинусов»
Цель урока: Сформировать и доказать теорему косинусов, отработать запись в виде равенства теоремы косинусов применительно к данному...
Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов iconУрок по геометрии в 8 классе по коррекционно-развивающей технологии. Умк атанасяна Л. С. Тема: Теорема Пифагора Цель урока: Рассмотреть теорему Пифагора и показать ее применение в ходе решения задач
Урок по геометрии в 8 классе по коррекционно-развивающей технологии. Умк атанасяна Л. С
Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов iconКонспект открытого урока по алгебре и началам анализа в 10 профильном классе по теме: «Произведение синусов и косинусов»
Цели: Познакомить учащихся с новой группой тригонометрических формул и показать их применение при выполнении упражнений; повторить...
Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов iconУрок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач. Цели: 1 расширить ранее изученные сведения о теореме Пифагора

Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов iconУрок математики в 8 классе по теме «теорема виета» Учитель: Романчук Павел Михайлович несвиж, 2008 Тема «Теорема Виета» Первый урок
Виета и обратную ей теорему для приведенных квадратных уравнений в различных ситуациях
Урок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов iconУрок геометрии в 7 классе Цели урока: Образовательные
Геометрия. 7-9 классы. – М.: Просвещение, 2008; конверты с наборами треугольников различного вида по количеству учащихся в классе,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org