самым определяется перспективное отображение Прямойа на прямую а' из центра О (прямая рассматривается прл этом как множество инцидентных ей точек; точка О, и обе прямые я и л' расположены в одной плоскости). Пусть Т\ есть перспективное отображение плоскости ш на плоскость о/ из центра Оиа Т3— перспективное отображение плоскости й/ на плоскость м из центра 0* (рис, 13). Их произведение S=T$T, превращает точки и прямые плоскости w в точки ГЛЛНА [[
основные понятия проективной геометрии
§ 4, Проективное пространство
1. Перспективные отображении н преобразованкя. Операция
параллельного проектирования привела нас выше (§ I, пп, 2, 4) к понятиям перспективно-аффинного отображения и преобразования. Аналогичным образом, отправляясь от центрального проектирования (см. Введение, п. I), мы определим перспектив ные отображения н преобразования.
При проектировании из точки О (рис. 12) точке А плоскости » будет соответствовать в плоскости &' точка А'\ если точки
Рнс, 12.
Л, Вт С лежат на одной прямой а, инцидентной плоскости <и, то отвечающие им точки А', В', С расположатся на прямой а', ко которой пересекаются плоскости и/ п О АС. Мы имеем здесь, таким образом, отображение точек и прямых плоскости to соответствен-но на точки и прямые плоскости а'; оно называется п е р с и е к-
При проектировании из центра О точкам прямой а (рис. \2) отвечают (как уже указывалось выше) точки прямой af; тем
Рий. 13.
и прямые, принадлежащие той же плоскости, т. е, будет ее преобразованием; на рис. 13 А" = Т{{А), К - Т3(А") = ${А)\ $ называется перспективным преобразованием плоскости чу. Рассуждая как в § I, п. 4 при установлении свойств 2] — 5], приходим к выводу, что перспективное преобра-заванне Sплоскости к» сохраняет коллинеарность точек и инцидентность точки и прямой; все точки прямой gбудут для преобразования Sдвойными.
Если прямая О}О^ пересекает плоскость <о в точке О, а плоскость а' —в точке О", то О" - Т}{0), О - Т2(О") = Т*Т}(0), тая что и точка О дпойная для преобразования S= T%ti, Как нетрудно убедиться, если А — произвольная точка плоскости й, то точки О, А н А' <=• S(A) коллинеарны (так как все они лежат в обеих плоскостях и и А"АА').
2, Несобственные точки. Сказанное в п. ] требует некоторого уточнения. Остановимся прежде всего на случае перспективного отображения Uпрямой а на прямую а' (рис. 14).
Точке А прямой а отображение Uотносит точку А' прямой пг\ однако здесь имеется исключение: если OD| а', то точка Dне имеет образа в отображении U. Обозначим, далее, через Е' ту
3*
ПОНЯТИЯ ПРОЕКТИВНОЙ
[гл.
ПРОЕКТИВНОЕ П РОСТР АНСТКО
точку прямой а', для которой QE' \\ а; каждая точка Вгпрямой а, отличная от Е', имеет в преобразовании Uпрообраз В на прямой а; точка же. Е' прообраза не имеет. Мы видим, что отображение Uне является взаимно однозначным.
Длч устранения этого дефекта мы добавим к точкам каждой прямой еще одну несобственную точку, принимая при этом, что две параллельные прямые имеют одну н ту же несобственную точку. Пусть dLесть несобственная точка прямой я', a El-o—несобственная точка прямой а; в силу указанЕЮго соглашения в отображении Uточка dLбудет служить образом для
7 V
Рис. 14.
точки D, а Его —прообразом для точки Е': dL■
Е' = f/(£m); отображение Uстало теперь взаимно однозначным.
Читатель не должен думать, что тем самым мы сделали параллельные прямые евклидовой плоскости пересекающимися; введена лишь своеобразная терминология: вместо слов «прямые параллельны» мы будем говорить «прямые имеют общую несобственную точку». Как мы убедимся- дальше, это соглашение оказывается весьма целесообразным.
Две параллельные прямые имеют одно и то же направление: поэтому можно считать также, что несобственная точна прямой есть не что иное, как ее направление. Таким образом, утверждение «две прямые имеют общую несобственную точку» означает, Что эти прямые имеют одно и то же направление, т. е. параллельны.
Обычная (евклидоиа) прямая, дополненная ее несобственной точкой, носит название проективной прямой. Возьмем вне проективной прямой а точку Р (рис. 15) и соединим се прямыми со всеми точками прямой а. Тогда установится взаимно однозначное соответствие между точками проективной прямой а и прямыми пучка с центром к точке Р (т. е. с множеством веек прямых плоскости, содержащей Р и а, которые проходят через
точку Р)', несобственной точке прямой а будет отвечать при этом* прямая РК !1 а, В пучке ни одна ии его прямых не является крайней, поэтому проективную прямую следует считать яамк--н у т о и.
Рис. 15.
Несобственную точку прлыой иногда называют бесконечно у д а-_ .1 и о и. Причина этого названия в следующем: если на рис. 15 мы будем удалять точку D а бесконечность, то прямая PDбудет неа граничен но при-блнжатьсп к примой РК, ларялипельной л.
3. Несобственные прямые; несобственная плоскость. Обратимся теперь к перспективному отображению Т плоскости ш на плоскость и' из центра О (рис. 16). Проведем через точку О плоскость % параллельную плоскости tu'; она пересечет плоскость (о
Рис, 16.
по пряной \. Если точка Lлежит па прямой I, то прямая OLпараллельна плоскости и'; образом точки L ъ отображении Т слу-зкнт несобственная точка £<» прямой OL; точка L« принадлежит всем тем прямым плоскости и/, которые параллельны иря- OL, и, следовательно, принадлежит н самой плоскости щ'.
|гл. и
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРО£КТИШ10Й ГЕОМЕТРИИ
Прямая LKплоскости м перейдет при отображении Т в прямую /(N, по которой плоскость OLKпересекает плоскость ы'; так лак Oh|| to', то по известной теореме стереометрии прямая KNпараллельна прямой 01. Следовательно, пучок прямы\ плоскости и с центром в точке Lпреобразуется в множество М прямых плоскости /у/, параллельных прямой OL. Прямые множества М проходят все через точку L^\ поэтому множество М надлежит назвать пучком прямых плоскости й'с несобственным центром im. Итак, в отображении Т пучку прямых плоскости w с центром Lсоответствует в плоскости о/ пучок прямых с центром Lm = T(L),
Пряная / не имеет образа rотображении Т; поэтому мы должны дополнить множество всех прямых плоскости ш' еиц>
одной, несобственной прямой /□□, принадлежащей также и плоскости р. и принять, что L) = Г(/). По указанной причине мы присоединяем к прямым каждой плоскости пространства несобственную прямую. Параллельные друг другу плоскости имеют общую несобственную прямую; иначе говоря, несобственная прямая есть направление плоскости. В отображении Т образы всех точек, лежащих па прямой I, будут несобственными точками, принадлежащими несобственной прямой /«.
Аналогичным образом плоскость, проведенная через точку О параллельно плоскости а, пересечет плоскость <$' по прямой ш', для которой прообразом в отображении Т будет служить не-собственная прямая ffi« плоскости «; прообразы всех точек прямой пг' будут несобственными точками, инцидентными несобственной прямой fthx,- Только теперь, после введения несобственных точек и плоскостей, отображение Т стало, как легко проверить, взаимно однозначным.
Евклидова плоскость после присоединения к ией несобственной прямой и несобственных точек всех лежащих в ней прямых превращается в проективную плоскость.
Наконец, к плоскостям всего пространства мы добавляем несобственную плоскость и принимаем, что в ней лежат все несобственные точки и все несобственные прямые.
4. Проективное пространство, В результате присоединения к евклидову пространству всех перечисленных в гш. 2 и 3 несобственных элементов оно превращается в проективное пространство.
Подведем итоги «сему вышеизложенному (пп. 2—4). Проективное пространство получается из евклидова пространства, когда мы его дополним несобственными точками, несобственными прямыми и несобственной плоскостью.
Несобственной точкой мы называем направление прямой; все параллельные друг другу прямые инцидентны одной и той же
4!
TTPOEKTHDHOB ПРОСТРАНСТВО
несобственной точке. Несобственная прямая есть направление плоскости; исе параллельные между собой плоскости инцидентны одной и той же несобственной прямой. Несобствен нал точка прямой 1 инцидентна несобственной прямой плоскости ш, тем самым и плоскости о>, тогда и только тогда, когда прямая / параллельна плоскости <*> или лежит в ней; все точки несоб* ствепной прямой несобственные.
Все несобственные точки и все несобственные прямые инцидентны несобственной плоскости. Если точка или прямая при* надлежит несобственной плоскости, то она обязательно несобственная.
5. Предмет проективной геометрии. Построй» проективной пространство, мы можем определить предмет проективной гео-Метрик.
Проективным свойством плоской фигуры проективного пространства называется се свойство, инвариантное относительно всех перспективных отображений и преобразований (т. е. остающееся после них неизменным) *), Проективная геометр!! я изучает проективные свойства фигур проективного пространства; в предложениях проективной геометрии могут участвовать только проективные понятия, определяемые па основе проективных свойств фигур.
У двух центральных проекций тела Р на одну и ту же плоскость (а из двух различных центров (Виедение, п. I) все проективные свойства одинаковы, так как одна из этих проекций получается из другой с помощью перспективного преобразования плоскости о> (п, 1, рис. 13).
Примерами проектнпных понятий могут служить коллинеарность трех точек, инцидентность точки и пряной (п. 1), примером проективного предложения — теорема Дезарга (см. ниже, теорема 12).
Если Т — перспективное отображение, рассмотренное в п. 3 (рис. 16), то при перспективном отображении 7""' несобственная точка С^ переходит в собственную (обычную, евклидову) точку L, несобственная прямая d — в собственную (евклидову) прямую I, а пучок параллельных прямых с центром £« — и пучок пересекающихся е точке L прямых. Следовательно, несоб* стйенная точка, несобственная прямая, параллельные прямые — понятия непроекгпвные; поэтому в проективной геометрии несобственные точки и прямые нигде особо не выделяются. Сточки 3Речия проективной геометрии все точки проективного простран-Стеа, включая и несобственные, совершенно равноправны; то же вносится и к прямым, и к плоскостям.
*) Свойства простраиствешшл фигур ми будем выражать через своими а ПЛОСКИ К, 40
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[гл. и
§5]
АКСИОМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНОЙ ГЁОМЯТРНИ
41
§ 5. Аксиомы инцидентности проективной геометрии
1. Предварительные замечания. Преобразовав евклидово пространство в проективное и объявив равноправными все его точки, прямые и плоскости, мы изменили свойства про- странетва; поэтому лежащие в основе проективной геометрии аксиомы отличаются от аксиом элементарной (евклидовой) геометрии.
Основными объектами, изучаемыми в проективной геометрии, являются точки, проективные прямые и проективное плоскости проективного пространства. Для краткости прилагательное <епроективный'» будет по большей части опускаться; с TOir же целыо мы будем применять следующие обозначения (которые частично употреблялись и выше): пряная, соединяющая точки Л it В, будет обозначаться через АВ, плоскость, со-держащая прямые а и Ь или точку О к прямую с,— соответственно через пЬ и Оа. Далее, а X Ь есть точка пересечения прямых а и Ь\ g X. а. — общая точка прямой g и плоскости а; а X |3 означает прямую, по которой пересекаются плоскости а и 3.
R настоящем параграфе мы рассмотрим аксиомы инцидентности, в которых указываются свойства трех основных отношен и й, связывающих точки, прямые и плоскости: инцидентность точки и прямой, инцидентность точки и плоскости, инцидентность прямой и плоскости. Для обозначения инцидентности мы будем иногда пользоваться особым ян а ком Н; инцидентность (любого вида) — понятие симметричное: записи ЛНаиаН-4 означают одно и то же.
Мы не будем избегать и обычных выражений: точка А лежит на прямой а, А есть точка прямой а, прямая а проходит через точку А и т. п.. рассматривая нх все как равносильные утверждению, что точка А и прямая я инцидентны, Нсли мы говорим, что прямые а и Ь пересекаются в точке Я, то это означает, что РН (t n P Н.Ь. Аналогично будем поступать и для двух других видов инцидентности.
2. Ачсномы инцидентности проективной геометрии *) (при чина, по которой некоторые аксиомы написаЕ1Ы в два столбца, выяснится ниже, в п. 3; если не оговорено противное, то упоми наемые в аксиомах точки (прямые или плоскости) предпола гаются все различными).
И.1. Если точка Л инцидентна прямой а, а прямая с инцидентна плоскости а, то точка А и а л о-скостьдтакже инцидентлЫ-
*) Ансиоми даны по Л,
И-2*. Существует одна и только одна пряная, инцидентная дьум плоскостям аи р.
ИЛ*. Если две прямые я, Ь инцидентны одной точке Л, то суще-ствует плоскость, инцидент пая как прямой а, т а к и п р я м о й 6.
И.2. Существует одна к только одна прямая, инцидентная двум точка м Л и В.
И.З. Если две прямые д, Ь инцидентны одной плоскости а, то с у щ е-с г в у е т т о ч к а, и и 11 и д е н т-пая как прямой а, так и прямой*.
И-4, Есликаждая из двух точек А, В инцидентна каждой из двух плоскостей а, (3, то пря-маяАВсовпадаетс прямой зХ0 (рис. 17).
И.5. Существует (по меньшей мере) одна прямая.
Для формулировки последней аксиомы инцидентности нам понадобится еще один термин. Две прямые о, Ь называются скрещивающимися, если 1} не существует точка, инцидентная обеим прямым, и если 2) не существует плоскость, обладающая тем же свойством. Оба эти требования не являются независимыми: в силу
аксиомы И.З из 1} следует 2), а в силу аксиомы И,3* из 2) следует 1) (то и" другое легко установим, рассуждая от противного).
ИД Вмсстес прямой а существуют по меньшей мере три попарно скрещивающиеся прямые Ь\, Ьь, Из, каждая iu к о-т о р ых пересекает прямую а (рис. 18).
Отмечу, что единственность точки аХ Ь а ИЗ следует из И.2; аналогичное замечание можно сделать и для И.З*.
Рнс. 18,
Нетрудно проверить, что в проективном пространстве, полученном из евклидоиа пространства добавлением к нему несобственных элементов (§ 4, п. 4), выполняются вес еосемь аксиом ИЛ—И,6; сделаем это, например, для аксиом И.2 и И.З.
Если обе точки А, В собственные (евклидовы), то аксиома И.2 сводится к известной аксиоме евклидовой геометрия.
[ГЛ. ][
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕО1НЕТГЦИ
Б случае, когда точка А собственная, а В есть несобственная точна прямо» k (которую можно считать не содержащей
точку А), аксиома И,2 превращается в утверждение, что существует одна и только одна прямая, проходящая через точку А и параллельная прямой А; таким образом, аксиома параллельности евклидовой геометрии оказалась частным случаем аксиомы И.2. Наконец, если обе точки А, В несобствениые, пер-вяя __ прямой g, в вторая — прямой h, то прямые g и h не могут быть параллельны (так как точки /1 и В различны). Прямая А В будет здесь несобственной пряной плоен ости, параллельной обеим прямым g и h\ такие плоскости всегда существуют и все параллельны друг другу, тан что прямая А В единственная.
При проверке аксиомы И,3 предположим сначала, что плоскость а собственная; с случае, когда обе прямые а, Ь собственные, инцидентная им обеим точка а X Ь есть их точка пересечения или, если a IJ Ъ, их обшая несобственная точка- Если же а - ■ несобственная прямая плоскости я, а прямая Ь собственная, то йУ.Ь есть несобственная точка прямой Ь, Так как в плоскости а имеется только одна несобственная прям ал, то обе прямые я, Ь не могут быть несобственными.
Пусть, далее, плоскость д несобственная; тогда обе прямые a, b несобственные {§ 4, п. 4). Если а есть направление плоскости а, а Ь — направление плоскости т, то а X Ъ является несобственной точкой прямой eXi (так как прямые а и Ъ различны, то плоскости о и т не могут быть параллельны).
Проверку остальных аксиом инцидентности предоставляем читателю {упр. 52).
3. Большой принцип двойственности. Как легко обнаружить, данные в п. 2 аксиомы инцидентности проективной геометрии обладают следующей замечательной особенностью: если всюду слово «точка» заменить словом «плоскость» и, обратно, слово «плоскость» — словом «-точка*, то вся система аксиом останется неизменной. В аксиомам И I, 114 и в определении скрещивающихся прямых при этом произойдет лишь перестановка состя-вляющия их фраз (если учесть симметричность отношения инцидентность). Аксиома V\2 превратится в аксиому И.2*, а И.2* — в И.2; так же связаны между собой аксиомы ИЗ, ИЗ*. Наконец, аксиомы И.5 и И.К при указанной замело сохранят cbofo формулировку; для аксиомы Й,6 следует при этом принять во внимание сказанное выше об определении скрещивающихся прямых.
Все предложения проективной геометрии об инцидентности элементов проективного пространства устанавливаются на основе аксиом И.! —И.6; следовательно, указанная выше замена слов превращает любое такое предложение в новое предложе-
Самым определяется перспективное отображение О, и обе прямые я и л' расположены в одной плоскости). Пусть Т\ есть перспективное отображение плоскости ш на плоскость о/ из центра...
Последовательности Определение. Последовательность {an} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an}:...
Внеклассное мероприятие «Зов джунглей» Мы приветствуем всех, кто пришел на нашу игру, которую мы посвящаем самым добрым, самым чутким, самым нежным, заботливым, беспокойным,...
Внутреннее отображение товара Отображение товара должно быть в 4 ряда и прорисовано так же: ireplace ru/catalog/zapchasti-iphone/4s
Советы медицинского работника Рано или поздно каждый из нас страдает от обычного насморка. Будь вы самым храбрым, самым сильным, самым хорошим, самым умным, все...
Теория неявных функция Говорят, что данное отображение или функция принадлежит классу C1 (или непрерывно дифференцируемо), если непрерывно дифференцируемы...
Классный час «Будьте милосердными» Учитель. Человеколюбие общества, семьи, отдельного человека определяется прежде всего отношением к детям, старикам, к самым беззащитным...