Самым определяется перспективное отображение

Скачать 0.52 Mb.

страница	1/3
Дата	14.06.2013
Размер	0.52 Mb.
Тип	Документы

1 2 3

с 4| ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 35

самым определяется перспективное отображение Прямой а на прямую а' из центра О (прямая рассматривается прл этом как множество инцидентных ей точек; точка О, и обе прямые я и л' расположены в одной плоскости). Пусть Т\ есть перспективное отображение плоскости ш на плоскость о/ из центра О_и а Т₃ — перспективное отображение плоскости й/ на плоскость м из центра 0* (рис, 13). Их произведение S=T$T, превращает точки и прямые плоскости w в точки

ГЛЛНА [[

основные понятия проективной геометрии

§ 4, Проективное пространство

1. Перспективные отображении н преобразованкя. Операция

параллельного проектирования привела нас выше (§ I, пп, 2, 4) к понятиям перспективно-аффинного отображения и преобразования. Аналогичным образом, отправляясь от центрального проектирования (см. Введение, п. I), мы определим перспектив ные отображения н преобразования.

При проектировании из точки О (рис. 12) точке А плоскости » будет соответствовать в плоскости &' точка А'\ если точки

Рнс, 12.

Л, В_т С лежат на одной прямой а, инцидентной плоскости <и, то отвечающие им точки А', В', С расположатся на прямой а', ко которой пересекаются плоскости и/ п О АС. Мы имеем здесь, таким образом, отображение точек и прямых плоскости to соответствен-но на точки и прямые плоскости а'; оно называется п е р с и е к-

тпвным о т о б р а ж ечеи е м плоскости и на плоскость ©' из центра О. При перспективном отображении Т плоскости на плоскость кол ли неарные точки переходят и колли-неарные точки; отображение Г сохраняет инцидентность точки к прямой (ср. § 1, п. 3, I], 2J). Отметим также, что при отображении Т каждая из точек прямой g, по которой пересекаются плоскости и и и', переходит сама в себя.

При проектировании из центра О точкам прямой а (рис. \2) отвечают (как уже указывалось выше) точки прямой a^f; тем

Рий. 13.

и прямые, принадлежащие той же плоскости, т. е, будет ее преобразованием; на рис.

13 А" = Т_{{А), К - Т₃(А") = ${А)\ $ называется перспективным преобразованием плоскости чу. Рассуждая как в § I, п. 4 при установлении свойств 2] — 5], приходим к выводу, что перспективное преобра-заванне S плоскости к» сохраняет коллинеарность точек и инцидентность точки и прямой; все точки прямой g будут для преобразования S двойными.

Если прямая О_}О^ пересекает плоскость <о в точке О, а плоскость а' —в точке О", то О" - Т_}{0), О - Т₂(О") = Т*Т_}(0), тая что и точка О дпойная для преобразования S= T%ti, Как нетрудно убедиться, если А — произвольная точка плоскости й, то точки О, А н А' <=• S(A) коллинеарны (так как все они лежат в обеих плоскостях и и А"АА').

2, Несобственные точки. Сказанное в п. ] требует некоторого уточнения. Остановимся прежде всего на случае перспективного отображения U прямой а на прямую а' (рис. 14).

Точке А прямой а отображение U относит точку А' прямой п^г\ однако здесь имеется исключение: если OD | а', то точка D не имеет образа в отображении U. Обозначим, далее, через Е' ту

3*

ПОНЯТИЯ ПРОЕКТИВНОЙ

[гл.

ПРОЕКТИВНОЕ П РОСТР АНСТКО

точку прямой а', для которой QE' \\ а; каждая точка В^г прямой а, отличная от Е', имеет в преобразовании U прообраз В на прямой а; точка же. Е' прообраза не имеет. Мы видим, что отображение U не является взаимно однозначным.

Длч устранения этого дефекта мы добавим к точкам каждой прямой еще одну несобственную точку, принимая при этом, что две параллельные прямые имеют одну н ту же несобственную точку. Пусть dL есть несобственная точка прямой я', a El-o —несобственная точка прямой а; в силу указанЕЮго соглашения в отображении U точка dL будет служить образом для

_{7 V}

Рис. 14.

точки D, а Его —прообразом для точки Е': dL ■

Е' = f/(£_m); отображение U стало теперь взаимно однозначным.

Читатель не должен думать, что тем самым мы сделали параллельные прямые евклидовой плоскости пересекающимися; введена лишь своеобразная терминология: вместо слов «прямые параллельны» мы будем говорить «прямые имеют общую несобственную точку». Как мы убедимся- дальше, это соглашение оказывается весьма целесообразным.

Две параллельные прямые имеют одно и то же направление: поэтому можно считать также, что несобственная точна прямой есть не что иное, как ее направление. Таким образом, утверждение «две прямые имеют общую несобственную точку» означает, Что эти прямые имеют одно и то же направление, т. е. параллельны.

Обычная (евклидоиа) прямая, дополненная ее несобственной точкой, носит название проективной прямой. Возьмем вне проективной прямой а точку Р (рис. 15) и соединим се прямыми со всеми точками прямой а. Тогда установится взаимно однозначное соответствие между точками проективной прямой а и прямыми пучка с центром к точке Р (т. е. с множеством веек прямых плоскости, содержащей Р и а, которые проходят через

_точку Р)', несобственной точке прямой а будет отвечать при этом* прямая РК !1 а, В пучке ни одна ии его прямых не является крайней, поэтому проективную прямую следует считать яамк--н у т о и.

Рис. 15.

Несобственную точку прлыой иногда называют бесконечно у д а-_ .1 и о и. Причина этого названия в следующем: если на рис. 15 мы будем удалять точку D а бесконечность, то прямая PD будет неа граничен но при-блнжатьсп к примой РК, ларялипельной л.

3. Несобственные прямые; несобственная плоскость. Обратимся теперь к перспективному отображению Т плоскости ш на плоскость и' из центра О (рис. 16). Проведем через точку О плоскость % параллельную плоскости tu'; она пересечет плоскость (о

ис, 16.

по пряной \. Если точка L лежит па прямой I, то прямая OL параллельна плоскости и'; образом точки L ъ отображении Т слу-зкнт несобственная точка £<» прямой OL; точка L« принадлежит всем тем прямым плоскости и/, которые параллельны иря- OL, и, следовательно, принадлежит н самой плоскости щ'.

|гл. и

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРО£КТИШ10Й ГЕОМЕТРИИ

Прямая LK плоскости м перейдет при отображении Т в прямую /(N, по которой плоскость OLK пересекает плоскость ы'; так лак Oh || to', то по известной теореме стереометрии прямая KN параллельна прямой 01. Следовательно, пучок прямы\ плоскости и с центром в точке L преобразуется в множество М прямых плоскости /у/, параллельных прямой OL. Прямые множества М проходят все через точку L^\ поэтому множество М надлежит назвать пучком прямых плоскости й'с несобственным центром i_m. Итак, в отображении Т пучку прямых плоскости w с центром L соответствует в плоскости о/ пучок прямых с центром L_m = T(L),

Пряная / не имеет образа r отображении Т; поэтому мы должны дополнить множество всех прямых плоскости ш' еиц>

одной, несобственной прямой /□□, принадлежащей также и плоскости р. и принять, что L) = Г(/). По указанной причине мы присоединяем к прямым каждой плоскости пространства несобственную прямую. Параллельные друг другу плоскости имеют общую несобственную прямую; иначе говоря, несобственная прямая есть направление плоскости. В отображении Т образы всех точек, лежащих па прямой I, будут несобственными точками, принадлежащими несобственной прямой /«.

Аналогичным образом плоскость, проведенная через точку О параллельно плоскости а, пересечет плоскость <$' по прямой ш', для которой прообразом в отображении Т будет служить не-собственная прямая ffi« плоскости «; прообразы всех точек прямой пг' будут несобственными точками, инцидентными несобственной прямой fthx,- Только теперь, после введения несобственных точек и плоскостей, отображение Т стало, как легко проверить, взаимно однозначным.

Евклидова плоскость после присоединения к ией несобственной прямой и несобственных точек всех лежащих в ней прямых превращается в проективную плоскость.

Наконец, к плоскостям всего пространства мы добавляем несобственную плоскость и принимаем, что в ней лежат все несобственные точки и все несобственные прямые.

4. Проективное пространство, В результате присоединения к евклидову пространству всех перечисленных в гш. 2 и 3 несобственных элементов оно превращается в проективное пространство.

Подведем итоги «сему вышеизложенному (пп. 2—4). Проективное пространство получается из евклидова пространства, когда мы его дополним несобственными точками, несобственными прямыми и несобственной плоскостью.

Несобственной точкой мы называем направление прямой; все параллельные друг другу прямые инцидентны одной и той же

TTPOEKTHDHOB ПРОСТРАНСТВО

несобственной точке. Несобственная прямая есть направление плоскости; исе параллельные между собой плоскости инцидентны одной и той же несобственной прямой. Несобствен нал точка прямой 1 инцидентна несобственной прямой плоскости ш, тем самым и плоскости о>, тогда и только тогда, когда прямая / параллельна плоскости <*> или лежит в ней; все точки несоб* ствепной прямой несобственные.

Все несобственные точки и все несобственные прямые инцидентны несобственной плоскости. Если точка или прямая при* надлежит несобственной плоскости, то она обязательно несобственная.

5. Предмет проективной геометрии. Построй» проективной пространство, мы можем определить предмет проективной гео-Метрик.

Проективным свойством плоской фигуры проективного пространства называется се свойство, инвариантное относительно всех перспективных отображений и преобразований (т. е. остающееся после них неизменным) *), Проективная геометр!! я изучает проективные свойства фигур проективного пространства; в предложениях проективной геометрии могут участвовать только проективные понятия, определяемые па основе проективных свойств фигур.

У двух центральных проекций тела Р на одну и ту же плоскость (а из двух различных центров (Виедение, п. I) все проективные свойства одинаковы, так как одна из этих проекций получается из другой с помощью перспективного преобразования плоскости о> (п, 1, рис. 13).

Примерами проектнпных понятий могут служить коллинеарность трех точек, инцидентность точки и пряной (п. 1), примером проективного предложения — теорема Дезарга (см. ниже, теорема 12).

Если Т — перспективное отображение, рассмотренное в п. 3 (рис. 16), то при перспективном отображении 7""' несобственная точка С^ переходит в собственную (обычную, евклидову) точку L, несобственная прямая d — в собственную (евклидову) прямую I, а пучок параллельных прямых с центром £« — и пучок пересекающихся е точке L прямых. Следовательно, несоб* стйенная точка, несобственная прямая, параллельные прямые — понятия непроекгпвные; поэтому в проективной геометрии несобственные точки и прямые нигде особо не выделяются. Сточки ³Речия проективной геометрии все точки проективного простран-^Стеа, включая и несобственные, совершенно равноправны; то же вносится и к прямым, и к плоскостям.

*) Свойства простраиствешшл фигур ми будем выражать через своими а ПЛОСКИ К,

40

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

[гл. и

§5]

АКСИОМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНОЙ ГЁОМЯТРНИ

41

§ 5. Аксиомы инцидентности проективной геометрии

1. Предварительные замечания. Преобразовав евклидово
пространство в проективное и объявив равноправными все
его точки, прямые и плоскости, мы изменили свойства про-
странетва; поэтому лежащие в основе проективной геометрии
аксиомы отличаются от аксиом элементарной (евклидовой)
геометрии.

Основными объектами, изучаемыми в проективной геометрии, являются точки, проективные прямые и проективное плоскости проективного пространства. Для краткости прилагательное <епроективный'» будет по большей части опускаться; с TOir же целыо мы будем применять следующие обозначения (которые частично употреблялись и выше): пряная, соединяющая точки Л it В, будет обозначаться через АВ, плоскость, со-держащая прямые а и Ь или точку О к прямую с,— соответственно через пЬ и Оа. Далее, а X Ь есть точка пересечения прямых а и Ь\ g X. а. — общая точка прямой g и плоскости а; а X |3 означает прямую, по которой пересекаются плоскости а и 3.

R настоящем параграфе мы рассмотрим аксиомы инцидентности, в которых указываются свойства трех основных отношен и й, связывающих точки, прямые и плоскости: инцидентность точки и прямой, инцидентность точки и плоскости, инцидентность прямой и плоскости. Для обозначения инцидентности мы будем иногда пользоваться особым ян а ком Н; инцидентность (любого вида) — понятие симметричное: записи ЛНаиаН-4 означают одно и то же.

Мы не будем избегать и обычных выражений: точка А лежит на прямой а, А есть точка прямой а, прямая а проходит через точку А и т. п.. рассматривая нх все как равносильные утверждению, что точка А и прямая я инцидентны, Нсли мы говорим, что прямые а и Ь пересекаются в точке Я, то это означает, что РН (t n P Н.Ь. Аналогично будем поступать и для двух других видов инцидентности.

2. Ачсномы инцидентности проективной геометрии *) (при
чина, по которой некоторые аксиомы написаЕ1Ы в два столбца,
выяснится ниже, в п. 3; если не оговорено противное, то упоми
наемые в аксиомах точки (прямые или плоскости) предпола
гаются все различными).

И.1. Если точка Л инцидентна прямой а, а прямая с инцидентна плоскости а, то точка А и а л о-скостьдтакже инцидентлЫ-

*

) Ансиоми даны по Л,

И-2*. Существует одна и только одна пряная, инцидентная дьум плоскостям аи р.

ИЛ*. Если две прямые я, Ь инцидентны одной точке Л, то суще-ствует плоскость, инцидент пая как прямой а, т а к и п р я м о й 6.

И.2. Существует одна к только одна прямая, инцидентная двум точка м Л и В.

И.З. Если две прямые д, Ь инцидентны одной плоскости а, то с у щ е-_с г в у е т т о ч к а, и и 11 и д е н т-пая как прямой а, так и прямой*.

И-4, Если каждая из двух точек А, В инцидентна каждой из двух плоскостей а, (3, то пря-маяАВсовпадаетс прямой зХ0 (рис. 17).

И.5. Существует (по меньшей мере) одна прямая.

Для формулировки последней аксиомы инцидентности нам понадобится еще один термин. Две прямые о, Ь называются скрещивающимися, если 1} не существует точка, инцидентная обеим прямым, и если 2) не существует плоскость, обладающая тем же свойством. Оба эти требования не являются независимыми: в силу

аксиомы И.З из 1} следует 2), а в силу аксиомы И,3* из 2) следует 1) (то и" другое легко установим, рассуждая от противного).

ИД Вмсстес прямой а существуют по меньшей мере три попарно скрещивающиеся прямые Ь\, Ьь, Из, каждая iu к о-т о р ых пересекает прямую а (рис. 18).

Отмечу, что единственность точки аХ Ь а ИЗ следует из И.2; аналогичное замечание можно сделать и для И.З*.

Рнс. 18,

Нетрудно проверить, что в проективном пространстве, полученном из евклидоиа пространства добавлением к нему несобственных элементов (§ 4, п. 4), выполняются вес еосемь аксиом ИЛ—И,6; сделаем это, например, для аксиом И.2 и И.З.

Если обе точки А, В собственные (евклидовы), то аксиома И.2 сводится к известной аксиоме евклидовой геометрия.

[ГЛ. ][

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕО1НЕТГЦИ

Б случае, когда точка А собственная, а В есть несобственная точна прямо» k (которую можно считать не содержащей

точку А), аксиома И,2 превращается в утверждение, что существует одна и только одна прямая, проходящая через точку А и параллельная прямой А; таким образом, аксиома параллельности евклидовой геометрии оказалась частным случаем аксиомы И.2. Наконец, если обе точки А, В несобствениые, пер-вяя __ прямой g, в вторая — прямой h, то прямые g и h не могут быть параллельны (так как точки /1 и В различны). Прямая А В будет здесь несобственной пряной плоен ости, параллельной обеим прямым g и h\ такие плоскости всегда существуют и все параллельны друг другу, тан что прямая А В единственная.

При проверке аксиомы И,3 предположим сначала, что плоскость а собственная; с случае, когда обе прямые а, Ь собственные, инцидентная им обеим точка а X Ь есть их точка пересечения или, если a IJ Ъ, их обшая несобственная точка- Если же а - ■ несобственная прямая плоскости я, а прямая Ь собственная, то йУ.Ь есть несобственная точка прямой Ь, Так как в плоскости а имеется только одна несобственная прям ал, то обе прямые я, Ь не могут быть несобственными.

Пусть, далее, плоскость д несобственная; тогда обе прямые a, b несобственные {§ 4, п. 4). Если а есть направление плоскости а, а Ь — направление плоскости т, то а X Ъ является несобственной точкой прямой eXi (так как прямые а и Ъ различны, то плоскости о и т не могут быть параллельны).

Проверку остальных аксиом инцидентности предоставляем читателю {упр. 52).

3. Большой принцип двойственности. Как легко обнаружить, данные в п. 2 аксиомы инцидентности проективной геометрии обладают следующей замечательной особенностью: если всюду слово «точка» заменить словом «плоскость» и, обратно, слово «плоскость» — словом «-точка*, то вся система аксиом останется неизменной. В аксиомам И I, 114 и в определении скрещивающихся прямых при этом произойдет лишь перестановка состя-вляющия их фраз (если учесть симметричность отношения инцидентность). Аксиома V\2 превратится в аксиому И.2*, а И.2* — в И.2; так же связаны между собой аксиомы ИЗ, ИЗ*. Наконец, аксиомы И.5 и И.К при указанной замело сохранят cbofo формулировку; для аксиомы Й,6 следует при этом принять во внимание сказанное выше об определении скрещивающихся прямых.

Все предложения проективной геометрии об инцидентности элементов проективного пространства устанавливаются на основе аксиом И.! —И.6; следовательно, указанная выше замена слов превращает любое такое предложение в новое предложе-

аксиомы инцидентности n pork тинной гиометгии

1 2 3

Самым определяется перспективное отображение

Похожие: