Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения

Специализированный учебно-научный центр - факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, Школа имени А.Н. Колмогорова Кафедра физики ПОСОБИЕ по решению задач по физике МЕХАНИКА Кинематика. Динамика материальной точки Часть I Т.П.Корнеева 2010 г. КИНЕМАТИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ. I. КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ. Задача 1. «Уравнение движения» Уравнение движения материальной точки имеет вид: x(t) = 8t – 2t2. Найдите координату точки через 6 с и путь, пройденный ею за это время. Постройте графики x(t), s(t), vx(t). Поскольку x(t) - квадратичная функция времени, движение, описываемое этой функцией, есть движение с постоянным ускорением. Общий вид такого движения есть: x(t) = xo + voxt + axt2/2, (1) где vox и ax - проекции векторов vo и a на ось ОX. Сравнивая уравнение (1) с заданным в условии, получаем значения : xo = 0(м); vox = + vo = 8(м/с); ax = - a = - 4 (м/с2). Здесь буквами vo и a обозначены величины векторов vo и a. Таким образом, уравнение, заданное в условии, описывает движение тела из начала координат в положительном направлении оси OX с отрицательным ускорением. Схема такого движения может быть условно представлена на рисунке: Здесь xп означает координату точки поворота, т.е. точки, в которой тело меняет направление движения. Координата точки через 6 с после начала движения находится простой подстановкой: xк = x(6) = 8·6 - 2·36 = - 24 (м). Для того, чтобы найти пройденный путь, необходимо найти координату точки поворота xп. Момент времени поворота tп, соответствующий координате xп, можно найти несколькими способами. Физический способ. Закон изменения скорости тела для нашего случая имеет вид: vx(t) = vo – at (2) В момент поворота скорость равна нулю и время tп можно найти из уравнения: vx(tп) = vo – atп = 0, откуда tп = vо /a = 2 (с). Графический способ. Графически зависимость x(t) изображается параболой: png" name="graphics2" align=bottom width=199 height=150 border=0> В точке поворота скорость тела равна нулю, а касательная к графику x(t) – горизонтальна. Вершина параболы находится посередине между нулями функции, т.е. между корнями уравнения x(t) = 0. Корни уравнения: t1 = 0, t2 = 4 (с), откуда tп = 2 (с). Математический способ. В точке поворота производная координаты по времени равна нулю: = 8 – 4t = 0, откуда tп = 2 (с). В момент времени tп = 2 (с) тело будет находиться в точке с координатой xп = x(2) = 8 (м). Из схемы движения видно, что путь, пройденный телом за время t3 = 6 с мы найдем, если сложим длины тех участков траектории, по которым тело двигалось в одну сторону: s(t3) = xп – xo + xп – xк = 40 (м). Чтобы правильно изобразить график зависимости пути от времени s(t), необходимо понять, что при движении тела вдоль траектории пройденный путь все время увеличивается, и скорость движения тела вдоль прямолинейной траектории есть модуль проекции скорости: v(t) = vx(t) Математически это можно выразить так: =  . На графике зависимости x(t) касательная к кривой в точках, соответствующих моментам времени t  tп составляет тупой угол с осью t, что соответствует значениям  0, или vx  0. Значит, чтобы получить график s(t), мы должны ветвь параболы, соответствующую значениям t  tп , отразить относительно касательной в точке (xп , tп) , поскольку при этом в каждый момент времени скорость v = будет такой же по величине, что и vx(t), но положительной. Заметим, что в точке (xп, tп) меняется характер выпуклости кривой s(t). В математике такую точку называют точкой перегиба. Построим теперь график зависимости vx(t). Закон изменения скорости задается уравнением (2). Нетрудно видеть, что график такой зависимости - прямая с отрицательным угловым коэффициентом. В момент времени tп скорость равна нулю, а в момент времени tк = 6 с: vx (6) = - vк = - 16 (м/с). Покажем, как найти перемещение и путь за время tк, используя график скорости. Изменение координаты за время t можно найти как «площадь под графиком» зависимости vx(t), приписывая знак «+» площади фигуры, расположенной над осью « t », и знак «-» в случае, когда фигура расположена под осью « t ». В нашем случае x(tк) – x(0) = xк = votп/2 – vк(tк – tп)/2 = - 24 (м). Очевидно, что подобная операция с графиком функции v(t) =  vx(t)  приведет к нахождению пройденного пути. s(tк) = votп /2 + vк(tк – tп )/2 = 40 (м) Ответ: x(6) = - 24 м; s(6) = 40 м. Задача 2. «Колонна» Спортсмены бегут колонной длины L с одинаковой скоростью v. Навстречу им бежит тренер со скоростью u (u  v). Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, поворачивает назад и бежит с той же скоростью v. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся? Рассмотрим решение задачи в различных системах отсчета (СО). СО «Земля». Направим ось «x» в сторону движения тренера и выберем начало координат в месте встречи тренера с 1-ым спортсменом. Время будем отсчитывать, начиная с момента их встречи. В начальный момент: x т(0) = 0; x1(0) = 0; xN(0) = L, где xN - координата последнего спортсмена. Запишем уравнения движения для всех тел системы: xт(t) = ut - тренер x1(t) = vt - первый спортсмен xN(t) = L – vt - последний спортсмен Встреча последнего спортсмена с тренером произойдет в момент времени t1, когда их координаты сравняются: xт(t1) = xN(t1), ut1 = L – vt1, откуда t1 = L / (u + v). В этот момент первый спортсмен будет находиться в точке с координатой x1(t1) = Lv /(u + v), а последний спортсмен – в точке с координатой xN(t1) = L – vL / (u + v). Начиная с этого момента, расстояние между спортсменами не меняется, т.к. все они бегут в одну сторону с одинаковой скоростью. Новая длина колонны L1 равна расстоянию между первым и последним спортсменом: L1 = | x1(t1) – xN(t1) | = L(v – u)/ (v + u). СО «Тренер» Поскольку тренер бежит со скоростью u , чтобы перейти в эту систему отсчета, надо из векторов скоростей всех тел вычесть вектор скорости u . Тогда: скорость тренера равна нулю. скорость 1-го спортсмена v1 = v - u, скорость N-го спортсмена vN = v + u, Считая, что xт(t) = 0, т.е. тренер находится в начале координат, запишем уравнения движения для первого и последнего спортсменов x1(t) = v1t xN(t) = L – vNt. Встреча последнего спортсмена с тренером произойдет, когда последний спортсмен будет находиться в начале координат: xN(t1) = 0 , L – vN t1 = L – (v + u)t1 = 0, откуда t1 = L / (v + u). В этот момент 1-ый спортсмен находится от начала координат (и от последнего спортсмена) на расстоянии x1(t1) = v1t1 = L(v – u) / (v + u). Это и есть новая длина колонны L1. Сравнивая эти два решения, можно заметить, что более короткий путь к ответу дает решение в СО «Тренер». Поэтому, прежде чем начинать решение, бывает полезно задуматься о выборе системы отсчета. Однако следует подчеркнуть, что решение может быть найдено в любой системе отсчета, если оно проведено грамотно. Ответ: L1 = L(v – u) / (v + u)

Похожие:

	Для студентов 5 курса физического факультета ггу на 2009/2010 уч. Год Задачи механики. Способы описания движения материальной точки. Классификация механических движений. Основные соотношения кинематики...		1 Равноускоренное движение в общем случае равноускоренным движением Тогда криволинейное движение камня можно представить как сумму двух движений – прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси...
	Законы взаимодействия и движения тел (27ч) 01. 01. 01 Прямолинейное равномерное движение. Скорость прямолинейного равномерного движения		Закон сложения скоростей в классической механике. Кинематика прямолинейного движении материальной точки Равноускоренное прямолинейное движение. Аналитическое и графическое описание равноускоренного прямолинейного движения
	Программа вступительных испытаний по физике Механика Механическое движение и его относительность. Уравнения прямолинейного равноускоренного движения. Криволинейное движение точки на...		«Графики движения» Цель: построить способ изображения движения в координатном углу, который позволяет наблюдать за движением нескольких объектов
	А. П. Шмаков 1 год, 2 курс Лекция Введение. Предмет механики сплошной среды. Понятие сплошной среды. Метод Лагранжа описания движения сплошной среды. Закон Метод Эйлера описания движения сплошной среды. Поле скоростей и ускорений. Субстациональная (полная), частная и конвективная производные...		Программа вступительного испытания механика механическое движение, его относительность. Система отсчета. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея Модель материальной точки, ее применимость к описанию движений тел конечных размеров. Основная задача кинематики. Способы кинематического...
	Механическое движение По графику скорости равномерного движения определите скорость движения тела через 4 с после начала движения		Учебно-методический комплекс по дисциплине Физика Часть I механика. Молекулярная физика и термодинамика Москва 2007г Предмет классической механики. Границы ее применимости. Механическое движение. Принцип относительности движения. Феноменологический...