Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения



Скачать 330.43 Kb.
страница2/3
Дата20.06.2013
Размер330.43 Kb.
ТипДокументы
1   2   3



Задача 3. «Аэростат»


Аэростат равномерно опускается со скоростью u . Из него бросают вверх предмет со скоростью vo относительно аэростата (vo  u). Каким будет расстояние между аэростатом и брошенным телом в момент наивысшего подъема тела относительно земли? Каково наибольшее расстояние Lmax между телом и аэростатом? Через какое время  после бросания тело поравняется с аэростатом?

Постройте графики движения тел в системах отсчета «Земля» и «Аэростат».
СО «Аэростат».

В этой системе отсчета тело имеет начальную скорость vo, направленную вверх. Применяя формулы равноускоренного движения, получим время подъема тела относительно аэростата

t1 = vo/g ,

и максимальное расстояние между телом и аэростатом

Lmax = vo2/2g.

Время движения тела до встречи с кабиной есть

 = 2t1 = 2vo/g.

Чтобы ответить на первый вопрос задачи, заметим, что в момент максимального подъема тела относительно земли, оно движется вверх относительно аэростата со скоростью аэростата u. Расстояние между телом и аэростатом в этот момент равно

L = (vo2 – u2)/2g.

Выберем ось координат «y», направленную вверх, и совместим начало координат с аэростатом.

График движения тела представляет собой параболу.


СО «Земля».

Относительно земли тело имеет начальную скорость, равную (vo – u) и направленную вверх.

Для описания движения выберем ось координат «y», направленную вверх, и совместим начало координат с поверхностью земли.

Уравнения движения тела и аэростата имеют вид:

yт(t) = yo + (vo – u)t – gt2/2 (*)

yа(t) = yo - ut

На графике y(t) движение тела изображает парабола, а движение аэростата - прямая.


Максимальная высота тела над поверхностью земли достигается в момент времени t2, когда скорость тела равна нулю:

t2 = (vo – u)/g.

Найти расстояние между телом и аэростатом в этот момент, мы можем из уравнений движения (*).

В момент времени t2

yт(t2) = yo + (vo – u)2/g

yа(t2) = yo - u(vo – u)/g

Расстояние между ними в этот момент равно

L = | yт – yа | = (vo2 – u2)/2g.


Заметим, что в тот момент, когда тело находится в высшей точке своего подъема относительно земли, расстояние между ним и аэростатом не является наибольшим. Дело в том, что аэростат продолжает опускаться, и когда тело начнет двигаться вниз, расстояние между ними будет увеличиваться до тех пор, пока их скорости не сравняются. Начиная с этого момента, они будут сближаться, а расстояние между ними уменьшаться. На графике показан момент времени t1, когда касательная к параболе имеет тот же наклон к оси « t », что и прямая, изображающая движение аэростата, т.е. в этот момент скорости тела и аэростата одинаковы..

Аналитически величину t1 в СО «Земля» можно найти, записав закон изменения скорости тела в зависимости от времени:

vy(t) = (vo – u) - gt

В момент t1, когда скорости сравняются, vy(t1) = - u , откуда получаем

(vo – u) – gt1 = - u, → t1 = vo/g.

Тот же результат был получен ранее для момента времени t1 в СО «Аэростат».

Расстояние Lmax можно найти, используя уравнения движения (*):

Lmax = | yт(t1) – yа(t1) | = vo2/2g,

что совпадает с полученным ранее результатом.

Время встречи тоже находится из уравнений движения: yт() = yа()

yo + (vo – u) – g2/2 = yo – u, →  = 2vo/g.
Ответ: L = (vo2 – u2)/2g; Lmax = vo2/2g,;  = 2vo/g.

Задача 4. «Пассажир и поезд»

Пассажир первого вагона прогуливался по перрону. Когда он был у последнего вагона, поезд неожиданно начал двигаться с ускорением а. Пассажир сразу же побежал к своему вагону. С какой наименьшей скоростью он должен бежать, чтобы успеть сесть в первый вагон? Длина поезда (не считая локомотива) равна L .
Направим координатную ось «x» вдоль направления движения. Пусть в начальный момент пассажир находился в начале координат, xп(0) = 0, тогда координата первого вагона x1(0) = L.

Движение пассажира описывается уравнением

xп (t) = Vt,

а движение первого вагона – уравнением

x1(t) = L + at2/2.

В момент встречи to их координаты совпадают:

xп (tо) = x1(tо).

Время встречи to может быть найдено как корень уравнения

Vt = = L + at2/2, (1)

или в более привычном виде:

at2/2 – Vt + L = 0.

Квадратное уравнение (1) может иметь два корня, один корень или вовсе не иметь корней.

Изобразим на графике x(t) функции xп (t) и x1(t).



Парабола изображает график движения поезда, а прямые 1, 2 и 3 – графики движения пассажира с различными скоростями, причем V1  V2  V3.

Точки пересечения прямой и параболы дают значения корней уравнения (1).

Прямая 1 не имеет точек пересечения с параболой, что означает, что пассажир никогда не догонит первый вагон, если будет бежать со скоростью V1.

Прямая 3 имеет две точки пересечения с параболой в моменты времени t1 и t3, что означает, что пассажир, бегущий со скоростью V3, имеет возможность догнать вагон в момент t1, перегнать его и снова поравняться с ним в момент t3.

Если же пассажир будет бежать со скоростью V2, соответствующей прямой 2, то его встреча с вагоном произойдет только в момент времени t2. Заметим, что, как видно из чертежа, скорость поезда в этот момент также будет равна V2 (прямая касается параболы). Для пассажира скорость V2, при которой он еще может догнать поезд, является минимальной из всех возможных.

Вернемся к уравнению (1). Очевидно, что при движении пассажира со скоростью V2 уравнение (1) имеет только один корень. Значит, между параметрами уравнения существует такое соотношение, что его дискриминант равен нулю:

D = V2 – 2aL = 0,

Откуда получаем Vmin = .
Ответ: Vmin = .


Задача 5. «Пассажир и провожающий»

В момент, когда поезд тронулся, человек, провожающий пассажира поезда, начал равномерно бежать по ходу поезда со скоростью vo = 3,5 м/с. Принимая движение поезда равноускоренным, определить скорость поезда в тот момент, когда пассажир, которого провожали, снова поравнялся с провожающим.
1-ый способ решения (координатный).

Запишем уравнения движения для провожающего x1(t) и пассажира x2(t), а также зависимость от времени скорости пассажира (и поезда):

x1(t) = vot; x2(t) = at2/2; v(t) = at.

В момент встречи t1 координаты обоих тел одинаковы:

vot1 = at12/2 (1)

При этом скорость пассажира (и поезда) равна

v(t1) = v1 = at1. (2)

Получившаяся система двух уравнений (1) и (2) содержит три неизвестные величины (а, t1, v1), поэтому решить ее полностью не удастся, но если учесть, что нас интересует произведение at1, легко найти ответ:

v1 = 2vo = 7м/с.

Подобная ситуация, когда число уравнений меньше, чем полное число неизвестных, нередко возникает, если мы ищем связь между величинами одной размерности, в данном случае – соотношение между скоростями. Это соотношение не зависит от того, сколько времени прошло до встречи пассажира и провожающего, или от того, с каким ускорением двигался поезд.
2-й способ решения (графический).

Изобразим графики зависимости скорости от времени для пассажира и провожающего.



Поскольку как провожающий, так и пассажир переместились на одинаковое расстояние, площади прямоугольника со сторонами vo, t1 и треугольника со сторонами v1, t1 должны быть равны. Так будет только в случае равенства заштрихованных треугольников, т.е.

v1 – vo = vo, v1 = 2vo.
Ответ: v1 = 2vo = 7 м/с.

Задача 6. «Шайба»

По гладкой наклонной доске толкнули снизу вверх шайбу. На расстоянии L = 30 см от начала пути шайба побывала дважды: через t1 = 1с и через t2 = 2с после начала движения. Определить начальную скорость и ускорение шайбы.
Направим ось «x» вверх вдоль доски. Движение шайбы описывается уравнением:

x(t) = vot – at2/2.

Нарисуем график такого движения.



Моменты времени t1 и t2 являются корнями квадратного уравнения при x = L:

vot – at2/2 = L,

или в преобразованном виде

t2 – 2(vo/a) t + 2L/a = 0.

По теореме Виетта

t1 + t2 = 2vo/a, t1t2 = 2L/a,

откуда находим:

vo = L(t1 + t2)/t1t2 = 45 см /с;

a = 2L/t1t2 = 30 см/с2.
Ответ: vo = L(t1 + t2)/t1t2 = 45 см /с;

a = 2L/t1t2 = 30 см/с2.

Задача 7. «Капли»

С каким промежутком времени оторвались от карниза крыши две капли, если спустя время Т = 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями было равно S = 25 м? (Принять g ≈ 10 м/с2)
Пусть первая капля упала на секунд раньше второй. Тогда, если отсчитывать текущее время от начала падения второй капли, уравнения движения капель имеют вид:

Y1(t) = g(t + )2/2

Y2 (t) = gt2/2

Расстояние между каплями в момент времени Т есть:

S = Y1(T) – Y2(T) = g(T + )2/2 - gT2/2 = gT + g2/2

Таким образом, для времени  получаем квадратное уравнение.

Решение этого уравнения

 =  T  (T2 + 2S/g)1/2

Выбирая (по условию) положительный корень, получаем

 = 1с.

Ответ: = 1с.

Задача 8.

Из точек А и В, расположенных на одной вертикали на расстоянии L = 100м друг от друга, одновременно бросают навстречу друг другу два тела с одинаковой скоростью vo = 10 м/с. Через сколько времени и в каком месте эти тела встретятся? (Принять g ≈ 10 м/с2)
Пусть точка А находится выше точки В. Направим ось “Y” вверх и совместим ее начало с точкой В.

Запишем уравнения движения для каждого из тел:

YB(t) = vot – gt2/2

YA(t) = L – vot – gt2/2

В момент встречи

YA(t1) = YB(t1),

откуда получаем

t1 = L/2vo = 5 c.

Координату места встречи найдем, подставив время t1 в любое из уравнений: Y1 = L/2 – gL2/vo2 = - 75 м.

Заметим, что расстояние между телами изменяется линейно со временем:

YA(t) – YB(t) = L – 2vot.

Это говорит о том, что относительная скорость (или скорость сближения) тел остается постоянной, если тела движутся с одинаковым ускорением.

В самом деле, в векторном виде:

vA(t) = voA + gt

vB(t) = voB + gt

Скорость тела А относительно тела В есть

vотн = vAvB = voAvoB

и не зависит от времени. Так что время встречи тел может быть найдено сразу:

t1 = L/vотн = L/2vо.
Ответ: t1 = L/2vo = 5c;

Y1 = L/2 – gL2/vo2 = - 75 м.

Задача 9. «Средняя скорость»

Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью v1 = 40км/ч, а вторую половину – со скоростью v2 = 60 км/ч. Найти среднюю скорость движения автомобиля на всем пройденном пути.
Средняя скорость движения по траектории (иногда говорят «путевая скорость») определяется как отношение пройденного пути ко времени движения:

v = S/t.

В данном случае время движения равно

t = S/2v1 + S/2v2 ,

откуда для средней скорости получаем:

v = 2v1v2/(v1 + v2) = 48 км/ч.

Получившееся значение средней скорости меньше среднего арифметического скоростей v1 и v2 , поскольку с большей скоростью автомобиль ехал меньшее время.

Если бы соотношение пройденных путей в рассмотренной задаче было не S/2 и S/2, а какое-то другое, то и формула для v изменилась бы.

Рассмотрим, например, ситуацию, когда тело меняет свою скорость через равные промежутки времени. Пусть в течение времени  оно движется со скоростью v1, потом столько же времени со скоростью v2, потом столько же времени со скоростью v3.

Тогда средняя скорость равна

v = (v1 + v2 + v3 )/3 = ( v1 + v2 + v3)/3,

или среднему арифметическому значению величин v1,v2,v3. Вычислим среднюю скорость за какой-либо промежуток времени при равноускоренном движении для случая, когда проекция скорости не меняет знак.

Изобразим на графике зависимость vx(t) при vox  0, ax  0: vx(t) = vo + at



Путь, пройденный телом от момента времени t1 до момента времени t2, совпадает с величиной перемещения и может быть найден как площадь заштрихованной фигуры:

S12 = x2 – x1 = (v1 + v2)(t2 – t1)/2 .

При этом

v = S12/(t2 – t1) = (v1 + v2)/2

Таким образом, при равноускоренном движении средняя скорость равна среднему арифметическому значению начальной и конечной скоростей на промежутке t1, t2, если их проекции на ось координат имеют одинаковый знак.

Проверьте, будет ли выполняться аналогичное соотношение для случая, когда тело меняет направление движения (v1x = v1, v2x = - v2). Если не будет, выясните, какой физический смысл имеет величина (v1x + v2x)/2 в этом случае.
1   2   3

Похожие:

Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения iconДля студентов 5 курса физического факультета ггу на 2009/2010 уч. Год
Задачи механики. Способы описания движения материальной точки. Классификация механических движений. Основные соотношения кинематики...
Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения icon1 Равноускоренное движение в общем случае равноускоренным движением
Тогда криволинейное движение камня можно представить как сумму двух движений – прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси...
Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения iconЗаконы взаимодействия и движения тел (27ч) 01. 01. 01
Прямолинейное равномерное движение. Скорость прямолинейного равномерного движения
Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения iconЗакон сложения скоростей в классической механике. Кинематика прямолинейного движении материальной точки
Равноускоренное прямолинейное движение. Аналитическое и графическое описание равноускоренного прямолинейного движения
Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения iconПрограмма вступительных испытаний по физике Механика
Механическое движение и его относительность. Уравнения прямолинейного равноускоренного движения. Криволинейное движение точки на...
Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения icon«Графики движения»
Цель: построить способ изображения движения в координатном углу, который позволяет наблюдать за движением нескольких объектов
Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения iconА. П. Шмаков 1 год, 2 курс Лекция Введение. Предмет механики сплошной среды. Понятие сплошной среды. Метод Лагранжа описания движения сплошной среды. Закон
Метод Эйлера описания движения сплошной среды. Поле скоростей и ускорений. Субстациональная (полная), частная и конвективная производные...
Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения iconПрограмма вступительного испытания механика механическое движение, его относительность. Система отсчета. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея
Модель материальной точки, ее применимость к описанию движений тел конечных размеров. Основная задача кинематики. Способы кинематического...
Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения iconМеханическое движение
По графику скорости равномерного движения определите скорость движения тела через 4 с после начала движения
Прямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения iconУчебно-методический комплекс по дисциплине Физика Часть I механика. Молекулярная физика и термодинамика Москва 2007г
Предмет классической механики. Границы ее применимости. Механическое движение. Принцип относительности движения. Феноменологический...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org