Комплексные числа



Скачать 38.09 Kb.
Дата27.06.2013
Размер38.09 Kb.
ТипДокументы
Комплексные числа

Рахметбаева Сана

9Б, Уштобинская СШ

Бухаржырауский район

рук. Тусупова Г.Е.
Из школьного курса алгебры известно, что квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел не существует. Однако потребности самой алгебры и её приложений требуют такого расширения понятия числа, при котором действия извлечения квадратного корня из отрицательного числа стало осуществимым.

С расширением понятия числа мы уже неоднократно встречались.

Для того чтобы сделать возможным деление одного целого числа на другое, пришлось ввести дробные числа, для возможности вычитания из меньшего числа большего вводятся отрицательные числа, для того чтобы иметь возможность описать результат измерения длины в случае, когда отрезок несоизмерим с выбранной единицей длины, понадобились иррациональные числа. Присоединение каждого последующего класса чисел к предыдущему расширяет понятие числа и вместе с тем расширяет сферу применения этого понятия.

Число корень из -1 принято обозначать буквой i , и числа вида а+вi , где а и в – обычные действительные числа, носят название комплексных чисел.

Впервые настоятельная необходимость рассмотрения комплексных чисел встретилась в XVI веке, когда несколько итальянских математиков открыли возможность алгебраического решения уравнений 3-й степени.

Рассмотрим на примере, как это произошло.

Пусть нужно решить уравнение .

Положим , где у - новое неизвестное. В результате подстановки получим уравнение

.

После приведения подобных членов получим

.

Положив , получим новое уравнение , которое равносильно квадратному уравнению, откуда

.

Мы пришли к результату, не имеющему смысла, если оставить в области действительных чисел. Напрашивается вывод: это исходное уравнение не имеет действительных корней. Но это неверно. Корень х=2 буквально бросается в глаза.

Продолжим дальше наши рассуждения. Остановимся на корне . Запишем его в следующем виде

gif" name="object10" align=absmiddle width=391 height=22>.

Итак, в этом случае . Естественно считать, что , тогда

.

Заметим, что, взяв другое значение , а именно , мы ничего нового не получим. Именно, , откуда

, а .

Однако мы получили не все корни уравнения. Мы знаем из школьного курса алгебры, что левая часть исходного уравнения делиться на х-2, ибо она обращается в нуль при х=2. выполнив деление, получим

.

Приравнивая к нулю первый множитель, получим, первый корень х=2. приравнивая к нулю второй множитель, получим

.

Естественно поставить вопрос: куда же делись эти два корня? Ответ может показаться неожиданным. Оказывается, что при извлечении кубического корня из равносильно решению уравнения . Раскладывая левую часть на множители, получим

.

Приравнивание к нулю первого множителя дает . Приравнивание к нулю второго множителя дает

.

Эти два значения у, будучи представлены , как раз и дадут неучтенные корни. Соответствующие вычисления опускаем.

Приведенный способ носит характер, он применим к любому уравнению вида (нужная подстановка), независимо от того, имеет оно бросающийся в глаза корень или нет. Но при этом оказывается, что если уравнение с действительным коэффициентами имеет три различных действительных корня, т.е. если график левой части пересекает ось абсцисс и трех точках, то в процессе решения этим методом неизбежно возникают комплексные числа и из них нужно извлекать кубические корни. В конце концов, слагаемые, содержащие символ i, взаимно уничтожаются и получаются действительные ответы. Доказано, что если решать кубическое уравнение с действительными коэффициентами, имеющее три действительных корня, каким-либо другим алгебраическим методом, то все равно избежать действия извлечения кубического корня из комплексного числа невозможно. (Под алгебраическим решением понимается представление корней уравнения через его коэффициенты в виде результатов арифметических действий и действия извлечения корня).

Отметим еще, что при извлечении кубического корня в области комплексных чисел получается три значения, а не одно, как при том же действии в области действительных чисел. Для построения всех корней уравнениянужно учитывать все три значения кубического корня.

При переходе в область комплексных чисел многие предложения алгебры становятся более простыми и симметричными. Так, квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами всегда имеет два корня, различных или совпадающих. Корень п-й степени из отличного от нуля действительного или комплексного числа всегда имеет п различных значений и т.д..

Вместе с тем теоретическое и прикладное значение комплексных чисел выходит далеко за пределы алгебры. Сильно продвинутая в течение XIX столетия теория функций комплексной переменной оказалась исключительно ценным аппаратом для исследования почти всех разделов теоретической физики, таких как теория колебаний, гидродинамики и т.д.
Литература


  1. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников.- М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы,1987.-336с.

  2. Шувалова Э.З., Агафонов Б.Г., Богатырев Г.И. Повторим математику. Изд.2 е, доп. Учеб.пособие для поступающих в ВУЗы. М., «Высшая школа» 1974, 519с.

Похожие:

Комплексные числа iconУрок алгебры в 11 классе по теме «Комплексные числа»
Какие комплексные числа называются сопряженными? При выполнении какого действия чаще всего используют сопряженные числа?
Комплексные числа iconКомплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
Комплексные числа iconКомплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
Комплексные числа iconГосударственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальность 010100 Математика Квалификация Математик
Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности...
Комплексные числа icon1. Комплексные числа
Комплексные числа – упорядоченная пара (x; y) действительных чисел, если для множества этих чисел определяется равенство и операции...
Комплексные числа iconКомплексные числа. Комплексные числа и арифметические операции над ними
Арифметические операции над действительными числами ( сложении е, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля) снова...
Комплексные числа iconГосударственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальность 010500 Механика Квалификация Механик Москва 2000
Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности...
Комплексные числа iconКомплексные числа
Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных чисел. Впервые с необходимостью их введения математики столкнулись...
Комплексные числа icon«комплексные числа»
Поэтому в школьном курсе математики при решении квадратных уравнений, дискриминант которых меньше нуля, отмечалось, что такие уравнения...
Комплексные числа iconРешение задач с параметром на множестве комплексных чисел
Выбор темы: Комплексные числа математическая модель для описания и изображения материальных точек в решении прикладных задач по физике....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org