Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А



Скачать 46.22 Kb.
Дата27.06.2013
Размер46.22 Kb.
ТипЛекция
Лекция 1.

Матрицы. Основные определения и типы матриц.
Определение 1. Матрицей А называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел aij, которые называют элементами матрицы и обозначается

m – кол-во строк!

m*n – размерность матрицы!

n – кол-во столбцов!


Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица, которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица, это любая прямоугольная таблица, составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии


Определение 2. Если в выражении (1)m=n, то говорят о квадратной матрице, а если m≠n, то о прямоугольной.

В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

  1. Матрица - строка (или строковая матрица), состоящая из одной строки. Это прямоугольная матрица размером 1 x n.



  1. Матрица - столбец (столбцевая матрица), состоящая только из одного столбца. Это также прямоугольная матрица размером 1 x m.



  1. Матрица, состоящая из одного элемента



  1. Нулевая матрица, состоящая из одних нулей, в матричной алгебре играет роль 0, обозначается V.





  1. Единичная матрица, состоящая из нулей, кроме главной диагонали, на которой стоят единицы. Обозначается E и играет роль единицы в матричной алгебре

gif" name="graphics7" align=bottom width=187 height=67 border=0>

  1. Диагональная матрица, квадратная порядка n, состоящая из нулей и на главной диагонали стоят не равные нулю элементы (не обязательно единицы)




Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант, который составляется из элементов матрицы и обозначается



Очевидно, что DE=1; DV=Ø.
Определение 3. Если detA≠0, то матрица А называется невырожденной или неособенной.
Определение 4. Если detA=0, то матрица А называется вырожденной или особенной.
Определение 5. Две матрицы A и B называются равными и пишут А = B, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е.



Например, матрицы  равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы  нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы, стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы  разные, так как имеют разные размеры. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы  равны, согласно определению 5.
Определение 6. Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы А и такое же количество ее строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n-го порядка, определитель которой  называется минором k-го порядка матрицы А.
Пример. Выписать три минора второго порядка матрицы



Решение.




Матрицы. Ранг матрицы.
Определение 7. Если матрица А не нулевая, т.е. существует хотя бы один aij элемент матрицы А, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что

  1. у матрицы A имеется минор r-го порядка, для которого 

  2. всякий минор матрицы a порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается 

Замечание. Рангом матрицы называется количество ненулевых строк данной матрицы.

Операции над матрицами.
Определение 8. Суммой двух матриц одинакового размера A=(aij) и B=(bij) называется матрица С, у которой (cij)=(aij+bij), и записывают C=А+B
Пример. Найти А+B, если



Решение.
Определение 9. Произведением матрицы А=(аij) на число k называется такая матрица C=(сij), у которой (сij) = (ka­ij).
Определение 10. Матрица в, у которой все элементы равны элементам матрицы A по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки по сравнению со знаками соответствующих элементов матрицы A, называется противоположной матрице A и записывается A=(-1) (аij).
Заметим, что умножение любой матрицы на нулевую дает в результате нулевую матрицу, как и в обычной алгебре, т.е. .

Если А – квадратная матрица, то тогда также очевидно равенство  где n – размер матрицы А.
Определение 11. Если A=(aij)mXp, а B=(bij)pXn, то произведением матрицы А на матрицу B назовем матрицу С, каждый элемент которой вычисляют по формуле:



Из определения 11 видно, что каждый элемент матрицы С=АВ, расположенный в s-ой строке и k-ом столбце равен сумме произведений элементов s-ой строки матрицы А на элементы k-го столбца матрицы В.

Пример. Найти произведение матриц




  • переместительный закон не выполняется т.е. АВ≠ВА. Поэтому различают умножение на матрицу слева и справа;

  • (А+В) С=АС+ВС

  • (АВ) С=А (ВС) =АВС


Похожие:

Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А iconОпределители матриц
Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел; элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер...
Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А icon1. Матрицей называется произвольная (квадратная или прямоугольная) таблица чисел. Равенство матриц
Равенство матриц – две матрицы равны, если их размерности и элементы, стоящие на одних и тех же позициях, совпадают
Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А iconТема 1 линейная алгебра § определение матриц. Действия над матрицами и векторами
Матрицей называется множество чисел, образующих прямо­угольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы...
Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А iconВопросы к экзамену по курсу «Системы линейных алгебраических уравнений»
Сумма матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц. Основные свойства этих операций
Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А iconМатрицы и операции над ними Определение. Матрицей
Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении...
Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А iconКоллоквиум по линейной алгебре и линейным пространствам
Матрицы. Виды матриц. Операции над ними. Свойства операций сложения и умножения матриц (доказательство для матриц 2x2)
Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А iconЛекция 22. Числовые ряды. 22 Основные определения. Определение
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом
Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А iconХарактеристический многочлен и характеристические числа матрицы. Собственные значения и собственные векторы матрицы
Пусть дана квадратная матрица порядка n. Характеристической матрицей матрицы a называют матрицу
Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А iconЛекция Матрицы и действия над ними. Основные вопросы Матрицы и действия над ними
...
Лекция Матрицы. Основные определения и типы матриц. Определение Матрицей А iconОпределение суммы и произведения двух матриц. Свойства этих операций
Сложение матриц. Суммой двух матриц a и b (одинаковый размер: ) есть матрица такая, что для
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org