2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах



Скачать 80.89 Kb.
Дата27.06.2013
Размер80.89 Kb.
ТипДокументы
2.7. Наилучшее приближение в нормированных пространствах

Как для заданной функции f(x) и заданным требованиям к точности нужно выбирать функцию (x), наиболее удобную для вычисления? Строгая постановка этого вопроса влечет за собой две задачи:

1. Даны класс R функций, определенных на отрезке [а, b], и некоторое подмножество R1 функций этого класса. Для заданной функции f(x)  R и заданного числа ε > 0 требуется найти такую функцию (x)  R1, чтобы имело место неравенство

|f(x) - (x)| < ε, х  [а, b].

В качестве R обычно рассматривается множество С непрерывных функций, а в качестве R1 — некоторое множество алгебраических или обобщенных многочленов.

2. Для данной функции f(x)  R найти функцию 0(x)  R1, для которой имеет место

.

Если такая функция существует, то ее называют функцией наилучшего равномерного приближения к f(х) в классе R.

2.7.1. Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах

Линейное нормированное пространство. Будем говорить, что множество R является линейным нормированным пространством, если это множество линейно и, кроме того, каждому элементу f  R поставлено в соответствие действительное число ||f|| — норма f, —удовлетворяющее условиям:

  1. ||f|| ≥ 0, причем ||f|| = 0 тогда и только тогда, когда f = 0;

  2. ||cf|| = |c| ||f|| для любого с;

  3. ||f1 + f2||  ||f1|| + ||f2||.

Линейные нормированные пространства всегда являются метрическими пространствами. Действительно, в качестве расстояния ρ(f1, f2) можно взять просто

ρ(f1, f2) = |f1 - f2|.

Элемент наилучшего приближения. Пусть дано некоторое линейное нормированное пространство R. Возьмем в нем n+1 линейно независимых элементов 0, 1, …, n и образуем (n+1)-мерное линейное нормированное подпространство R1 всевозможных линейных комбинаций

Ф = а00 + а11 +…+ аnn.


Числовое множество ||f - Ф|| ограничено снизу (нормы — неотрицательные числа). Поэтому существует точная нижняя грань значений

.

Выясним вопрос: существует ли элемент Ф0  R1 для которого эта нижняя грань достигается, т. е. существует ли такой элемент Ф0 R1, для которого имеет место равенство

? (2.4)

Каждый из элементов Ф0  R1, для которого выполняется равенство (2.4), будем называть элементом наилучшего приближения для f(x) в R1.

Теорема. Для любого элемента f(x)  R в R1 существует элемент наилучшего приближения.

Вообще говоря, такой элемент будет не один. Приведем сейчас достаточное условие, обеспечивающее единственность элемента наилучшего приближения. Назовем нормированное линейное пространство строго нормированным, если в условии

||f1 + f2||  ||f1|| + ||f2||

знак равенства достигается только тогда, когда f2 = cf1, с > 0.

Теорема. Если пространство R строго нормирование, то элемент наилучшего приближения является единственным.

2.7.2. Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций многочленами

Возьмем теперь в качестве линейного множества R совокупность С[а ,b] всех непрерывных на [а ,b] функций. В качестве нормы f  R примем:

||f|| = |f(x)|.

Нетрудно проверить, что все условия, требуемые от нормы, при этом выполнены. Пусть φ0(х), φ1(х), ..., φп(х) — какие-то n+l линейно независимых функций из С. В качестве R1 возьмем совокупность линейных комбинаций Ф(х) = с действительными коэффициентами.

Элемент Ф0, принадлежащий R, будет являться элементом наилучшего равномерного приближения для f  R, если |f(x) - Ф0| принимает наименьшее возможное значение. На основании результатов предыдущего параграфа можно заключить, что такой элемент, всегда существует. Но полученное нами достаточное условие единственности элемента наилучшего приближения здесь неприменимо так как пространство С не является строго нормированным.

Для функций f  R = С[а ,b] и Ф0  R1 обозначим L= |f(x) Ф0(х)|.

Теорема Чебышева. Для того чтобы функция Ф0(х) являлась многочленом наилучшего приближения для функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы на [а, b] нашлись по крайней мере n+2 точки х0 < х1 < . . . < хп+1, в которых f(x) - Ф0(x) принимает поочередно значения L.

Алгебраические многочлены наилучшего равномерного приближения. Функции 1, x, x2, …, xn образуют систему Чебышева на любом отрезке [а, b]. Следовательно, вся полученная нами теория наилучших приближений применима к этой системе функций.

Первая теорема Вейерштрасса. Если f(x)  C, то для любого ε > 0 существует такой многочлен Р(х), что при всех х  [а ,b] имеет место неравенство |f(x) - P(x)| < ε.

Многочлен Бернштейна



при достаточно большом n удовлетворяет требованиям первой теоремы Вейерштрасса.

Тригонометрические многочлены наилучшего равномерного приближения. Функции 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, …, sin nx, cos nx образуют систему Чебышева на полуотрезке [0, 2π).

Вторая теорема Вейерштрасса. Если f(x) непрерывная периодическая функция с периодом , то для любого ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен Т(х), что при всех х  [-∞,+∞] имеет место неравенство |f(x) - Т(x)| < ε.

Приближенное построение алгебраических многочленов наилучшего приближения. Из теоремы Вейерштрасса следует, что для функции f(x)  C[а ,b] при любом ε > 0, такой многочлен построить можно. Но важно, чтобы такой многочлен имел возможно меньшую степень. Таким многочленом будет многочлен наилучшего равномерного приближения к функции f(x) на отрезке [а ,b], принадлежащий совокупности Hn(P) многочленов степени не выше п. Способов построения многочленов наилучшего приближения для произвольной функции f(x) нет, поэтому большое значение приобретают способы приближенного построения таких многочленов.

Теорема Вале – Пуссена. Если Рn(х)  Нп(Р) и точки х0 < х1 < . . . < хп+1 (х  [а ,b]) таковы, что

sign [f(xi) − Pn(xi)] (−1)i = const то ,

где  Нп(Р) – многочлен наилучшего равномерного приближения (МНРП) к функции f(x) на отрезке [а ,b].

Определение. Точки х0, х1, . . ., хп+1 называются точками чебышёвского альтернанса.

Теорема (Чебышёв). Многочлен Рn(х)  Нп(Р) является многочленом наилучшего равномерного приближения на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда на этом отрезке существует n+2 точки xi такие, что

.

Теорема. Многочлен наилучшего равномерного приближения степени n для функции f единственный. Он совпадает с некоторым многочленом Лагранжа по n+1 точке для функции f.

Примеры многочленов наилучшего приближения.

Пример. Пусть мы приближаем непрерывную функцию на отрезке [a, b] многочленом нулевой степени. Пусть M = max f, m = min f. Тогда, очевидно, Q(x) = (M + m)/2, а точками альтернанса (их будет 2 штуки) будут какие-нибудь точки достижения максимума и минимума.

Пример. Пусть нам дана непрерывная функция f, выпуклая (вверх) на некотором отрезке [a, b]. Тогда её наилучшим линейным приближением будет функция Q(x) = kx+c, где k = f(a; b). Точки a и b (рис. 2.6) будут точками альтернанса, так как экстремум функции на отрезке может быть только один. Если функция f дифференцируема, то найдётся такая точка ξ (третья точка альтернанса), что касательная y2(x) к графику функции f параллельна прямой y1(x) = k(x − a) + f(a). Число c выбирается так, что график Q(x) проходит в точности посередине между графиками y1(x) и y2(x), то есть Q(x) = [y1(x)+y2(x)]/2.



Рис. 2.6.

Пример. Рассмотрим функцию, у которой очень много нулей, например, f(x) = sin 10πx. Тогда ≡ 0.

Действительно, взяв нулевой многочлен, мы без труда найдём 5 точек альтернанса. Применяя теорему Чебышёва, получаем, что - МНРП.

Пример. Будем приближать многочлен f(x) = x7 с помощью многочлена . Нам нужно минимизировать норму многочлена (7-й степени) g = f. Ясно, что для этой цели нужно взять приведённый многочлен Чебышёва, потому что он наименее уклоняется от нуля.

2.8. Ортогональные системы и их свойства

2.8.1. Гильбертовы пространства. Процесс ортогонализации

Введем еще одно очень важное понятие функционального анализа. Пусть R — некоторое линейное множество. Будем говорить, что в нем определено скалярное произведение, если каждой паре его элементов f1 и f2, взятых в определенном порядке, поставлено в соответствие комплексное число (f1, f2), называемое скалярным произведением этих элементов, удовлетворяющее следующим условиям:

1) скалярные произведения (f1, f2) и (f2, f1) являются комплексно-сопряженными числами

;

2) для любых элементов f1, f2, f3R и любых комплексных чисел 1 и 2 имеет место равенство

;

3) скалярное произведение элемента f на самого себя есть неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда f = 0, т. е.

(f1, f2) ≥ 0 и (f1, f2) = 0 только при f = 0.

Далее, для любых элементов f1, f2R имеет место неравенство

|(f1, f2)|2  (f1, f1) (f2, f2),

называемое неравенством Буняковского.

Определение. Линейное пространство R, в котором введено понятие скалярного произведения, называется гильбертовым пространством.

Пусть H - гильбертово пространство с нормой ||f|| = . Пусть на интервале [a, b] задана функция p > 0, которая имеет лишь конечное количество нулей и ограничена на [a, b]. Тогда будет скалярным произведением для Н.

Определение. Функция p называется весом.

Определение. Система векторов {fi} называется ортогональной, если (fi, fj)  0 при i = j и (fi, fj) = 0 i j.

Лемма. Процесс ортогонализации Грамма–Шмидта. Пусть дано гильбертово пространство H. Пусть векторы f1, ..., fn (fi H) линейно независимы. Из векторов {fi} можно построить ортогональную систему g1, …, gn.

Замечание. При необходимости полученные вектора gi можно пронормировать, но сама процедура ортогонализации того не требует.

2.8.2. Ортогональные многочлены и их свойства

В дальнейшем мы будем работать с пространством вещественнозначных функций на отрезке [a, b] со скалярным произведением



потому что именно оно чаще всего используется.

Можно показать, что процедура ортогонализации системы многочленов 1, x, x2, ..., xn, с весовой функцией p = даёт многочлены Чебышёва, которые удовлетворяют рекуррентной формуле .

Пример. Если взять p ≡ 1, то процедура ортогонализации даёт многочлены Лежандра.

Пример. При p ≡ 1 для периодических функций f(x) имеет место система тригонометрических многочленов (ряд Фурье функции f(x)).

Тот базис, который получается ортогонализацией Грамма–Шмидта (относительно некоторого скалярного произведения), будем называть системой ортогональных многочленов. Будем использовать для обозначения системы ортогональных многочленов букву P. Итак, P0, P1, ... - ортогональные многочлены.

Теорема. Для ортогональных многочленов выполняется рекуррентное соотношение вида

Pn+1(x) = (x − αn)PnβnPn−1,

причем коэффициенты βn рекуррентного соотношения положительны.

Теорема. Pn(x) имеет на отрезке [а, b] ровно n различных нулей.




Похожие:

2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах iconВопросы на экзамен по предмету "Функциональный анализ"
Линейные нормированные пространства. Примеры. Сходимость в нормированных пространствах
2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах iconЛекция №9 Регрессионный анализ
В этих случаях пытаются определить кривую (поверхность), которая дает наилучшее (в смысле метода наименьших квадратов) приближение...
2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах iconРавномерные структуры на топологических пространствах, группах и g-пространствах
Теоретико-множественное введение. Частичный, линейный и полный порядок. Аксиома выбора, принцип максимального элемента. Понятие фильтра,...
2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах iconО вращении в многомерных пространствах
Установлено, что вращения в таких пространствах возможны при размерности их не выше трёх. Полученный результат в плане невозможности...
2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах iconПрограмма учебной дисциплины " электронная структура молекул"
Общие понятия и теоремы: симметрия волновых функций, адиабатическое приближение, вариационный принцип, одноэлектронное приближение,...
2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах iconВопросы к экзамену по курсу «Математические методы и модели исследования операций»
Ические пространства. Сходимость и понятие предела в топологических пространствах. Непрерывные отображения. Аналоги топологических...
2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах iconАндрея Разина «Второе приближение»
Проект «Второе приближение» (second approach) рожден русской культурой, если под ней понимать Федора Достоевского, Сергея Прокофьева,...
2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах iconТезисы Основная идея: абсолютное индивидуальное бессмертие невозможно, но возможно и реализуемо бесконечное приближение
Основная идея: абсолютное индивидуальное бессмертие невозможно, но возможно и реализуемо бесконечное приближение к идеалу абсолютного...
2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах iconЗ = Завтрак О= Обед У= Ужин Наилучшее Тихоокеанского Побережья

2 Наилучшее приближение в нормированных пространствах iconВопросы к экзамену Функциональный анализ. 14. 12. 10
Определение и свойства нормы в линейном пространстве. Примеры нормированных пространств. Полные пространства
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org