Дифференцирование функций комплесного переменного



Скачать 76.16 Kb.
Дата30.06.2013
Размер76.16 Kb.
ТипЛекция




Лекция 3(16 сентября 2002 года).
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

10. Определение (Комплексной производной). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки z0. Комплексной производной функции f(z) в точке z0 называется следующий предел (если он):.
Замечание. 1) Т.к. определение производной как и в действительном анализе, то сохраняются все свойства производной.(+ , - , * , / , сложная и обратная функции).

2) Существование предела можно переписать следующим образом: , а это означает, что приращение у функции есть комплексный дифференциал, поэтому такие функции называются комплексно дифференцируемыми или С-дифференцируемыми.
Пример. 1) вычислить производную в любой точке.

.

2) вычислим производную:

по разным направлениям вещественной оси а) б) предела не существуюет.
20. Условие Коши-Римана.
Теорема. имеет комплексную производную в точке

1) дифференцируемы в точке.

2) в точке выполняется условие Коши-Римана (Деламбера-Эйлера): .

Доказательство: Пусть gif" name="object18" align=absmiddle width=114 height=22> тогда; . Теорема доказана т.к. 1) мы проверили, что функции u и v – дифференцируемы. 2) эти равенства и есть условие Коши-Римана, т.к. .

Все рассуждения можно обратить.
Замечание. 1) Геометрический смысл модуля и аргумента комплексной производной. Пусть дана функция - R-дифференцируемая, значит у неё есть дифференциал линейное преобразование плоскости. - С-дифференцируемая что это за линейное преобразование? Это линейные преобразования, которые могут быть записаны в комплексной форме в виде умножения на комплексное число (а это растяжение или поворот), т.е. ; растяжение в раз, а поворот на угол

2

) Если комплексная производная существует, то её можно вычислить по одной из 2 формул: либо, либо, т.е. (А это и есть условие Коши-Римана). - А это условие Коши-Римана.

3) Только из условия Коши-Римана не вытекает комплексное дифференцирование.
Пример. 0 – на осях, 1 – иначе.
Теорема (Д. Е. Меньшова). Если 1) непрерывная в области D.

2) В каждой точке области выполняется условие Коши-Римана, то функция -

С-дифференцируемая в области D.

Доказательство. Без него.
Определение. Говорят, что функция f голоморфна в точке z0, если f – С-дифференцируемая в некоторой окрестности этой точки.
30. Формальные частные производные.

Пусть - R-дифференцируемая. Напишем её дифференциал:

подставим в (*), получим: . Введём специальные обозначения для дифференциальных операторов.

Формальные частные производные.

Тогда, например, условие Коши-Римана в терминах формальных частных производных: .
40. Дифференцирование основных элементарных функций.


  1. а) Многочлены P(z) - голоморфны в С. б)P/Q - голоморфны в С\{нулей Q}.

  2. , проверим условие Коши-Римана: функция С-дифференцируема.

то - голоморфна во всей комплексной плоскости и
3.) , D – область определения. Непрерывная ветвь логарифма, тогда- голоморфна в D (т.к. непрерывна) и по правилу дифференцирования обратной функции.

50. Сопряжённые гармонические функции.
Определение. Вещественная функция u=u(x,y) от двух вещественных переменных называется гармонической в области D, если 1)

2) если u удовлетворяет условию Лапласа (всюду в области D):

Утверждение1. Если - голоморфизм в области D, то функции u и v – гармонические в этой области.

Доказательство. Напишем условие Коши-Римана: продифференцируем по 2 разу: складываем, тогда утверждение доказано. (Оператор Лапласа = 0). Надо проверить 1 условие (существование 2-ой производной) – мы это докажем через 1-2 лекции.
Определение. Сопряжёнными гармоническими функциями называются гармонические функции, связанные условием Коши-Римана, т.е. это вещественные и мнимые части некоторой голоморфной функции.
Утверждение2. Если функция u – гармоническая в односвязной области D, то - голоморфная функция в D.
Доказательство. Односвязная область? Область без дырок (стягивается в точку). Предположим, что. Напишем дифференциал мнимой части: , но существует ли такая функция?

Ответ из теоремы (Грина) в МАТАНЕ: Функции P, Q, непрерывны в односвязной области D, тогда утверждается, что дифференциальная форма является полным дифференциалом, т.е.

Интеграл не зависит от выбора точек: , все условия гладкости выполнены для ч. т. д.
Замечание. В многосвязной области такое утверждение не верно.
Пример: - гармонична в С*. непрерывная ветвь – локально сопряжённая функция. Если есть дырки, то возникает многосвязная область. глобально однозначно не определяется.

Задача. 1) Дано, проверить, что w – С-дифференцируемо.

2) , доказать, что – С-дифференцируемо.

3) , доказать, что – С-дифференцируемо.

4) Доказать, что множество предельных точек есть либо точка, либо окружность. Найти центр и радиус.

5) Функция - голоморфна в D. . Доказать, что линия уровня функций u, v (u=const, v=const) пересекаются под прямым углом.

6

) Выразить оператор Лапласа через формальные частные производные .

7) Доказать инвариантность условия Коши-Римана относительно вращения плоскости:

Тогда условие Коши-Римана запишется следующим образом:

. В частности, записать условие Коши-Римана в полярных координатах.

8) Пусть P(z) – многочлен. Доказать, что нули - выпуклая оболочка.
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
10. Определение конформного отображения.
Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки z0. Функция f называется конформным отображением точки z0, если: 1) функция f - R-дифференцируема в этой точке и 2) обладает следующими свойствами: А) постоянство растяжения векторов во всех направлениях.

Б) сохраняет углы между векторами как по величине, так и по направлению.
Замечание1. Определение равносильно тому, что. Какие линейные преобразования обладают такими свойствами? Только растяжение и поворот – а это комплексные преобразования. При симметрии А) выполняется, а Б) не выполняется.
Замечание2. Если, то конформность нарушается. Почему? , т.е. конформность нарушается по существу.



Определение. Пусть, f называется конформным отображением областей, если: 1) f –биекция 2) f –конформна в любой точке области D.
Замечание. Из конформности в каждой точке не вытекает глобальная конформность.
Пример: конформна в каждой точке С. Но оно не является взаимно-однозначным (т.к. функция периодическая). .
Теорема1 (Бор, 1918). Дано: 1) гомеоморфизм.

2) В каждой точке области выполняется условие а), тогда конформное отображение ( - голоморфная функция), т.е.
Теорема2 (Д. Е. Меньшов, 1926). 1) гомеоморфизм.

2) Свойство б) конформное отображение - голоморфная функция.

Похожие:

Дифференцирование функций комплесного переменного icon§ Дифференцирование функций
...
Дифференцирование функций комплесного переменного iconУчебная программа Дисциплины р1 «Теория функций комплексного переменного»
Дисциплины «Теория функций комплексного переменного» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями...
Дифференцирование функций комплесного переменного iconУчебная программа Дисциплины р2 «Теория функций комплексного переменного» по направлению 011800 «Радиофизика» Нижний Новгород 2011 г
Дисциплины «Теория функций комплексного переменного» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями...
Дифференцирование функций комплесного переменного iconЛекция Интегрирование функций комплексного переменного
Но определенный интеграл регулярной функции комплексного переменного обладает свойством, присущим не всем криволинейным интегралам...
Дифференцирование функций комплесного переменного icon«Дифференциальное исчисление функций одной переменной» иметодические рекомендации к ней для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Дифференцирование функций, заданных параметрически, неявно. Логарифмическое дифференцирование
Дифференцирование функций комплесного переменного iconРабочая учебная программа дисциплины Теория функций комплексного переменного
Воспитание достаточно высокой математической культуры; развитие навыков использования понятий и методов теории функций комплексного...
Дифференцирование функций комплесного переменного iconРабочая программа курса «Теория функций комплексного переменного»
«Теория функций комплексного переменного» для специальности 220600 «Организация и технология защиты информации»
Дифференцирование функций комплесного переменного iconКонтрольные вопросы по курсу «Теория функций комплексного переменного»
Контрольные вопросы предназначены для проверки знаний студентов по теории функций комплексного переменного и представлены в виде...
Дифференцирование функций комплесного переменного iconРабочая программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» предназначена для студентов 2 курса по специальности
Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины «Теория функций комплексного переменного»
Дифференцирование функций комплесного переменного icon«дифференцирование»
Задание Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org