Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4]

Скачать 183.68 Kb.

страница	1/2
Дата	02.07.2013
Размер	183.68 Kb.
Тип	Лабораторная работа

1 2

Решение нелинейных уравнений, стр.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4].

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы по каждой задаче: 1) постановка задачи; 2) необходимый теоретический материал; 3) результаты вычислительного эксперимента; 4) анализ полученных результатов; 5) графический материал (если необходимо);

6) тексты программ.

Варианты заданий к задачам 2.1-2.10 даны в ПРИЛОЖЕНИИ 2.A.

Фрагмент решения задачи 2.1 дан в ПРИЛОЖЕНИИ 2.B.

Задача 2.1. Даны два уравнения f(x)=0 и g(x)=0. Найти с точностью

все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [a, b]. Для решения задачи использовать метод бисекции. Найти корни с помощью встроенной функции fzero пакета MATLAB.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Найти аналитическое решение уравнения f(x)=0.

2. Используя пакет MATLAB, локализовать корни f(x)=0 графически.

3. Используя программу half (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 2.B), найти корни уравнения f(x)=0 с точностью

с помощью метода бисекции.

4. Используя встроенную функции fzero пакета MATLAB, найти корни уравнения f(x)=0 с точностью

.

5. Аналогично п. 1-4 попытаться найти корни уравнения g(x)=0. Объяснить полученные результаты.

Задача 2.2. Найти указанный в варианте корень уравнения f(x)=0 с точностью

, двумя способами.

Использовать метод бисекции. Предварительно определить отрезок локализации [a, b].
Использовать метод Ньютона. В качестве начального приближения для метода Ньютона взять середину отрезка локализации из п. а).

Сравнить число итераций в п. a), b).

Задача 2.3. Локализовать корни уравнения f(x)=0 и найти их с точностью

, используя метод простой итерации. К виду x=(x), удобному для итераций, уравнение f(x)=0 привести двумя способами.

a) Преобразовать уравнение к виду x=x-f(x), где =2/(M+m),

, а x принадлежит отрезку локализации [a, b].

b) Любым другим преобразованием уравнения. Проверить достаточное условие сходимости метода.

Использовать критерий окончания итерационного процесса вида

, где в п. a) q=(M-m)/(M+m), в п. b)

.

Сравнить число итераций и значения величины q в п. a), b).

Задача 2.4. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью

, используя методы простой итерации и Ньютона. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций).

Задача 2.5. Найти приближенно корень уравнения f(x)=0, принадлежащий отрезку [a,b], с точностью

, используя модификацию^{^*} метода Ньютона для случая кратного корня при значениях m=1,2,3,4,5. По числу итераций определить кратность корня.

Задача 2.6. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью

, используя метод Ньютона и метод, указанный в индивидуальном варианте. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения

.

Задача 2.7. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью

, используя метод Ньютона, упрощенный метод Ньютона и метод секущих^{^**}. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения

.

Задача 2.8. Найти приближенно все (в том числе комплексные) корни уравнения f(x)=0 с точностью

, используя метод Ньютона.

УКАЗАНИЕ. Для поиска комплексных корней следует использовать комплексные начальные приближения.

Задача 2.9. a) Локализовать корни уравнения f(x)=0. Уточнить их с точностью

, используя метод Ньютона. Для поиска кратного корня и определения его кратности следует использовать модификацию метода Ньютона для случая кратного корня с m=1,2,3. При любых ли начальных приближениях такой метод сходится?

b) Рассмотреть уравнение f(x)+=0, где

. Найти корень кратности 1, используя метод Ньютона. Применить для нахождения кратного корня соответствующую модификацию* метода Ньютона. Удается ли найти кратный корень? Если нет, то использовать метод Ньютона с комплексными начальными приближениями. Сохранился ли кратный корень? Объяснить результаты.

Задача 2.10. Функция y=f(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. На отрезке [1, 5] построить таблицу значений функции y=f(x) с шагом h=0.5, применяя один из методов численного решения нелинейного уравнения (с точностью

). Построить график функции y=f(x) на заданном отрезке.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.A.

Схема вариантов к лабораторной работе

N	Выполняемые задачи
1	2.1.1, 2.2.1, 2.10.1	7	2.1.7, 2.2.2, 2.10.3
2	2.1.2, 2.3.1, 2.9.1	8	2.1.8, 2.3.2, 2.9.3
3	2.1.3, 2.4.1, 2.8.1	9	2.1.9, 2.4.2, 2.8.3
4	2.1.4, 2.5.1, 2.10.2	10	2.1.10, 2.5.2, 2.10.4
5	2.1.5, 2.6.1, 2.9.2	11	2.1.11, 2.6.2, 2.9.4
6	2.1.6, 2.7.1, 2.8.2	12	2.1.12, 2.7.2, 2.8.4

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Таблица к задаче 2.1

N	f(x)	g(x)	[a, b]
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.1.7.			[5,25]
2.1.8			[0.1,10]
2.1.9			[0.1,2]
2.1.10
2.1.11
2.1.12

Таблица к задаче 2.2 Таблица к задаче 2.3

N	f(x)	Найти корень	N	f(x)
2.2.1		отрицательный	2.3.1
2.2.2		положительный	2.3.2
2.2.3		положительный	2.3.3
2.2.4		наибольший по модулю	2.3.4
2.2.5		все корни	2.3.5

Таблица к задаче 2.4

N	f(x)	[a, b]
2.4.1		[0.8,1.2]
2.4.2		[0.3,0.7]
2.4.3		[0.5,1]
2.4.4		[0,1]
2.4.5		[0,0.7]

Таблица к задаче 2.5

f(x)
N
2.5.1	4.545004	-3.055105	-18.06895	4.002429	4.722482
2.5.2	-2.656764	-3.406111	10.89372	-1.752935	-3.423612
2.5.3	-4.556062	2.93309	9.274868	-10.32081	0.422098
2.5.4	7.809249	16.28542	-2.771356	-27.95304	-11.33921
2.5.5	-13.0072	60.24546	-122.0716	105.6798	-30.19201

Таблица к задаче 2.6 Таблица к задаче 2.7

N	f(x)	Метод*	N	f(x)
2.6.1		упрощенный метод Ньютона	2.7.1
2.6.2		метод ложного положения	2.7.2
2.6.3		метод простой итерации	2.7.3
2.6.4		метод секущих	2.7.4
2.6.5		метод Стеффенсена	2.7.5

Таблица к задаче 2.8 Таблица к задаче 2.9

N	f(x)	N	f(x)
2.8.1		2.9.1
2.8.2		2.9.2
2.8.3		2.9.3
2.8.4		2.9.4
2.8.5		2.9.5

Таблица к задаче 2.10

N	F(x,y)
2.10.1	, ,
2.10.2	, ,
2.10.3	, ,
2.10.4	, ,
2.10.5	, ,

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. В

Фрагмент решения задачи 2.1.0

=0, [a,b]=[0, ]

Аналитическое решение задачи:

=1.31811607652818,

=1.738244406014586

Численное решение задачи: Локализация корней для численного решения задачи:
f=inline('(cos(x))^2-(1/12)*cos(x)-(1/24)');% задание функции

format long;%формат вывода чисел

figure;%строим график для локализации корней на заданном промежутке

fplot(f,[0 pi]);

grid on;

Рисунок 1
Из графика функции представленного на рис.1 находим отрезки локализации: [1;1.5] и [1.5;2].
Метод бисекции
function [root,count, varargout] = half(fname, left, right, varargin)

% файл-функция находит корень уравнения f(x)=0

% методом половинного деления

% Использование

% root = half(fname, left, right, epsilon)

% fname - имя файл-функции, вычисляющей f(x)

% left, right - левая и правая границы отрезка, на

% котором находится корень

% epsilon - точность вычислений, если не задана, то

% по умолчанию 1.0e-03

% [root, Fun] = half(fname, left, right, epsilon)

% Fun = f(root)

% Если число входных аргументов равно четырем, то последний

% аргумент содержит точность вычислений, а если трем, то точность

% устанавливается по умолчанию 1.0e-03

switch nargin

case(4)

epsilon = varargin{1};

case(3)

epsilon = 1.0e-03;

otherwise

error('Может быть три или четыре входных аргумента')

end

% Проверка значений функции на границах отрезка

if feval(fname, left)*feval(fname, right) > 0

error('Одинаковые знаки функции на границах отрезка')

end

% Деление отрезка пополам

i=0;

while (right - left) > epsilon

i=i+1;%счетчик итераций

center = (right + left)/2; % вычисление середины отрезка

% проверка на равенство f(x) нулю в середине отрезка

if feval(fname, center) == 0

break % найден точный корень, дальше делить нет смысла

end

% Выбор нужной половины отрезка, на границах которой

% f(x) принимает значения разных знаков

if feval(fname, left)*feval(fname, center) < 0

right = center;

else

left = center;

end

end

% Приближенное значение корня равно координате любой границы

% последнего полученного отрезка

root = center;

count=i;

if nargout == 3

varargout{1} = feval(fname, root);

end

ПЕРВЫЙ КОРЕНЬ
[root1,iter1,froot1]=half(f,1,1.5, 1.0000e-010)
root1 =
1.31811607169220

iter1 =
33

froot1 =
-1.588901926696806e-011

Встроенная функция пакета MATLAB:

[MLroot1,fMLroot1]=fzero(f,[1 1.5])
MLroot1 =
1.31811607165282

fMLroot1 =
6.938893903907228e-018

Значение корня отличается от найденного с помощью функции half, переопределим параметр для задания погрешности: TolX=1e-10
Значение корня с заданной точностью 1.31811607165211
ВТОРОЙ КОРЕНЬ
[root2,iter2,froot2]=half(f,1.5,2,1.0000e-010)

root2 =
1.73824440600583

iter2 =
33

froot2 =
-3.595922171140131e-012
Значение корня с заданной точностью 1.73824440600583, число итераций 33.

[MLroot2,fMLroot2]=fzero(f,[1.5 2],optimset('TolX',1e-10))
MLroot2 =
1.73824440598006

fMLroot2 =
-1.418609674175286e-011

Значения корней в пределах заданной точности совпадают.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.C

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть необходимо решить уравнение
f(x)=0. (1)
Первым этапом в решении задачи отыскания корней нелинейного уравнения является локализация корней. Отрезок [a, b], содержащий только один корень уравнения (1), называется отрезком локализации корня. Для локализации корней широко применяют построение таблиц и графиков. Основанием для применения указанных способов служит хорошо известный факт математического анализа: если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка существует точка, в которой данная функция равняется нулю.

Если в произвольной точке х можно вычислить не только значение f , но и ее производную f ' , эффективным методом вычисления корня является метод Ньютона. При этом рассчитывается последовательность xⁱ, сходящаяся к х⁰:

Этот алгоритм обычно используется в стандартных программах компьютеров для вычисления квадратных корней чисел.

В качестве начальной точки в зависимости от свойств функции берется или левая точка х⁰=a (если f(a) f ^//(a)>0) или правая х⁰=b (если f(b) f^//(b)>0)
Применение метода Ньютона к вычислению значений функции.

Пусть требуется найти значение заданной функции φ в заданной точке a. Считая a произвольной точкой области D(φ) или какой-либо её подобласти, функциональное соответствие

x=φ(a)

зададим неявно уравнением

F(a,x)=0 (2)

Таким, чтобы: 1) оно было локально эквивиалентным (в окрестности точки a) данному; 2) функция F была дифференцируема по второму аргументу; 3) функции F и F' были легко вычислимы.

При каждом фиксированном a уравнение (2) можно считать уравнением типа (1) и получать приближенно его корень – требуемое значение x=φ(a) – методом Ньютона. Для уравнения (2) формула принимает вид

, i=0,1,2,... , а x₀ – задаваемое начальное приближение к x=φ(a).

Пример.

. Введем

, и находим

, тогда

, где i=0,1,2,... , а x₀ >0 – задается.

Метод секущих позволяет использовать быструю сходимость метода Ньютона, не вычисляя явно значение производной. Заменяя значение производной ее приближенной разностной формулой

получим рекуррентную формулу

В качестве начальных значений х₀и х₁используются любые приближенные значения корня х₀ . Вычисление завершается, когда изменение х между двумя итерациями станет меньше, чем погрешность, требуемая для искомого корня.
Метод бисекции (деления отрезка пополам).
Пусть требуется с заданной точностью  > 0 найти корень уравнения (1). Отрезок локализации будем считать заданным. Предположим, что функция f непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, т.е.
f(a)f(b)<0.

1 2

Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4]

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Таблица к задаче 2.2 Таблица к задаче 2.3

Похожие: