Вопросы по функциональному анализу (экзамен)



Скачать 37.39 Kb.
Дата02.07.2013
Размер37.39 Kb.
ТипДокументы
Вопросы по функциональному анализу (экзамен)

В группах ММ – 301, МП – 301.В.Э. Гейт.

  1. Полные метрические пространства: определение, примеры, контрпримеры, признаки, критерий полноты.

  2. Доказать теорему Банаха о неподвижной точке. Пример.

  3. Доказать критерий непрерывности линейного оператора, норма его, её свойства, процедура поиска. Примеры.

  4. Доказать теорему Хана-Банаха.

  5. Доказать теорему Банаха-Штейнгауза.

  6. Доказать теорему Банаха об обратном операторе.

  7. Доказать теорему о ближайшем элементе.

  8. Доказать теорему отделимости посредством Х *.

  9. Теорема о вложении ЛНП Х в Х** и ее доказательство, применение.

  10. Доказать теорему о замыкании подпространства.

  11. Доказать теорему Рисса относительно Н*= Н, для гильбертова пространства Н. Признак, характеризующий слабую сходимость в Н.

  12. Доказать критерий ближайшего элемента в гильбертовом пространстве и его применения: единственность ближайшего, разложение Н = М + Мв прямую сумму.

  13. Классификация сепарабельных гильбертовых пространств (теорема Рисса-Фишера).

  14. Теорема о полноте пространства линейных ограниченных операторов.

  15. Доказать теорему Рисса (критерий конечномерности ЛНП).

  16. Определение, примеры, признаки компактности и некомпактности линейного оператора. Доказать компактность оператора Фредгольма.

  17. Доказать лемму о свойствах образа T() при отображении Т,где Т = A  I, причем Акомпактный, а I тождественный операторы.

  18. Доказать, что при разрешимости уравнения Аx x = y для y  однородное уравнение Аx gif" name="graphics8" align=bottom width=12 height=24 border=0>x = 0 имеет только тривиальное решение (теорема Рисса) для А – компактного.

  19. Доказать разрешимость уравнения Аx x = y для y , если (Аx x = 0 => x=0) и оператор А  компактен.

  20. Определение, примеры и свойства сопряжённого оператора А*, для линейного оператора А:Y.

  21. Доказать критерий разрешимости уравнения Аx x = y через решения уравнения А*f f = 0.

  22. Доказать критерий разрешимости в пространстве X* уравнения А*f f =g, в терминах решений уравнения Аx x =0, для компактных А, А*.

  23. Определение спектра линейного оператора А:. Доказать свойства замкнутости и ограниченности Sp(A). Понятие собственного значения λ оператора А:и соответствующего ему собственного вектора x . Примеры; случай λ=0, λ=1 (охарактеризовать собственные векторы для λ=0, λ=1).

  24. Доказать, что если А – компактен, то 1) λ=0 Sp(A); 2) λ ≠0 λ Sp(A) => λ – собственное значение А; 3) ядро N оператора T=(AI) – замкнуто и конечномерно; и N – совпадает с множеством неподвижных точек оператора А.

  25. Доказать теорему о спектре компактного оператора .

  26. Определение, примеры самосопряжённых операторов; свойства собственных значений и чисел m = inf(Ax, x), M = sup(Ax ,x). Доказать признак регулярного значения λ . Критерий λ Sp(A).

  27. Доказать вещественность элементов Sp(A) самосопряжённого оператора А.

  28. Схема доказательства теоремы Гильберта-Шмидта; следствия этой теоремы.

  29. Доказать критерий предкомпактности в С[0,1] и lp, а также критерий слабой сходимости в этих пространствах.

Похожие:

Вопросы по функциональному анализу (экзамен) iconВопросы к контрольной работе по функциональному анализу

Вопросы по функциональному анализу (экзамен) iconВопросы по Функциональному анализу
Сходимость в метрическом пространстве. Полнота множества. Пополнение метрического пространства
Вопросы по функциональному анализу (экзамен) iconВопросы к теоретической части контрольной работы №3 по функциональному анализу
Теорема об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве
Вопросы по функциональному анализу (экзамен) iconВопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами
Метрические пространства (определение, пример). Лнп (определение, пример). Свойства нормы
Вопросы по функциональному анализу (экзамен) iconВопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом
Метрические пространства (определение, пример). Лнп (определение, пример). Свойства нормы
Вопросы по функциональному анализу (экзамен) iconВМик мгу, 4 курс, 3 поток, зимняя сессия Задачи к зачету по функциональному анализу
Доказательство. Пусть m = {xE
Вопросы по функциональному анализу (экзамен) iconВМик мгу, 4 курс, 3 поток зимняя сессия Задачи к зачету по функциональному анализу
Является ли множество m – непрерывных функций, удовлетворяющих уловию, открытым в ?
Вопросы по функциональному анализу (экзамен) iconКафедре математической физики спбгу 50 лет
О. А. Ладыженская, Л. В. Канторович, С. Г. Михлин, В. А. Якубович, Х. Л. Смолицкий, Л. Н. Слободецкий, М. М. Смирнов, М. Ш. Бирман,...
Вопросы по функциональному анализу (экзамен) iconПрограмма по функциональному анализу механики, 2011г
Линейные пространства, линейная зависимость, размерность, норма, непрерывность, открытые и замкнутые множества, непрерывность нормы,...
Вопросы по функциональному анализу (экзамен) iconПрограмма по функциональному анализу механики, 2010г
Линейные пространства, линейная зависимость, размерность, норма, непрерывность, открытые и замкнутые множества, непрерывность нормы,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org