Доказать лемму о свойствах образа T() при отображении Т,где Т = AI, причем Акомпактный, а I тождественный операторы.
Доказать, что при разрешимости уравнения Аxx = y для y∈ однородное уравнениеАxgif" name="graphics8" align=bottom width=12 height=24 border=0>x = 0имеет только тривиальное решение (теорема Рисса) для А – компактного.
Доказать разрешимость уравнения Аxx = y для y∈ , если (Аxx = 0 => x=0) и оператор А компактен.
Определение, примеры и свойства сопряжённого оператора А*, для линейного оператора А:→ Y.
Доказать критерий разрешимости уравнения Аxx = y через решения уравнения А*ff = 0.
Доказать критерий разрешимости в пространстве X* уравнения А*ff =g, в терминах решений уравнения Аxx =0, для компактных А, А*.
Определение спектра линейного оператора А:→. Доказать свойства замкнутости и ограниченности Sp(A) ⊆ . Понятие собственного значения λ оператора А:→и соответствующего ему собственного вектора x∈ . Примеры; случай λ=0, λ=1 (охарактеризовать собственные векторы для λ=0, λ=1).
Доказать, что если А – компактен, то 1) λ=0 ∈ Sp(A); 2) λ ≠0∧ λ ∈ Sp(A) => λ – собственное значение А; 3) ядро N оператора T=(A – I) – замкнуто и конечномерно; и N – совпадает с множеством неподвижных точек оператора А.
Доказать теорему о спектре компактного оператора .
Определение, примеры самосопряжённых операторов; свойства собственных значений и чисел m = inf(Ax, x), M = sup(Ax ,x). Доказать признак регулярного значения λ ∈ . Критерий λ ∈ Sp(A).
Доказать вещественность элементов Sp(A) самосопряжённого оператора А.
Схема доказательства теоремы Гильберта-Шмидта; следствия этой теоремы.
Доказать критерий предкомпактности в С[0,1] и lp, а также критерий слабой сходимости в этих пространствах.
Кафедре математической физики спбгу 50 лет О. А. Ладыженская, Л. В. Канторович, С. Г. Михлин, В. А. Якубович, Х. Л. Смолицкий, Л. Н. Слободецкий, М. М. Смирнов, М. Ш. Бирман,...
) при отображении Т,
где Т = A 
I, причем А
компактный, а I
тождественный операторы.
x = y для y ∈ 
компактен.
→ Y.
. Понятие собственного значения λ оператора А:
и соответствующего ему собственного вектора x ∈ 
