Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники»
|
Скачать 88.32 Kb.
|
Гимназическая научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку». МАОУ «Гимназия №1» города Брянска Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» Выполнили: учащиеся 9а класса Кутузова Вероника Москалева Алина Руководитель работы: учитель математики Цивинская Любовь Владимировна Брянск 2012 2 Содержание Цели и задачи работы………………...………………………….стр. 3 Объект исследования…………..……………………...……....... стр. 4-7 Методы исследования…………………………………..……….стр. 8-10 Полученные результаты и их новизна……………………….....стр. 11 Актуальность……………………………………………………..стр. 12 Литература……………………………………………………......стр. 13 3 Цель и задачи работы. При решении задач, связанных с правильными многоугольниками, мы часто сталкивались с громоздкими, тяжелыми для запоминания и, следовательно, сложными для использования формулами. Мы поставили перед собой цель упростить решение данных задач, составив компьютерную программу, в которой можно было бы, вводя значения, данные в задаче, находить всё неизвестное. 4 Объект исследования. Правильный многоугольник.Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его углы равны и все стороны равны.На рисунке 1 представлены правильные треугольник, шестиугольник и четырехугольник.    Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и также в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центры описанной около правильного многоугольника и вписанной в него окружностей совпадают. Правильные многоугольники всегда выпуклые, но существуют и самопересекающиеся замкнутые ломаные, имеющие равные звенья и углы. Фигуры такого вида называются правильными звездчатыми многоугольниками или полиграммами, по аналогии с пентаграммой - правильной пятиконечной звездой (изображена внутри правильного пятиугольника н  а рис.2).5 История. Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник. Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m - 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с  сторонами, где m — целое неотрицательное число, p1,p2 — числа 3 и 5, а k1,k2 принимают значения 0 или 1.Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, к которым, кроме 3 и 5, относятся 17, 257 и 65537, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Если брать более общо, из этого 6 следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно  , где k0 — целое неотрицательное число,  принимают значения 0 или 1, а pj — простые числа Ферма.Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году. Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году. 7 Применение. Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников. Древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.  Виды паркета, состоящие из правильных многоугольников. 8 Методы исследования. Мы выводили формулы для выражения каждого элемента правильного многоугольника. Для этого нам понадобилось вспомнить ранее пройденный материал, где была доказана теорема о том, что сумма углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n-2), исходя из того, что все углы правильного n-угольника равны, получаем, что каждый угол правильного n-угольника равен:  Пусть А1, A2, ... ,An - правильный многоугольник с центром О. Для получения формул, связывающих сторону n-угольника с радиусами вписанной и описанной окружности; формул площади и периметра n-угольника, мы рассмотрели треугольник А1ОA2, где О А1 – радиус описанной окружности, АA2 – сторона n-угольника, ОН ( ОН ┴ АА1 ) – радиус вписанной окружности. Вычислив угол ОА1Н, мы получили 90° -  .Следовательно,  = sin ( 90° - ),= cos Отсюда выводим формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружности:   9 А1Н =                10     Полученные данные мы преобразовали в удобные и достаточно лёгкие формулы для нахождения элементов правильных треугольников, четырехугольников и шестиугольников. Эти формулы представлены в таблице.
11 Полученные результаты и их новизна. В результате нашей работы мы получили таблицу с конечными формулами для более быстрого и лёгкого вычисления параметров многоугольника. Недостатком данной таблицы является то, что она рассчитана только для многоугольников со сторонами 3, 4 и 6, а в задаче могут присутствовать и многоугольники с другим числом сторон. Поэтому мы решили разработать программу, с помощью которой можно было бы вычислять элементы и других многоугольниках, то есть универсальную. 12 Актуальность. Результаты нашей работы полезны не только для учащихся, но и для преподавателей, так как разработанная нами компьютерная программа позволяет легко и быстро решать задачи, связанные с правильными многоугольниками, составлять новые задачи и значительно облегчает проверку решенных задач. 13 Литература.
2. Дополнительные вопросы по математике Е.Н Турецкий , М. «Просвещение» 2000 3. http:/images.yandex.ru |
Похожие:
 | Тесты для учеников 12 2 Тесты для студентов по теме «Правильные многоугольники» 14 Анализ содержания учебных пособий и методические особенности преподавания темы «Правильные многоугольники» 4 | | 20. Правильные многогранники и их симметрия По аналогии с правильными плоскими фигурами многоугольниками в пространстве определяют правильные многогранники: многогранник называется... |
| Самостоятельная работа Правильные многоугольники Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внутренних углов равен а 150о; б 144о? | | Правильные многоугольники Я выбрала тему «Правильные многогранники» потому, что в нашей жизни многогранники встречаются повсюду, почти в каждом предмете можно... |
| «Конструирование и исследование многоугольников (работа в тетради для исследований)» Исследование №2 «Многоугольники». Конструируем многоугольники из тико-деталей, считаем количество углов и сторон, называем многоугольники... | | Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности ( рис. 54 ). Описанным около круга называется... |
| Семинар по теме: «правильные многоугольники» Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен | | Правильные многоугольники Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его внешний угол в два раза меньше внутреннего? |
| Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности | | Ученик и различные фигуры: Окружность, Правильный Треугольник, Квадрат, правильные многоугольники Пятиугольник, Шестиугольник, Восьмиугольник, Двенадцатиугольник. Кроме того, Прямоугольник, Ромб, Трапеция Ученик и различные фигуры: Окружность, Правильный Треугольник, Квадрат, правильные многоугольники – Пятиугольник, Шестиугольник,... |