Теорема Пифагора и числа Фибоначчи
|
Скачать 151.93 Kb.
|
| Стахов А.П. Теорема Пифагора и числа Фибоначчи  Несмотря на ее предельную простоту, теорема Пифагора, по мнению многих математиков относится к разряду наиболее выдающихся математических теорем за всю историю математики. Гениальный астроном Иоганн Кеплер выразил свое восхищение теоремой Пифагора в следующих словах: «В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем». То есть, из всего необозримого множества геометрических результатов и теорем Кеплер выделил только два результата, которые он причислил к разряду «сокровищ геометрии»: теорему Пифагора и «задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (так в старину называлась знаменитая «задача о золотом сечении»). Среди бесконечного количества возможных прямоугольных треугольников, удовлетворяющих соотношению (1), особый интерес всегда вызывали так называемые «пифагоровы треугольники», стороны которых являются целыми числами. Несомненно, «пифагоровы треугольники» также относятся к разряду «сокровищ геометрии», а поиски таких треугольников представляют одну из из интереснейших страниц в истории математики. Наиболее широко известным из них является прямоугольный треугольник со сторонами 4, 3 и 5. Он назывался также «священным» или «египетским», так как он широко использовался в египетской культуре (Рис. 1).  Рисунок 1. «Священный» или «египетский» треугольник Для «египетского» треугольника на Рис. 1 теорема Пифагора (1) принимает следующий числовой вид:
Существует легенда, что именно соотношение (2) использовалось египетскими землемерами и строителями для определения прямого угла на плоскости. Для этого использовалась веревка длиной, например, 12 м, которая специальными петлями или узлами была разделена на три части в 3, 4 и 5 м. Для определения прямого угла египетский землемер натягивал одну из частей веревки, например, длиной 3 м, и фиксировал ее на земле с помощью специальных «колышек», забиваемых в две петли. Затем веревка натягивалась с помощью третьей петли и эта петля фиксировалась с помощью «колышка». Ясно, что угол, образуемый между двумя меньшими сторонами образованного таким образом треугольника, в точности равнялся 90. Считалось, что при закладке пирамид такую ритуальную процедуру по определению прямых углов основания пирамиды на земле выполнял сам фараон. В 13 в. знаменитый итальянский математик Леонардо Пизано (более известный по своему прозвищу Фибоначчи) ввел в математику любопытную числовую последовательность, известную в современной науке под названием «числа Фибоначчи». Под числами Фибоначчи понимается числовой ряд
в котором каждый член ряда, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Рекуррентная формула, задающая числа Фибоначчи, имеет вид:
На сайте [1] описан следующий способ нахождения «пифагоровых треугольников» с использованием чисел Фибоначчи (3). Для этого используются 4 любых подряд идущих числа Фибоначчи из последовательности (3):
Продемонстрируем идею метода на примере следующей четверки чисел Фибоначчи
выбранной из ряда (3), начиная из числа Фибоначчи F(2) = 1. Рассмотрим следующую процедуру [1], которая приведет нас к бесконечному числу «пифагоровых треугольников»: 1. Умножить 2 средних или внутренних числа из (7): 2 3 = 6. Для общего случая (6) мы должны вычислить произведение: F(n+1) F(n+2). 2. Удвоить результат: 2 6 = 12. Для общего случая (6) мы должны получить число a = 2 F(n+1) F(n+2). Полученное число а равно первой стороне (катету) искомого «пифагорова треугольника». 3. Умножим теперь два внешних числа Фибоначчи из (7): 1 5 = 5. Для общего случая (6) мы должны вычислить произведение: b=F(n) F(n+3). Число b представляет собой вторую сторону (катет) «пифагорова треугольника». 4. Третья, самая длинная сторона (гипотенуза) находится путем суммирования квадратов внутренних чисел из (7): 22=4 и 32=9, то есть их сумма равна: 4+9=13. Для общего случая (6) мы имеем: c=F2(n+1) + F2(n+2). Нетрудно убедиться, что стороны a, b и с прямоугольного треугольника действительно образуют «пифагоров треугольник», поскольку: 122 + 52 = 132. Для общего случая (6) стороны «пифагорова треугольника» связаны соотношением:
Путем непосредственных вычислений легко проверить, что это тождество справедливо для всех начальных «четверок» чисел Фибоначчи типа (6). Действительно, для n=1 «четверка» чисел Фибоначчи имеет вид:
В соответствии с приведенным выше алгоритмом мы можем вычислить стороны «пифагорова треугольника» для этого случая: а = 2 1 2 = 4; b = 1 3 = 3; c = 12 + 22 = 1 + 4 = 5. Таким образом, случай (9) порождает «священный» или «египетский» треугольник, для которого теорема Пифагора имеет вид (2). Рассмотрим «пифагоров треугольник» для случая n=3. Для этого случая «четверка» чисел Фибоначчи выглядит следующим образом:
Тогда в соответствии с приведенным выше алгоритмом стороны «пифагорова треугольника» могут быть найдены следующим образом: а = 2 3 5 = 30; b = 2 8 = 16; c = 32 + 52 = 9 + 25 = 34. Теорема Пифагора для этого случая выглядит так: 302 + 162 = 342. Наконец, для случая n=4 «четверка» чисел Фибоначчи имеет вид:
а стороны «пифагорова треугольника» соответственно равны: a = 2 5 8 = 80; b = 3 13 = 39; c = 52 + 82 = 35 + 64 = 89. Теорема Пифагора для этого случая выглядит так: 802 + 392 = 892. В работе [1] приведена таблица фибоначчиевых «пифагоровых треугольников» для начальных значений n. Таблица фибоначчиевых «пифагоровых треугольников»
Существенно подчеркнуть, что сторона с «пифагоровых треугольников» из приведенной выше таблицы, вычисляемая по формуле:
всегда равна некоторому числу Фибоначчи (5, 13, 34, 89, 610,...). Этот удивительный факт основан на следующем известном тождестве для чисел Фибоначчи [2]:
В работе [1] показано, что приведенная выше процедура построения «пифагоровых треугольников» справедлива не только для чисел Фибоначчи, но также и для чисел Люка:
Например, первая «четверка» 1, 3, 4, 7 чисел Люка из (14) приводит к «пифагорову треугольнику» со сторонами: а = 2 3 4 = 24; b = 1 7 = 7; c = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Для этого «пифагорова треугольника» теорема Пифагора имеет вид: 242 + 72 = 252. Вторая «четверка» 3, 4, 7, 11 чисел Люка из (14) приводит к «пифагорову треугольнику» со сторонами: а = 2 4 7 = 56; b = 3 11 = 33; c = 42 + 72 = 16 + 49 = 65. Для этого «пифагорова треугольника» теорема Пифагора имеет вид: 562 + 332 = 652. Ниже приведена таблица люковых «пифагоровых треугольников» для для начальных значений n. Таблица люковых «пифагоровых треугольников»
В работе [1] рассмотрены также так называемые фибоначчиевые прямоугольные треугольники, которые основываются на следующем известном тождестве для чисел Фибоначчи [2]:
Тождество (15) можно трактовать как выражение, задающее теорему Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами a = F(n); b = F(n+1) и c =  . Будем называть такие прямоугольные треугольники «фибоначчиевыми», поскольку они основаны на важном тождестве (15), связывающем числа Фибоначчи. Заметим, что «фибоначчивые» прямоугольные треугольники не являются «пифагровыми». Тем не менее они представляют собой интересный класс прямоугольных треугольников, основанных на числах Фибоначчи. Ниже приведена таблица «фибоначчивых» треугольников для начальных значений n.Таблица «фибоначчивых» прямоугольных треугольников
Заметим также, что подобные треугольники могут быть построены и на основе чисел Люка [1], если воспользоваться известным соотношением [2]: L2(n) + L2(n+1) = 5F(2n+1), которое задает «люков» прямоугольный треугольник со сторонами a=L(n), b=L(n+1) и c=  Ниже приведена таблица «люковых» прямоугольных треугольников для начальных значений n. Таблица «люковых» прямоугольных треугольников
Таким образом, можно надеяться, что информация, изложенная в работе [1], представляет общематематический интерес для широких кругов читателей, интересующихся историей математики, и особенно для школьников и школьных учителей математики, которые могут воспользоваться этими сведениями, с одной стороны, при изложении теоремы Пифагора, а с другой стороны, для демонстрации удивительных свойств чисел Фибоначчи и Люка. Литература:
 Стахов А.П. Теорема Пифагора и числа Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12403, 06.09.2005 |
Похожие:
 | Тема. Теорема Пифагора Пифагора. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную... | | Урок по геометрии 8 класс. "Теорема Пифагора" Образовательная цель: познакомится с биографией Пифагора, изучить теорему Пифагора |
| Числа Фибоначчи История и свойства последовательности Леонард Фибоначчи (XII-XIII в н э., Италия, Пиза) – один из величайших математиков Средневековья. Фибоначчи открыл своеобразную числовую... |  | Теорема Пифагора вне школьной программы Теорема Пифагора притягивает исключительное внимание со стороны математиков и любителей математики. Многие из них не довольствовались... |
| Первичными числами являются: 618, 786, 27, 618 Далее будем обозначать "соотношения чисел Фибоначчи" словом "числа" или числа Фибоначчи. Везде далее перевод мой | | § теоретико-числовые свойства чисел фибоначчи Если существует хотя бы одно число Фибоначчи un делящееся на m, то таких делящихся на m чисел Фибоначчи можно найти сколь угодно... |
| § теоретико-числовые свойства чисел фибоначчи Если существует хотя бы одно число Фибоначчи un делящееся на m, то таких делящихся на m чисел Фибоначчи можно найти сколь угодно... | | Урок по теме «Теорема Пифагора» Образовательная: добиться усвоения теоремы Пифагора, привить навыки вычисления неизвестной стороны прямоугольного треугольника по... |
| «Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора» | | «Числа Фибоначчи и золотое сечение» Фибоначчи и золотым сечением, их проявлениями в природе, архитектуре, скульптуре и музыке |