Вероятность больших отклонений случайных величин

Скачать 31.22 Kb.

Дата	07.07.2013
Размер	31.22 Kb.
Тип	Документы

Вероятность больших отклонений случайных величин

X={x} – СВ

Р(хA) - ?

Р(хA) = _x__Ap(x)
X={x}; ] x>=0; m_x=M[x]

Р(хA)  m_x/A (1) - обобщенное неравенство Чебышева

Док-во:

Р(хА) = _x__Ap(x)  _x__A(х/А)p(x) = m_x/A
]s>0;

Р(хA)= Р(х^sA^s) M[x^s]/A^s (2)

Р(хA)min_s_₀M[x^s]/A^s

s выбирается так, чтобы получить наименьшую оценку

Неравенство Чебышева

X={x} – любое

D_x=²_x=M[(x-m_x)²]

P(|x-m_x|)²_x/² (3) - неравенство Чебышева

Вероятность выхода больше m_x на величину > 

Док-во:
Пусть y=|x-m_x|; s=2; применим нерванетсво (2) к y при s=2

M[y²] =²_x

Неравенство Чебышева для суммы независимых случайных величин

x_{1 …..}x_nxX i =1….n

Ограничения на x_i:

1) независимы

2) M[x_i] = m_x

3) D[x_i] = ²_x
P(|(_i=1..nx_i/n - m_x|)²_x/n² (4)

_i_=1.._nx_i/n-среднее по времени(по экспериментам)

m_x- среднее математическое

Док-во:

Пусть y=_i=1..nx_i/n

M[y] = M[_i=1..nx_i/n] = M[_i=1..nx_i]/n = _i=1..n M[x_i]/n = m_x

Мат. ожидание суммы с.в.= сумме мат. ожиданий (для x)

D[y] = D[_i=1..nx_i/n] = D[_i=1..nx_i]/n²= _i=1..n D[x_i]/n² = ²_x/n

Дисперсия суммы с.в. = сумме дисперсий (для некоррелированных с.в.)

Применим к у неравенство Чебышева

P(|у-m_y|)²_y/²=²_x/n²
Следствием неравенства (4) является закон больших чисел:

Среднее арифметическое с.в. сходится по вероятности к мат. ожиданию с увеличением числа опытов n

(Мы доказали этот факт для независимых с.в. с одинаковыми мат. ожиданием и дисперсией)

] y_1…..y_n- последовательность с.в.

Эта последовательность сходится к А, если

lim_n_P(|у_n-А|>)=0 , >0

З-н больших чисел следует из того ,что в (4) правая часть стремится к 0 при n
Прямая теорема кодирования равномерными кодами для дискретного постоянного источника(ДПИ)

X={x, p(x)} ; H(X)=H

Теорема:

Для  , > 0 существует n₀такое , что при n n₀ для ДПИ с Н=Н(Х) существует код для блоков длины n со скоростью R H+ и с вероятностью ошибки P_е, или другими словами при R близкой к Н , т.е. HRH+ с увеличением n P_е0.

Док-во:

1) Построить код с HRH+

2) P_е ?

Равномерный код источника полностью описывается множеством однозначно кодируемых сообщений

] T₀- множество однозначно кодируемых сообщений

(5) ; R=log| T₀|/n

T₀-?

1  p(T₀) = _x__T0p(

) | T₀|minp(

) =

из (5)

H-₀  - log p(

)/n  H+₀ ,

 T₀

2^-n(H+^⁰⁾  p(

)  2^-n(H-^⁰⁾ ,

 T₀
= | T₀| 2^-n(H+^⁰⁾  | T₀|  2^n(H+^⁰⁾

R log| T₀|/n = H+₀ RH

При  ₀  R удовлетворяет условиям теоремы

P_е= P(T₀) = P () = P(|(_i_=1.._nI(x_i)/n - H|>₀)  D[I(x)]/n₀² (по неравенству Чебышева)

M[I(x)] = H

Выберем n₀: D[I(x)]/n₀²  . При n > n₀P_e  .

Похожие:

	Формирование выборки случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения Цель: освоение методов генерации последовательности значений случайных величин и построения графиков функций распределения и плотности...		2 Сходимость последовательностей случайных величин Рассмотрим последовательность случайных величин. Различают несколько типов сходимости
	Тема №3 Основные законы распределения случайных величин А в одном опыте равна r (соответственно вероятность его не появления равна ), а число независимых испытаний равно m, то вероятность...		Контрольные вопросы. 18 Тестовые задания. 20 Ответы 24 Модуль 24 Тема 1 (4). Независимость случайных величин. 24 Тема 2 (5). Распределения Бернулли и Пуассон Тема 3(9). Распределения случайных величин. Дискретные и абсолютно непрерывные распределени
	Семинар 4 Виды сходимости последовательности случайных величин. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема Пусть на вероятностном пространстве (, , P) заданы случайные величины n=n() (, n=1,2,…) и случайная величина =(), 		Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» Наилучшее (в среднем квадратичном) оценивание случайных величин и случайных векторов
	Лабораторная работа №3 Нахождение характеристик случайных величин задача 1 Радист вызывает корреспондента, причем, каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят....		Самостоятельная работа по теме «Элементы теории вероятностей. Основы описательной статистики» Приведите примеры случайных величин Каковы вероятности и примеры достоверного случайного события и невозможного случайных событий?
	Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин ...		А. М. Зубков 1/2 года, 3 курс Понятия верхних и нижних функций для последовательностей случайных величин. Верхние и нижние функции для последовательности независимых величин с нормальными распределениями. Закон Мартингалы. Примеры мартингалов. Разложение Дуба. Выпуклые функции от мартингалов

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org