Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее



Скачать 117.14 Kb.
Дата08.10.2012
Размер117.14 Kb.
ТипДокументы

1. Введение


Замечательная теорема о выпуклых многогранниках, которой посвящена эта статья, была опубликована Л. Эйлером (1707-1783) в 1758 году. Позднее обнаружилось, что она была известна Р. Декарту (1596-1650) почти за 100 лет до Эйлера. Сейчас принято называть теоремой (или формулой) Эйлера соотношение между числами вершин, ребер и граней многогранника, а теоремой Декарта - утверждение о сумме его плоских углов, которое легко следует из теоремы Эйлера (формулировку теоремы Декарта см. ниже в задаче 5).

Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее.

2. Теорема Эйлера


Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника выполняется равенство

B - P + Г = 2,          (1)

где буквы B, P и Г обозначают соответственно число его вершин, ребер и граней.

Например, для куба имеем B = 8, P = 12, Г = 6, для многогранника на рис. 1 B = 5, P = 9, Г = 6, и соотношение (1) выполнено.

3. Лемма


Лемма. Если в пространстве заданы прямые L1, L2, ... , Lm, то можно построить плоскость, не параллельную ни одной из этих прямых.

Доказательство. Возьмем в пространстве точку O и проведем через нее произвольную плоскость Q и прямые L'1, L'2,...,L'm, соответственно параллельные прямым L1, L2,...,Lm. Кроме того, в плоскости Q через точку O проведем прямую M, отличную от всех прямых L'i (i = 1, ... m). Пусть i - угол между плоскостью Q и прямой L'i (i = 1, ... m). Мы считаем, что 0  i  /2. Если все прямые L'i лежат в Q, т. е. если все углы i = 0, то искомой будет любая плоскость, проведенная через M и отличная от Q. В противном случае среди углов i выберем наименьший положительный; пусть это будет, например, 1. Теперь через прямую M проведем плоскость R, образующую с Q положительный угол, меньшей чем 1. Ясно, что R не содержит ни одной из прямых L'i, и поэтому является искомой плоскостью.

4. Первое доказательство теоремы Эйлера.

Первое доказательство теоремы Эйлера. Рассмотрим множество всех прямых, каждая из которых соединяет пару вершин многогранника. Пользуясь леммой, проведем плоскость, не параллельную ни одной прямой этой указанного множества.
Об этой плоскости сделаем два предположения: будем считать, что она, во-первых, горизонтальна (этого всегда можно добиться, поворачивая нужным образом все пространство), во-вторых, расположена ниже нашего многогранника. Тогда все его вершины располагаются на разной высоте над этой плоскостью, и мы можем пронумеровать вершины в порядке возрастания их высот; пусть v1 обозначает самую нижнюю вершину, v2 - следующую за ней по высоте, наконец, vn - самую верхнюю (здесь n равно числу вершин B). Обозначим через Гi (i = 1, ... n) число граней многогранника, для которых точка vi является самой нижней вершиной, или, другими словами, которые "выходят"' вверх из вершины vi. Пусть Pi (i = 1, ... n) обозначает число ребер многогранника, которые имеют вершину viсвоим нижним концом (или "выходят" вверх из этой вершины).

Рассмотрим самую нижнюю вершину vi. К ней примыкает одинаковое число ребер и граней, и все они выходят из нее вверх. Поэтому

P1 = Г1          (2)





Рис. 1

Рис. 2

Пусть vi - промежуточная вершина многогранника, т. е. такая, что 2  i  n - 1. Рассмотрим все ребра и грани, выходящие из нее вверх. Можно представить себе, что все они "веером" расходятся из vi (см. рис. 1, где веер состоит из трех ребер и двух заштрихованных граней). Для нас несущественно, сколько именно в таком веере ребер и граней; важно лишь, что для их чисел выполнено соотношение

Pi = Гi = 1, i = 2, 3, ... , n - 1.          (3)

Веер может состоять только из одного ребра; так будет, например, при i = n - 1. Именно здесь используется выпуклость многогранника: благодаря ей указанный веер будет только один. Если нет выпуклоскти, вееров может быть несколько, и тогда равенство (3) нарушается (см. рис. 2: два тетраэдра, приставленные друг к другу вдоль их общего ребра). Для самой верхней вершины vn нет ребер и граней, выходящих из нее вверх, поэтому Pn = Гn = 0.

Общее число ребер многогранника равно P = P1 + P2 + ... + Pn -1, а общее число его граней равно Г = Г1 + Г2 + ... + Гn -1. Поэтому, используя равенства (2) и (3), получаем

B - P + Г = n - (P1 + P2 + ... +Pn - 1) + (Г1 + Г2 + ... +Гn - 1) =

n - (P1 + P2 + ... +Pn - 1) + P1 + (P2 - 1) + ... +(Pn - 1 - 1) =

n - (P1 + P2 + ... +Pn - 1) + (P1 + P2 + ... +Pn - 1) - (n - 2) = 2.

5. Второе доказательство

Второе доказательство. Пусть X - выпуклый многогранник и F - какая-либо его грань. Возьмем точку O, лежащую вне многогранника вблизи его грани F. Спроектируем многогранник с помощью центральной проекции из точки Oна какую-нибудь плоскость Q, параллельную плоскости грани F. Тогда эта грань спроектируется на некоторый выпуклый многоугольник M, лежащий в Q, а проекции всех остальных граней многогранника X являются выпуклыми многоугольниками, которые образуют разбиение многоугольника M. На рис. 3 многогранник X есть тетраэдр ABCD, его проекция - треугольник A'B'C'. В случае многранника общего вида проекция изображена на рис. 4.

При проектировании каждая вершина многогранника X переходит в вершину разбиения многоугольника M; при этом числа вершин у X и у разбиения M совпадают. Аналогично, числа ребер у X и у разбиения M одинаковы. С другой стороны, разбиение многоугольника M имеет на одну грань меньше, чем многогранник X. Сейчас мы понимаем под B, P и Г соответственно число вершин, ребер и граней разбиения M. Мы докажем, что

B - P + Г = 1.

откуда следует формула Эйлера (1).





Рис. 3

Рис. 4

Итак, мы имеем дело с плоским выпуклым многоугольником M, разбитым на грани. Пусть Г3 - число трехугольных, ... , Гm - число m-угольных граней. Таким образом, m есть число сторон (или углов) той грани, у которой это число наибольшее. Если многоугольник (или грань) имеет n сторон, то, как известно, сумма его внутренних углов равна (n - 2). Поэтому сумма всех внутренних углов всех граней равна

S = [Г3 + 2Г4 + ... + (m - 2)Гm].          (4)

Мы хотим теперь преобразовать это выражение. Пусть P1 - число ребер разбиения, лежащих на границе многоугольника M, и P2 - число внутренних ребер. Тогда P =P1 + P2. Так как каждое внутреннее ребро относится к двум граням, а каждое граничное - к одной, то, суммируя ребра по всем граням, получаем

3Г3 + 4Г4 + ... + m = P1 + 2P2.          (5)

Используя очевидное равенство Г = Г3 + Г4 + ... + Гm и равенство (5), мы можем преобразовать правую часть (4) так

Г3 + 2Г4 + ... + (m - 2)Гm = (3Г3 + 4Г4 + ... + m) - 2(Г3 + Г4 + ... + Гm) =

= (3Г3 + 4Г4 + ... + mГm) - 2Г = P1 + 2P2 - 2Г.          (6)

Вычислим теперь сумму углов S другим способом. Пусть B1 - число вершин разбиения,лежащих на границе многоугольника M, и B2 - число внутренних вершин разбиения. Сумма всех внутренних углов самого многоугольника M(а не всех его граней!) равна (B1 - 2), а сумма всех углов граней вокруг каждой внутренней вершины равна 2. Поэтому

S = (B1 - 2) + 2B2.          (7)

Из равенства (4), (6) и (7) получаем

P1 + 2P2 - 2Г = B1 - 2 + 2B2

или

2(P2 - P2 + Г) = B1 - 2 + 2B2.

Но так как B1 = P1, B = B1 + B2 и P = P1+P2, то

B - P + Г = (B1 + B2) - (P1 + P2) + Г = 1,

что и требовалось.

Переходим к выводу следствий из формулы Эйлера. Всюду в дальнейшем под многогранником мы понимаем выпуклый многогранник. Назовем степенью вершины многогранника число выходящих из нее ребер. Ясно, что степень каждой вершины не меньше трех. Обозначим через B3 число вершин степени 3, через B4 - число вершин степени 4 и т. д. Тогда

B = B3 + B4 + ... Bm,          (8)

Здесь m - максимальная степень вершины и B1 = B2 = 0. Для нас будет безразлично, каково точное значение числа m; поэтому формулу (8) мы запишем в таком виде

B = B3 + B4 + B5 + ... .          (8')

Каждая грань многогранника есть выпуклый многоугольник, число сторон (или углов) которого равно 3 или 4 и т.д. Обозначим через Гi число i-угольных граней многогранника (i = 3, 4, ...). Тогда

Г = Г3 + Г4 + Г5 + ... .          (9)

Суммируя ребра по всем вершинам и учитывая, что каждое ребро соединяет две вершины и поэтому учитывается дважды, получаем

2P = 3B3 + 4B4 + 5B5 + ... .          (10)

Аналогично, сумммируя ребра по всем граням и учитывая, что каждое ребро принадлежит двум граням и поэтому считается дважды, имеем

2P = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + ... .          (11)

Обратите внимание на то, что во все соотношения (8)-(11), как и в формулу Эйлера (1), пара чисел B и Г (а также пары чисел B3 и Г3, B4 и Г4 и т. д.) входят симметрично, т. е. эти соотношения остаются справедливыми, если заменить в них число B числом Г, число B3 числом Г3 и т. д., и наоборот. Поэтому любому утверждению, например, о гранях многогранника, выведенному из формулы (1) и равенств (8)-(11), соответствует аналогичное (двойственное) утверждение о его вершинах. В этом состоит так называемый принцип двойственности. В частности, двойственными друг другу являются равенства (10) и (11). Формула Эйлера двойственна сама себе. Этот принцип используется ниже.

Чтобы получить первое следствие из формулы (1), умножим обе ее части на 2, затем подставим в нее вместо B, 2P и Г их значения из (8), (10) и (9). Тогда получим

2(B3 + B4 + ...) - (3B3 + 4B4 + ...) + 2(Г3 + Г4 + ...) = 4.          (12)

Двойственным образом получаем

2(B3 + B4 + ...) - (3Г3 + 4Г4 + ...) + 2(Г3 + Г4 + ...) = 4.          (13)

Теперь складываем равенства (12) и (13), затем переносим все члены, кроме B3 и Г3, в первую часть. Тогда

B3 + Г3 = 8 + (B5 + 2B6 + 3B7 + ...) + (Г5 + 2Г6 + 3Г7 + ...).          (14)

Обе суммы в скобках неотрицательны. Поэтому

B3 + Г3  8.

Итак, у каждого выпуклого многогранника сумма числа треугольных граней и числа вершин степени 3 не меньше 8. В частности, он обязательно имеет треугольные грани или вершины степени 3, или те и другие вместе. Теперь умножим обе части равенства (12) на 2 и сложим с (13).Тогда

-(2B4 + 4B5 + ...) + (3Г3 + 2Г4 +Г5) + (Г7 + 2Г8 + ...) = 12.

Или

3Г3 + 2Г4 +Г5 = 12 + (2B4 + 4B5 + ...) + (Г7 + 2Г8 + ...).          (15)

Так как обе суммы в скобках неотрицательны, то

3Г3 + 2Г4 + Г5  12.          (16)

Неравенство (16) имеет интересные геометрические следствия. Оно показывает, что выпуклый многогранник обязательно имеет либо треугольные, либо четырехугольные, либо пятиугольные грани. В частности, не существует многогранника, у которого все грани были бы шестиугольными. Если предположить, что Г4 = Г5 = 0, то из (16) получаем Г3  4, и это неравенство точное, т. е. имеется многогранник, у которого Г4 = Г5 = 0 и Г3 = 4; это - тетраэдр. Если Г3 = Г5 = 0, то Г4  6; это неравенство тоже точное, как показывает пример куба. Если Г3 = Г4 = 0, то Г5  12; точность этого неравенства показывает пример додекаэдра (см. таблицу 1).

Неравенство, двойственное неравенству (16), имеет следующий вид:

3B3 + 2B4 + B5  12.          (17)

Читатель сам сможет проверить его. Из (17) получаем, в частности, что не существует выпуклого многогранника, у которого все вершины имели бы степень, равную 6, а также следующие утверждения:

если B4 = B5 = 0, то B3  4,

если B3 = B5 = 0, то B4  6,

если B3 = B4 = 0, то B5  12.

Три последних неравенства точные, что видно из таблицы 1.

Название многогранника

m

n

B

P

Г

Тетраэдр



3

3

4

6

4

Гексаэдр



4

3

8

12

6

Октаэдр



3

4

6

12

8

Додекаэдр



5

3

20

30

12

Икосаэдр



3

5

12

30

20

Выпуклый многогранник называется комбинаторно правильным, если все его грани имеют одинаковое число сторон (скажем m) и все его вершины имеют одинаковую степень (скажем n). Таким образом, в этом определении не требуется, чтобы грани были равными правильными многоугольниками или чтобы многогранные углы были равны. Этим комбинаторно правильный многогранник отличается от метрически правильного, известного из школьного курса геометрии (но, разумеется, метрически правильный многогранник является в то же время комбинаторно правильным.)

Будем говорить, что (комбинаторно правильный) многогранник имеет тип (m, n), если каждая его грань является m-угольником, а степень каждой вершины равна n.

Докажем, что может существовать только пять различных типов комбинаторно правильных многогранников. Мы уже знаем, что у правильного многогранника каждое из чисел m и n может быть равным только 3, или 4, или 5. Из этих чисел можно составить девять различных пар (m, n). Остается только проверить какие из этих девяти пар могут фактически осуществляться.

Итак, пусть имеется комбинаторно правильный многогранник типа (m, n). Тогда Г = Гm и ввиду (11) 2P = . Аналогично, B=Bn и ввиду (10) 2P=nP. Решая систему уравнений B - P + Г 2, 2P = , 2P = nB относительно чисел B, P и Г, получаем





Так как эти числа положительны, то

2m + 2n - mn > 0

или

(m - 2)(n - 2) < 4.          (18)

Теперь ясно, что из всех девяти пар чисел (m, n) неравенству (18) удовлетворяют только следующие пять

(3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5).

Комбинаторно правильные многогранники, соответствующие таким парам, действительно существуют; они перечислены в таблице 1, где для них указаны значения чисел m, n, B, P и Г.

Из таблицы 1 видно, что для гексаэдра и октаэдра числа вершин одного из них равно числу граней другого и наоборот; тем самым эти многогранники двойственны друг другу. Аналогично - для додекаэдра и икосаэдра. Тетраэдр двойствен самому себе. Вообще можно было бы доказать, что для каждого выпуклого (не обязательно правильного) многогранника существует ему двойственный.

6. Задачи для самостоятельного решения

В каждой из следующих задач 1-3 требуется доказать сформулированное в ней утверждение о выпуклом многограннике, а также сформулировать и решить двойственную задачу.

1. Если все грани многогранника - треугольники, то число граней четное. Кроме того, в этом случае P = 3B - 6, Г = 2B - 4.

2. Если Г3 = Г4 = 0, то B3  20.

3. Если каждая пара вершин многогранника соединена ребром, то сам многогранник является тетраэдром.

4. Многогранник имеет пять граней. Каким может быть число его вершин и число его ребер?

5. Докажите теорему Декарта: сумма всех плоских углов всех граней выпуклого многогранника равна 2(B - 2). Это аналогия со случаем плоского многоугольника, у которого сумма всех углов равна (B - 2).

6. Футбольный мяч шьется из кусков кожи двух типов: пятиугольных и шестиугольных (которые, кроме формы, отличаются еще и цветом). Можно ли сшить мяч из одних только шестиугольных кусков?


7. Решения задач


1. Из условия задачи и из равенства (11) имеем 2P = 3Г, откуда следует первое утверждение. Исключая из равенств B - P + Г = 2 и 2P = 3Г сначала Г, затем P, получим требуемые равенства. Двойственная задача: если каждая вершина имеет степень 3, то число вершин четное.

2. Складывая равенства (14) и (15), получим

B3 + 4Г3 + 2Г4 + Г5 = 20 + Г5 + ...,          (19)

где многоточие заменяет некоторые невыписанные неотрицательные члены, не содержащие чисел B3 и Г5. Если Г3 = Г4 = 0, то равенство (19) дает B3  20 (пример - додекаэдр). Двойственная задача: если B3 = B4 = 0, то Г3  20.

3. Из каждой вершины выходит B - 1 ребер. Поэтому общее число ребер равно . Равенство (11) дает нам 3Г  2P. Подставим в это неравенство вместо P и вместо Г (используя формулу Эйлера), тогда получаем



или

B2 - 7B + 12  0.

Среди целых чисел решениями этого неравенства являются только B = 3 и B = 4.Так как многогранник не может иметь три вершины, то B = 4, т. е. многогранник является тетраэдром. Двойственная задача: если каждые две грани имеют общее ребро, то многогранник является тетраэдром.

4. Из неравенства 3Г 2P следует , т. е. P  8. Из формулы Эйлера получаем B = P - 3. Тогда двойственное неравенство 3B  2P дает 3(P - 3)  2P, или P  9. Итак, допустимы только два значения: P = 8 и P = 9. В первом случае из формулы Эйлера получаем B = 5, во втором B = 6. Многогранником, у которого Г = 5, P = 8, B = 5, является, например, четырехугольная пирамида. Многогранником, у которого Г = 5, P = 9, B = 6, является, например, треугольная призма.

5. Пусть Г - общее число граней, и пусть n1 - число ребер (или углов) у первой, n2 - такое же число у второй, ..., n - такое же число у последней грани. Сумма всех углов всех граней равна

S = (n1 - 2) + (n2 - 2) + ... + (n - 2) = (n1 + n2 + ... + n - 2Г).

Далее, общее число ребер у всех граней равно , и это число равно числу P ребер многогранника. Отсюда S = (2P - 2Г). Заменяя P - Г по формуле Эйлера на B - 2, получаем

S = 2(P - 2).

6. Мяч можно рассматривать как сферу, разбитую на сферические грани - многоугольники. При этом выполнены соотношения (1), (8)-(11) и все следствия из них, в частности, неравенство (16). Из него заключаем, что мяч нельзя сшить только из шестиугольных кусков.

Похожие:

Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее iconТеорема дедукции § Формулировка теоремы и некоторые следствия Теорема
Замечания. Применяя к утверждению теоремы снова несколько раз теорему де­дукции, можно, очевидно, получить новые следствия
Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее iconП. Н. Пятов Курс Тема 1 курс Теорема Эйлера о пятиугольных числах Предлагается разобрать два доказательства этой теоремы: краткое см. Г. Харди "Двенадцать лекций о Рамануджане", лекция
...
Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее iconОб одной экономической интерпретации следствия из теоремы о среднем
Следствия из теоремы о среднем главным, на наш взгляд, является то, что автор установил качественное и количественное различие моделей...
Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее iconВопросы для подготовки к экзамену по математической логике (2 семестр)
Доказательства и теоремы ив, равносильность линейного доказательства и доказательства в виде дерева
Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее icon2. Книга М. В. Ткачевой Домашняя математика, из которой взято замечательное стихотво-рение, связанное с теоремой Пифагора
Целью данного реферата является: • Рассмотреть классические и малоизвестные доказательства теоремы, такие как доказательства Гарфилда,...
Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее iconИ. Лакатос Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. (Пер с англ. И. Н. Веселовского. М., Наука, 1967)
Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными 9
Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее iconУрок кейс метод Класс 8 Время занятия 2 учебных часа
Перед учителем математики стоит задача рассмотреть теорему Пифагора (показать различные доказательства этой теоремы, использование...
Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее iconВикторина «Знаешь ли ты великих математиков?»
«Нашел удивительное доказательство этой теоремы, но недостаток места не позволяет мне его здесь привести»? В бумагах ученого этого...
Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее iconУрок геометрии в 9 классе теорема синусов и косинусов
На уроке рассматриваются различные доказательства теоремы синусов и теоремы косинусов, их применение при решении задач
Мы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее iconЭлементарный вывод формулы эйлера
Предложено два простых вывода формулы Эйлера основанных на свойстве ортогональности вектора в теле и его производной
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org