28. Определение предела последовательности



Скачать 23.49 Kb.
Дата03.07.2014
Размер23.49 Kb.
ТипДокументы

28. Определение предела последовательности.


Упорядочение значений переменной xn по возрастанию их номеров, приведшее к рассмотрению последовательности (2) этих значений, облегчает понимание самого «процесса» приближения переменной xn при безграничном возрастании n к ее пределу а.

Число а называется пределом переменной xn , если последняя отличается от а сколь угодно мало, начиная с некоторого места, то есть для всех достаточно больших номеров n.

Этим суть дела выражена ярко, но что значит «сколь угодно мало» и «достаточно большие»  еще подлежит уточнению. Приведем теперь более длинное, но уже исчерпывающе строгое определение предела:

Число а называется пределом переменной xn если для каждого положительного числа ε, сколько бы мало оно ни было, существует такой номер N, что все значения xn , у которых номер n > N, удовлетворяют неравенству

(3)

Тот факт, что а является пределом переменной xn, записывают так:



(lim есть сокращение латинского слова limes, означающего «предел»). говорят еще, что переменная стремится к а, и пишут



Наконец, число а называют также пределом последовательности (2), и говорят, что эта последовательность сходится к а.

Неравенство (3), где ε произвольно, и есть точная запись утверждения, что xn от а «отличается сколь угодно мало», а номер N как раз и указывает то «место», начиная с которого это обстоятельство осуществляется, так что «достаточно большими будут все

номера n > N.

Важно дать себе отчет в том, что номер N, вообще говоря; не может быть указан раз навсегда он зависит от выбора числа ε. Для того чтобы подчеркнуть это, мы иной раз вместо - N будем писать Nε. При уменьшении числа ε соответствующий номер N = Nε, вообще говоря, увеличивается: чем большей близости значений переменной xn к а мы требуем, тем «более далекие» значения ее в ряду (2) приходится рассматривать.

Исключение представляет тот случай, когда все значения переменной xn равны постоянному числу а. Очевидно, что тогда , но на этот раз неравенство (3) будет выполняться для любого ε>0 одновременно при всех значениях xn (Аналогичное обстоятельство имеет место для переменной xn, значения которой становятся равными а, начиная с некоторого места).


Неравенство (3), как мы знаем [пункт 8], равносильно следующим:



или

(4)

этим мы часто будем пользоваться в последствии.

Открытый промежуток (, ), с центром в точке а, принято называть окрестностью этой точки. Таким образом, какую бы малую окрестность точки а ни взять, все значения , начиная с некоторого из них, должны попасть в эту окрестность (так что вне ее может остаться разве лишь конечное



число этих значений). Если изобразить число а и значения переменной , точками на числовой оси [пункт13] (рис. 18) то точка, изображающая число а, окажется как бы средоточием сгустка точек, изображающих значения .

Похожие:

28. Определение предела последовательности iconПрограмма вступительного испытания (собеседование/устный экзамен) по дисциплинам «Математический анализ»
Предел числовой последовательности. Основные свойства предела. Условия существования конечного предела (критерий Коши и случай монотонной...
28. Определение предела последовательности iconОпределение и свойства предела последовательности. Определение
Определение: задать числовую последовательность – это значит сопоставить каждому номеру действительное число
28. Определение предела последовательности iconВопросы к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции»
Определение монотонной последовательности. Теорема о существовании предела у монотонной последовательности
28. Определение предела последовательности iconЧисловые ряды Последовательность
В теории пределов было рассмотрено понятие последовательности и понятие предела последовательности. Введем следующее определение
28. Определение предела последовательности iconВопросы для экзамена по математическому анализу 2 -ой семестр
Последовательность. Предел последовательности. Свойства предела последовательности
28. Определение предела последовательности iconРазложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса
Определение равномерной сходимости и теорема о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций...
28. Определение предела последовательности iconОпределение числовой последовательности и её предела
Если каждому натуральному числу n=1,2,3,… по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число хn, то полученное упорядоченное...
28. Определение предела последовательности iconВопросы для подготовки к экзамену/зачету 1 семестр
Предел переменной величины. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела последовательности
28. Определение предела последовательности iconПоследовательности
Напишите определение неограниченной последовательности б Напишите определение наибольшего члена последовательности
28. Определение предела последовательности iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по научной специальности
Предел последовательности. Предел суммы, произведения и частного последовательностей. Критерий Коши. Существование предела у монотонно...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org