Практикум по теории вероятностей в схемах

Элементарные события – это взаимно исключающие друг друга события, и в результате опыта обязательно произойдет одно из этих элементарных событий.

Элементарные события обозначают греческой буквой ω, снабженной при необходимости индексом, а их совокупность Ω называют пространством элементарных событий.
Пример:

Стохастический эксперимент	Элементарные события	Событие
Подбрасывание монеты	ω1={появление герба} ω2={появление решки}	А – {появление герба}
Бросание двух игральных кубиков	ω1={1;1}; ω2={1;2} ω3={2;1};…; ω36={6;6}	В – {сумма выпавших чисел четная}
Покупка трех лотерейных билетов	ω1={в;в;в}; ω2={в;в;п} ω3={в;п;в};…;ω8={п;п;п}	С – {выиграет хотя бы один билет}
Выстрел по мишени	ω1={попадание} ω2={промах}	D – {промах при выстреле}

2.2. Классификация событий Краткая теоретическая справка

2.3. Действия над событиями Краткая теоретическая справка

Над событиями вводят операции суммы, произведения, разности и отрицания.

Определение	Геометрическая интерпретация	Пример
Суммой (объединением) событий А и В называется новое событие С=А+В, которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий: или А или В или А и В	A+B	А – {награждение победителя призом} В – {награждение победителя денежной премией} А+В – {награждение победителя или призом, или премией, или и тем и другим}
Произведением (пересечением) событий А и В называется новое событие С=А∙В, которое заключается в наступлении событий А и В одновременно	A∙B	А – {награждение победителя призом} В – {награждение победителя премией} А∙В – {награждение победителя одновременно и призом и премией}
Разностью событий А и В называется событие А\В, которое заключается в наступлении события А и ненаступлении события В	A|B	А – {награждение победителя призом} В – {награждение победителя денежной премией} А\В – {награждение победителя призом без выдачи премии}
Отрицанием события А называется событие (не А), заключающееся в ненаступлении события А (А+= Ω)	_ A	А – {награждение победителя призом} – {ненаграждение победителя призом}

Алгоритм решения задач на действия над событиями




Факты из истории теории вероятностей
Первые работы – попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам появились в XVI – XVII вв. Они принадлежали Д. Кардано (24.09.1501, Павия – 21.09.1576, Рим), Б.Паскалю (19.06.1623, Клермон-Ферран – 19.08.1662, Париж), Х.Гюйгенсу (14.04.1629, Гаага – 8.07.1695, Гаага), П.Ферма (17.08.1601, Бомон-де-Ломань – 12.01.1665, Кастр) и др.
Развитие теории вероятностей приходится на XVII-XIX в.в. благодаря работам Я. Бернулли (27.12.1654, Базель – 16.08.1705, Базель), С.Пуассона (21.06.1781, Питивье – 25.04.1840, Париж), А.Муавра (26.05.1667, Витри-ле-Франсуа – 27.11.1754, Лондон), П. Лапласа (23.03.1749, Бомон-ан-Ож, Нормандия – 5.03.1827, Париж).
Плодотворный период развития теории вероятностей XIX- начало XX вв. связан с именами русских математиков П.Л. Чебышева (16.05.1821, с. Окатово Калужской области – 8.12.1894, Петербург), А.М. Ляпунова (6.06.1857, Ярославль – 3.11.1918, Одесса), А.А. Маркова (14.06.1856, Рязань – 20.07.1922, Петроград).

Большой вклад внесли представители англо-американской школы: Стьюдент (псевдоним В. Госсета (13.06.1876, Кантер-бери – 16.10.1937 Биконсфильд)), Р.Фишер (17.02.1890,-Лондон ­– 29.07.1962, Аделанда, Австралия), Э.Пирсон (11.08.1895, Лондон – 1980, Лондон), К. Пирсон (27.03.1857, Лондон – 27.04.1936, Лондон).
Технология решения задач на действия над событиями по алгоритму


Задачи для тренинга по теме «Действия над событиями»

1. 
   Игральная кубик бросается 1 раз. Описать пространство элементарных событий. Указать элементарные события, благоприятствующие событиям: А₁ – {выпало нечетное число очков}; А₂ – {выпало менее 3 очков}; А₃ – {выпало не менее 5 очков}; А₄ – {выпало более 6 очков}.
   

2. 
   В поле наблюдения биолога находятся четыре клетки. За время наблюдения каждая из них может разделиться либо нет. Выразить через элементарные события, их отрицания и действия сложения и умножения, следующие события:
   

а) разделилась ровно одна клетка;

б) разделилось ровно две клетки;

в) разделилось ровно три клетки;

г) разделилась хотя бы одна клетка;

д) разделилось не менее двух клеток;

ж) разделились все четыре клетки.

3. 
   Пусть А, В и С – случайные события. Запишите события, состоящие в том, что из А, В, С произошло:
   

а) все три события;

б) по крайней мере одно событие;

в) только одно событие А;

г) события А и В и не произошло событие С;

д) одно и только одно событие.

4. 
   Среди студентов, сдавших экзамен по теории вероятностей, выбирают наудачу одного. Пусть событие А – {выбранный студент моложе 18 лет}; В – {выбранный студент получил на экзамене «отлично»}; С – {выбранный студент живет в общежитии}. Опишите события:
   

а) ∙В ∙ С; б) В+С; в) ∙∙; г) В(А+С); д) А∙С\В .
5. Какие из следующих пар событий являются совместными, несовместными:

а) А₁ – {выход из строя телевизора, работающего в гостиной}, А₂ – {выход из строя телевизора, работающего на кухне};

б) А₁ – {выпадение герба при бросании монеты}, А₂ – {выпадение решки};

в) А₁ – {попадание при одном выстреле}, А₂ – {промах};

г) А₁ – {два попадания при двух выстрелах}, А₂ – {хотя бы одно попадание}.