Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики



Скачать 142.93 Kb.
Дата28.10.2012
Размер142.93 Kb.
ТипДокументы

Секция “Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач

геофизики и геомеханики”

УДК 550.311

Куцов А.М.

Институт морской геологии и геофизики ДВО РАН, г. Южно-Сахалинск

Южно-Сахалинский институт экономики, права и информатики, г. Южно-Сахалинск

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ, СТРУКТУРА КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ И ПЕРЕМЕШИВАНИЕ В МАНТИИ ЗЕМЛИ

В настоящей работе самосогласованно рассчитывается пространственное распределение вязкости в мантии Земли. Мантия моделируется вязкой жидкостью, находящейся в двумерной прямоугольной области. Для учета реальных соотношений вертикальных и горизонтальных размеров мантии, а также для исключения влияния боковых границ было выбрано аспектное отношение 10:1. Численное решение проводилось с использованием метода контрольного объема. В качестве алгоритма применялся метод SIMPLE. Учет зависимости вязкости от давления приводит к распределению вязкости с глубиной, качественно согласующемуся с геофизическими данными. Возникновение высоковязких областей изменяет общую структуру мантийных течений, и в значительной мере влияют на характер перемешивание мантии, делая ее химически неоднородной.


Введение

Вязкость мантии одно из наиболее важных и наименее изученных свойств Земли [8]. Скорости литосферных плит, механизмы источников глубокофокусных землетрясений, распределение напряжений в зонах субдукции и оценки времени геохимической гомогенизации вещества мантии в значительной степени связаны со структурой конвективных течений, которая в свою очередь зависит от реологии мантийных пород. Распределение вязкости в Земле оценивается на основе гидродинамических моделей и совокупности косвенных геофизических данных, в том числе, из исследований послеледниковых поднятий [11], изменений скорости вращения Земли [14], проявлений мантийной конвекции в геофизических полях [3, 7, 9, 13], и на основе лабораторных исследований деформации мантийных минералов [2].

Реологическое поведение твердой мантии в условиях высоких температур и давлений в длинном временном масштабе связано с субсолидусными течениями или субсолидусным крипом [2], и вязкость мантии часто описывается как вязкость ее крипа. При низких температурах и давлениях, характерных для верхнего слоя земной коры, эффект ползучести резко снижается и начинает преобладать процесс хрупкого разрушения за счет распространяющихся трещин. С ростом глубины, начиная с нижних частей земной коры, упруго-хрупкое поведение горных пород сменяется пластическим. При этом сложное реологическое поведение, характерное для средних и нижних слоев литосферы, постепенно сменяется на более простое и близкое к свойствам нелинейной или даже ньютоновской вязкой жидкости [3].
Однако, хотя общепринято указывать значение мантийной вязкости, не доказано, что мантия ведет себя как линейно вязкая среда. Поэтому, следуя стандартной практике описания поведения мантии ее «вязкостью», мы должны учитывать, что это, возможно, лишь приближение для более сложной мантийной реологии.

Основные соотношения и параметры

Процесс вязкой сдвиговой деформации определяется тепловой активацией дефектов кристаллической решетки. Теоретические и лабораторные исследования показывают, что вязкость вещества мантии зависит от химико-минералогического состава и уменьшается с ростом температуры и возрастает с увеличением давления согласно закону Аррениуса.



(1)

где - абсолютная температура, и соответственно активационная энергия и активационный объем, - универсальная газовая постоянная. Параметры и в Земле могут изменяться с глубиной в связи с изменением состава и давления [6]. Коэффициент зависит, кроме того, от температуры и сдвиговых напряжений, но поскольку экспоненциальная зависимость является преобладающей, то приближенно можно считать его постоянным. Ввиду большой неопределенности в значениях , и формулу (1) часто заменяют более простой зависимостью вязкости от температуры и давления [5]:

,

(2)

где A и C – коэффициенты, значения которых, плохо известны даже для верхней мантии.

Поскольку давление в Земле возрастает быстрее, чем температура, и достигает очень больших значений, ясно, что его влиянием на процессы течения нельзя пренебрегать. Пространственно распределение температуры, устанавливающееся в мантии в результате тепловой конвекции, характеризуется наличием верхнего и нижнего узких погранслоев в которых температура быстро растет с глубиной. В остальной части мантии температура близка к адиабате. В результате вблизи поверхности в мантии формируется холодная высоковязкая литосфера с эффективной вязкостью 1023-1024 Пас. Ниже, благодаря росту температуры при еще невысоком давлении, возникает низковязкая астеносфера со средней вязкостью 1018-1019 Пас. В основной части мантии уменьшение вязкости с ростом температуры в значительной мере компенсируется ее возрастанием с ростом давления. Для средней вязкости верхней мантии обычно принимают 1020-1021 Пас, для нижней мантии в 30 раз больше. На дне мантии в слое D вязкость резко падает благодаря росту температуры в нижнем погранслое. Таким образом, реальная зависимость вязкости от глубины в мантии Земли определяется не только статическими значениями параметров вещества, но принципиально зависит от динамического распределения температуры, возникающего в результате мантийной конвекции.

Фактическое распределение вязкости в Земле известно с точностью до одного двух порядков, тогда как вязкость, как свойства вещества, имеет еще большую неопределенность в несколько порядков. Поэтому можно, в принципе, рассматривать обратную задачу об определении вязкости как свойства вещества на основе фактического распределения вязкости в Земле, устанавливающего в результате конвекции.

В настоящей работе самосогласованно рассчитывается пространственное распределение вязкости по глубине и по латерали. Мантия моделируется вязкой жидкостью, находящейся в двумерной прямоугольной области. Для учета реальных соотношений вертикальных и горизонтальных размеров мантии, а также для исключения влияния боковых границ было выбрано аспектное отношение 10:1. Нижняя и боковые границы полагаются непроницаемыми без прилипания. Верхняя граница считается свободной. Температуры на верхней и нижней границах принимаются фиксированными и равными, соответственно, и , а на боковых границах полагается равенство нулю теплового потока. Нижняя граница соответствует поверхности ядра. Верхняя граница соответствует океанической литосфере. При достаточно большом перепаде граничных температур в жидкости возникает тепловая конвекция.

Давление в мантии растет с глубиной почти линейно, поэтому вязкость, как функция координат, может быть представлена в виде

,

(3)

В безразмерных переменных уравнения тепловой конвекции в приближении Буссинеска имеют вид:

,

(4)




,

(5)




,

(6)

,

(7)

где давление отсчитывается от гидростатически равновесного состояния, и



(8)

число Рэлея, определенное по значению вязкости на верхней границе. Отметим, что интенсивность тепловой конвекции характеризуется эффективным числом Рэлея, которое больше чем , так как вязкость уменьшается с глубиной и средняя вязкость меньше, чем .

Численное решение системы уравнений (4)-(6) проводилось с использованием метода контрольного объема. В качестве алгоритма применялся так называемый полунеявный метод для связывающих давление уравнений [1]. Расчеты проводились в квадратной и прямоугольной областях.

Для исследования влияния интенсивности конвекции на структуру течений и распределение вязкости были рассмотрены модели в отсутствии радиоактивных источников тепла с числами Рэлея и . Величины параметров и выбраны из условия, чтобы при переходе от верхней границы мантии к нижней вязкость за счет перепада температур уменьшалась бы на три порядка и возрастала в том же интервале глубин на два порядка за счет давления [4].

Результаты и обсуждение

Вычисленная для модели I структура мантийной конвекции показана на рисунке 1, где изображены рельеф верхней поверхности, выраженный в безразмерной единицы, поверхностный тепловой поток, распределение скоростей мантийных течений, распределение температуры и кинематической вязкости, выраженное, как , где – кинематическая вязкость. Высоты рельефа вычислялись по формуле . С учетом выражения для компонент тензора напряжений, единицей измерения высот рельефа служит величина:

.

(9)

В расчетной области образуется 10 конвективных ячеек. Над восходящими потоками возникают поднятия рельефа и максимумы теплового потока. Астеносферные зоны пониженной вязкости имеют форму линз. Вязкость в них понижена, в среднем, на один порядок.










Рисунок 1 – Структура стационарной тепловой конвекции в прямоугольной области с переменной вязкостью. Сверху вниз: рельеф, тепловой поток, температура и логарифм вязкости для стационарной конвекции, вызванной нагревом снизу при , вычисленные методом контрольного объема. Изолинии безразмерной температуры проведены через 0.1. Расчеты выполнены на сетке 252102 узлов


На рисунке 2 представлены зависимости вязкости от глубины, усредненные по горизонтали по всей области, а также в пределах восходящих и нисходящих потоков. В результате совместного влияния температуры и давления в мантии устанавливается характерное S-образное распределение вязкости. В верхнем погранслое вязкость резко падает и формируется астеносферный слой пониженной вязкости. Затем, благодаря росту давления при почти не меняющейся нададиабатической температуре в изотермическом ядре ячейки, вязкость растет. В результате вязкость нижней мантии оказывается выше вязкости верхней мантии. В нижнем погранслое вязкость вновь резко снижается.



Рисунок 2 – Распределение вязкости, установившееся в модели стационарной тепловой конвекции в прямоугольной области с переменной вязкостью при числе Рэлея



Таким образом, учет зависимости вязкости от давления приводит к распределению вязкости с глубиной, качественно согласующемуся с наблюдаемыми данными. Без учета зависимости от давления распределение логарифма вязкости повторяло бы распределение температуры. В частности, вязкости слоев верхней и нижней мантии, попадающих в изотермическое ядро, были бы одинаковыми. Если же принять во внимание адиабатический градиент температуры, то без учета давления вязкость нижней мантии была бы даже меньше, чем верхней. Амплитуды вызываемых конвекцией вертикальных и горизонтальных вариаций вязкости меняются при изменении параметров A и B, определяющих зависимость вязкости от давления и температуры, а также при изменении интенсивности тепловой конвекции, характеризующейся числом Рэлея. Однако, качественный характер зависимости вязкости от глубины сохраняется, так как определяется самим фактом существования тепловой конвекции, при котором всегда возникаю два погранслоя и изотермическое ядро. Нижний погранслой и соответствующее ему понижение вязкости на дне мантии могут отсутствовать только в случае мантии, полностью теплоизолированной от ядра.

Главный результат влияния сильной температурной зависимости вязкости на тепловую конвекцию – возникновение области высокой вязкости около верхней поверхности, где температуры относительно низка. Поверхностный слой с высокой вязкостью может вяло участвовать в конвекции или "замерзать", формируя неподвижную крышку, в зависимости от степени изменения вязкости с температурой и перепада температуры в слое [12]. Формирование твердой крышки при конвекции с сильной температурной зависимой вязкостью уменьшает эффективность переноса тепла через слой, потому что холодный высоковязкий поверхностный материал не может быть эффективно перенесен на глубину к более горячим частям слоя [10].

Неподвижная крышка конвектирующей системы с сильной температурной зависимостью вязкости – аналог литосферы. Однако литосфера Земли не является цельной. Невязкие механизмы деформации (в частности, разломы) разбивают ее на плиты, часть которых (океанские пластины) способны субдуцировать. Следствием этого является то, что "твердая крышка" Земли может проникать глубоко в горячую мантию, и мантийная конвективная теплопередача по существу столь же эффективна, как будто мантия конвектирует как жидкость с постоянной вязкостью.

В настоящей работе приведено сравнение картин конвекции в случае постоянной и переменной вязкости в одни и те же моменты безразмерного времени (рисунок 3).








Начальное

Распределение

температуры





Ромбики и кружки отмечают верхнюю и нижнюю мантию








Вязкость постоянна








Малоподвижная «крышка» с

вязкостью на три порядка выше









Рисунок 3 – Влияние вязкости на структуру конвективных течений . Слева направо: температурное поле, распределение скорости потока, перемешивание вещества мантии и распределение вязкости. В нижнем ряду вязкость вычислена самосогласованно. Все фреймы относятся к одному моменту времени. Темный тон соответствует высоким значениям температуры и вязкости


При постоянной вязкости происходит интенсивное перемешивание. При вязкости 1000 в LID формируется малоподвижный слой, область под которым оказывается более прогретой, чем в случае постоянной вязкости в тот же момент времени. Перемешивание гораздо более слабое. Это происходит, так как часть вещества верхней мантии (малоподвижного слоя) остается на месте.

При учете влияния давления и температуры на вязкость происходит существенное изменение картины конвекции. Процесс становится более динамичным в области размещения восходящего потока и более медленным в области размещения нисходящего потока (рисунок 4).


Рисунок 4 - Нестационарная конвекция в мантии Земли. Слева направо: температурное поле, распределение скорости потока, перемешивание вещества мантии и распределение вязкости. Время растет сверху вниз: 26.7, 293.3, 400, 1066.7, 1866.7, 2400.1, 2933.5 млн. лет



На первой стадии основные изменения происходят в быстро прогревающейся области восходящего потока. Поднимающийся плюм за короткий промежуток времени достигает подошвы погранслоя, вызывая высокий тепловой поток и поднятие рельефа свободной поверхности. Затем поток раздваивается и возникает дополнительная ячейка с противоположным вращением. Постепенно в это движение вовлекается все более глубокое вещество, и ячейка становится все более вытянутой вниз. Таким образом, формируется несимметричная структура с двумя ячейками и нисходящими потоками вдоль боковых сторон бокса, а восходящий поток смещается по направлению к центру бокса, однако в правом верхнем углу бокса, по-прежнему, сохраняется небольшой вихрь с вращением по часовой стрелке. На следующем этапе происходит возрождение потока в правом верхнем углу, и он постепенно начинает подавлять нижнюю ячейку. Одновременно низковязкая область, несмотря на свою инертность, начинает играть все большую роль, нисходящий поток в ней более медленный и в соответствии с законом сохранения массы должен охватывать больший объем. Опускающийся холодный высоковязкий материал начинает оказывать все большее влияние на источник восходящего потока, прижимая изолинии высокой температуры. В боксе происходит формирование одной несимметричной ячейки, для которой характерно наличие узкого восходящего и широкого нисходящего потоков. Распределение вязкости оказывается неоднородным не только по глубине, но и по латерали. В соответствие со структурой потока в продольном направлении можно выделить три варианта распределения вязкости по глубине. Восходящему потоку соответствует резкое снижение вязкости с последующим медленным ее повышением под влиянием растущего давления. Нисходящему потоку напротив соответствует область повышенной вязкости, растущей с повышением давления с глубиной и резкого понижения вязкости в нижнем погранслое. И, наконец, в промежуточной области формируется характерное S-образное распределение вязкости. Для нее характерно наличие двух областей низкой вязкости. Образуется широкий мощный нисходящий поток. Область высокой вязкости, которая оказывается внизу, приводит к тому, что опрокинутое на глубину вещество верхней мантии задерживается там.

Трехслойное распределение вязкости приводит к формированию трехслойной структуры потока. В верхней мантии увеличение вязкости приводит к уменьшению скорости течения и формируется малоподвижный слой. Увеличение вязкости в нижней мантии также приводит к замедлению потока. Основное течение происходит в узкой области в верхней мантии в низковязком слое между малоподвижным слоем и нижней мантией. Медленный возвратный поток захватывает большую часть нижней мантии.

С ростом числа Рэлея интенсивность конвекции усиливается: при µ § восходящий и нисходящий потоки широкие; при µ § формируются более узкие восходящий и нисходящий потоки.

Заключение

Таким образом, учет зависимости вязкости от давления приводит к распределению вязкости с глубиной, качественно согласующемуся с геофизическими данными. Без учета зависимости от давления распределение логарифма вязкости повторяло бы распределение температуры. В частности, вязкости слоев верхней и нижней мантии, попадающих в изотермическое ядро, были бы одинаковыми. Если же принять во внимание адиабатический градиент температуры, то без учета давления вязкость нижней мантии была бы даже меньше, чем верхней. Амплитуды вызываемых конвекцией вертикальных и горизонтальных вариаций вязкости меняются при изменении параметров A и B, определяющих зависимость вязкости от давления и температуры, а также при изменении интенсивности тепловой конвекции, характеризующейся числом Рэлея. Однако, качественный характер зависимости вязкости от глубины сохраняется, так как определяется самим фактом существования тепловой конвекции, при котором всегда возникаю два погранслоя и изотермическое ядро. Нижний погранслой и соответствующее ему понижение вязкости на дне мантии могут отсутствовать только в случае мантии, полностью теплоизолированной от ядра.

Высоковязкие области изменяют общую структуру мантийных течений и сильно влияют на перемешивание мантии, поддерживая ее химическую неоднородность. Скорость течений в высоковязких областях уменьшается обратно пропорционально вязкости.
Учет зависимости вязкости от давления приводит к распределению вязкости с глубиной, качественно согласующемуся с геофизическими данными. Амплитуды, вызываемых конвекцией вертикальных и горизонтальных вариаций вязкости, меняются при изменении параметров определяющих зависимость вязкости от давления и температуры, а также при изменении интенсивности тепловой конвекции, характеризующейся числом Рэлея. Возникновение высоковязких областей изменяет общую структуру мантийных течений, и в значительной мере влияет на характер перемешивание мантии, делая ее химически неоднородной.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 152 с.

2. Пуарье Ж.-П. Ползучесть кристаллов. Механизмы деформации металлов, керамики и минералов при высоких температурах / Ж.-П. Пуарье. – М.: Мир, 1988. – 287 с.

3. Тёркот Д. Геодинамика: Геологические приложения физики сплошных сред. В 2 ч. / Д. Тёркот, Дж. Шуберт.– М.: Мир, 1985. – 736 с.

4. Трубицын В.П.. Конвекция и распределение вязкости в мантии / В.П. Трубицын, В.В. Рыков, А.П. Трубицын // Физика Земли. – 1997. – №3. – C. 3-10.

5. Christensen, U. R. Convection with pressure- and temperature- dependent non-Newtonian rheology // Geophys. J. Astr. Soc. – 1984. – V. 77. – P. 343-384.

6. Fowler, A.C. On the thermal state of the Earth // J.Geophys. Res. – 1983. – V. 53. – P. 42-51.

7. Hager, B.H. Subducted slabs and geoid constraints on mantle reology and flow // J. Geophys. Res. – 1984. – V. 89. – P. 6003-6019.

8. King, S.D. Models of Mantle Viscosity. In Mineral Physics and Crystallography: A Handbook of Physical Constants, p.p. 227-236, ed. T.J. Ahrens. AGU, Washington, DC, 1995.

9. Lenardic, A., and Kaula, W. M. Tectonic plates, thermal structure, and the nature of mantle plumes // J. Geophys. Res. – 1994. – V. 99. – P. 15697-15708.

10. Moresi, L.-N., Solomatov, V. S. Numerical investigation of 2D convection with extremely large viscosity variations // Phys. Fluids. – 1995. V. 7. – P. 2154-2162.

11. Peltier, W.R. Glacial isostatic adjustment. II. The inverse problem//Geophys. J. Roy. Astron. Soc. – 1976. – V. 56. – P. 669-706.

12. Solomatov, V. S. Scaling of temperature- and stress-dependent viscosity convection // Phys. Fluids. – 1995. V. 7. – P. 266-274.

13. Tackley, P. J., Stevenson, D. J., Glatzmaier G. A., and Schubert G. Effect of multiple phase transitions in three dimension spherical model of convection in Earth's mantle // J. Geophys. Res. – 1994. – V. 99. – P. 15877-15901.

14. Yuen, D.A., Sabadini, R., Boschi, E. The viscosity of the lower mantle as inferred from rotational data // J. Geophys. Res. – 1982. – V. 87. – P. 10745-10762.







Похожие:

Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики iconЧисленные и численно-аналитические методы решения краевых задач тепло- и массообмена
Все более остро встает проблема использования альтернативных и экологически чистых источников энергии. В статье рассматриваются вопросы...
Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики iconСекция "Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения" удк 533 011
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”
Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики iconСекция "Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения" удк 533. 6
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”
Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики iconКраевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”
Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики iconРешение краевых задач для уравнения Лапласа методом потенциалов. Разностные методы решения краевых задач
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейных и нелинейных систем первого порядка
Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики iconРешение краевых задач для уравнения Лапласа методом потенциалов. Разностные методы решения краевых задач
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейных и нелинейных систем первого порядка
Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики iconРешение задачи Коши это получение одного частного решения с начальным значением. Все методы решения этой задачи основаны на дискретизации и интерполяции, как и численное дифференцирование, которое они используют
Но для большинства уравнений такое решение невозможно, и в этих случаях применяют численные методы. Отметим, что численные методы...
Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики iconРабочая программа дисциплины Численные методы Математический и естественно-научный цикл, базовая часть
Цель курса – научить студентов самостоятельно численно решать задачи по указанным разделам математики, а также использовать усвоенные...
Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики iconРабочая программа дисциплины Численные методы Математический и естественно-научный цикл, базовая часть
Цель курса – научить студентов самостоятельно численно решать задачи по указанным разделам математики, а также использовать усвоенные...
Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики iconКафедра теоретической и прикладной механики
Для решения используются аналитические методы асимптотического интегрирования и численные методы. Тема представляет возможности для...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org