Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики



страница1/8
Дата08.10.2012
Размер1.31 Mb.
ТипКонспект
  1   2   3   4   5   6   7   8
Конспект лекций по методам конечных элементов.

.

На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики. Сущность многих из этих методов состоит в формулировке задачи в вариационной форме, как задачи об отыскании функции, реализующей минимум или, в общем случае, экстремум некоторого функционала, и в последующем нахождении приближения к этой функции. Поэтому, чтобы в дальнейшем полнее раскрыть существо описываемых вариационных и проекционных методов, проиллюстрируем близость некоторых задач математической физики к вариационным задачам.

Рассмотрим простейший функционал
(0.1)

где -заданная функция, непрерывная вместе со своими производными до второго порядка включительно относительно переменных x,y,z, в некоторой области трехмерного евклидова пространства.

Предположим, что функция u(x) непрерывна, имеет непрерывную производную (x) от (0,1) и на концах отрезка [0,1] принимает заданные значения

u(0)= , u(1)=. (0.2)

Определим -окрестность функции u=u(x) как семейство функций {}, удовлетворяющих на всем отрезке [0,1] неравенству

(0.3)

Сформулируем теперь следующую задачу вариационного исчисления: среди функций, лежащих в -окрестности, имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих условиям (0.2), найти функцию, доставляющую экстремум функционалу J(u) (задача с фиксированными концами кривых u=u(x)).

Найдем необходимые условия, которым должна подчиняться функция u(x) для того, чтобы она сообщала функционалу J(u) экстремальное значение в -окрестности. С этой целью рассмотрим функцию , удовлетворяющую условиям

(0.4)

Построим, далее, новую функцию , где - малый параметр (в силу чего можно предположить, что gif" align=bottom>также принадлежит -окрестности). Подставив эту функцию в функционал J, получим



Будем рассматривать как функцию от параметра :. Назовем производную функции Ф() в точке =0 первой вариации функционала J и обозначим ее символом :



Вторую вариацию функционала J определим как вторую производную функции в точке :

.

Используя вид J, найдем выражения для и :

, (0.5)

(0.6)

(здесь использованы обозначения ,,).Как известно, необходимым условием экстремума Ф() при является равенство , т.е. .Выполняя интегрирование по частям с учетом условий (0.4), получим

(0.7)

В силу произвольности функции приходим к выводу, что кривая u(x), удовлетворяющая условиям (0.2) и доставляющая экстремум функционалу (0.1),должна удовлетворять дифференциальному уравнению

, (0.8)

которое обычно называют уравнением Эйлера. Отметим, что если u(x)доставляет функционалу J минимум (максимум), то, как известно, в этом случае ().

В качестве иллюстрации рассмотрим пример, в котором примем ,

, (0,9)

где q, f- достаточно гладкие функции и q>0. Тогда в рассмотренной выше вариационной задаче



и в результате уравнение Эйлера (0.8) имеет вид

(0.10)

(строго говоря, устанавливая необходимое условие экстремума в случае (0.9). мы здесь должны требовать, чтобы u(x) обладала непрерывными вторыми производными).

Итак, если функция из области определения функционала

(0.11)

Удовлетворяющая условиям u(0)=u(1)=0, сообщает экстремум функционалу (0.11), то она удовлетворяет условию (0.10),т.е. является решением первой краевой задачи

(0.12)

(0.13)

Справедливо также и обратное утверждение, а именно: если u(x) является решением задачи (0.12), (0.13), то эта функция сообщает экстремум функционалу (0.11) на соответствующей области определения.

Рассмотрим теперь еще одну вариационную задачу для функционала (0.1): среди кривых u=u(x), концы которых лежат на заданных вертикалях x=0, x=1, найти u(x), которая дает экстремум функционалу (0.1) (задача со свободными концами). Отметим, что здесь на концы кривых никаких других условий не накладывается. Однако, несмотря на это, оказывается, что если u(x) сообщает экстремум функционалу J(u), то при x=0 и х=1 она должна удовлетворять некоторым предельным условиям, которые непосредственно получаются из условия экстремума функционала (0.1). Покажем это.

Пусть некоторая кривая u(x) дает экстремум J(u) по сравнению со всеми близкими кривыми со свободными концами (здесь, в отличие от задачи с закрепленными концами, не обязательно обращается в нуль в точках 0 и 1). Необходимое условие экстремума снова приводит к соотношению

(0.14)

Выполняя интегрирование по частям, получаем

. (0.15)

В силу произвольности функция u(x) удовлетворяет уравнению Эйлера

, (0.16)

А также предельным условиям

, (0.17)

Условия типа (0.17),являющиеся одними из необходимых условий экстремума, часто называют естественными краевыми условиями (подробнее о них будет сказано при рассмотрении способа Ритца).

Снова рассмотрим иллюстрирующий пример. Пусть в задаче со свободными концами имеет вид (0.9). Тогда в рассматриваемой задаче уравнения (0.16), (0.17) принимают вид

(0.18)

, (0.19)

т.е. в этом случае функция u(x), которая сообщает экстремум функционалу, является решением уже второй краевой задачи вида (0.18), (0.19).Справедливо также и обратное утверждение: если u(x)- решение задачи (0.18), (0.19), то кривая u(x)сообщает экстремальное значение функционалу вида (0.11) в задаче со свободными концами.

Итак, мы рассмотрели выше простейший случай одной функции u и одной независимой переменной х. Аналогичным образом могут быть рассмотрены более общие задачи. Пусть, например,

,

где функция и граница выпуклой ограниченной области D обладают необходимой гладкостью. Поставим задачу: найти функцию u(x,y),непрерывную вместе со своими частными производными до второго порядка включительно, имеющую заданное значение на границе области и доставляющую экстремум функционалу J. Тогда, аналогично предыдущему, приходим к уравнению Эйлера следующего вида:

.

Распространение результатов на случай n переменных очевидно.

Итак, мы приходим к возможности одни и те же задачи математической физики толковать либо с позиции задач для дифференциальных уравнений (уравнений Эйлера), либо с позиций задач вариационного исчисления об отыскании функций, доставляющих экстремум некоторым функционалам. В последнем случае функции (при наличии необходимой гладкости) будут решениями соответствующих уравнений Эйлера. В рассмотренных выше примерах задачи для уравнения Эйлера (т. е. задача вида (0.12), (0.13) и (0.18), (0.19)) можно записать в операторной форме:

, (0.20)

где Ф (А) есть множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих в зависимости от рассматриваемой задачи либо условию (0.13), либо (0.19), а Au есть



Как уже отмечалось, задача (0.20) эквивалентна соответствующей вариационной задаче

, ,

где

.

Эта задача обладает тем преимуществом, что при ее рассмотрении в действительности можно ограничиться требованием наличия у u(x), например, лишь кусочно непрерывных производных, в то время как при рассмотрении соответствующего уравнения Эйлера требует существование у решения вторых производных.

Предположим теперь, что нам требуется отыскать функцию, удовлетворяющую условиям u(0)=u(1)=0 и доставляющую функционалу (0.11) наименьшее значение. Иногда такую вариационную задачу решают следующим образом: сначала получают уравнение Эйлера с соответствующими краевыми условиями, а затем это уравнение интегрируют в явном виде. В нашем примере вариационная задача сводится к отысканию решения задачи (0.12), (0.13). Однако интегрирование получаемых дифференциальных уравнений вариационных задач осуществимо в конечном виде лишь в редких случаях. Поэтому возникает потребность в приближенном решении задач. Сделать это можно, рассматривая вариационную постановку (минуя задачи типа (0.12), (0.13)) и применяя так называемые вариационные методы.

Чтобы получить представление об этих методах, выберем некоторый базис , от элементов которого потребуем, чтобы они обладали второй производной по х и удовлетворяли условиям (0.13). Затем будем искать приближение к u(x) в виде

,

где коэффициенты , , определим из условий минимизации функционала J(u).

Как известно будет сообщать J(u) наименьшее значение среди функций вида , только если

, . (0.22)

Поскольку

,

где

, ,

то

, . (0.23)
Таким образом, систему (0.22) можно записать в виде

, . (0.24)

Если теперь решить эту систему и определить ,, то тем самым будет определена и функция , которую принимают в качестве приближения к u(x) и называют приближенным решением рассматриваемой вариационной задачи, а также, учитывая ее связь с (0.12), (0.13), и последней задачей.

Отметим, что к системе (0.24) можно прийти другим путем. Так, будем искать приближение к в виде , где постоянные определим из условия ортогональности невязки каждой из базисных функций , т.е из уравнений

, .

которые можно записать так же в виде

, .

или, с учетом того, что

, (0.25)

в виде

, . (0.26)

Таким образом, проектируя невязку на базисные функции и приравнивая результаты к нулю, мы вновь приходим к системе (0.24), решение которой определяет приближенное решение рассматриваемой задачи .

Второй способ получения приближенного решения задачи можно обобщить следующим способом. Пусть рассматривается задача (0.20). Приближенное решение ее ищем снова в виде,. Коэффициенты определим из условия ортогональности невязки некоторым, вообще говоря отличным от , базисным функциям , т.е. из условий

, (0.27)

или, что одно и то же, из системы уравнений вида

, (0.28)

Таким образом, система (0.28) получена путем проектирования r N (x) на базисную систему {ψj}. Если же принять ψii, то, учитывая (0.25), вновь приходим к системе (0.26). Итак, алгоритм отыскания приближенного решения задачи на основе построения системы (0.28) есть обобщения алгоритма отыскания его, исходя из минимизации функционала J(u). Он основан на проектировании невязки rN(x)=AuN –f, где uN = aiφi, на каждую из функций ψj и приравнивании результата нулю. А поскольку подобный алгоритм не связан непосредственно с минимизацией какого-либо функционала, то его правильнее называть проекционным. В случае ψii, как уже отмечалось, системы (0.26) и (0.28) совпадают и представляют собой системы, возникающие в одном и том же алгоритме, но в различных его формах – в вариационной и проекционной. Для определенности в данном случае будем считать его вариационным методом приближенного решения задачи (0.21) или (0.12), (0.13) – он является одним из представителей вариационных методов приближенного решения рассматриваемой задачи.

Подобные вариационные методы позволяют уже при небольшом числе N получать приближения uN,обладающие удовлетворительной точностью; часто в этих методах использовались базисные функции φi, носитель которых совпадал со всей областью, на которой определено решение задачи. Примером таких функций при рассмотрении задачи (0.12), (0.13) могут служить функции φi(x)=xi(1-x), i = 1, . . . ,N. Выбор базисных функций такого типа приводит к тому, что матрица системы (0.24)


Â=

была плотной (т. е. почти все ее элементы Aij были ненулевыми), а значит, систему (0.24) уже при N = 4, 5, 6 трудно было решать без применения электронных вычислительных машин. Поэтому хотя на протяжении многих лет задачи математической физики и решались вариационными или проекционными методами, но задачи эти были сравнительно простыми, а приближения uN = aiφi зачастую были не очень точными, так как число N не могло быть выбрано большим.

Начиная с 50-х годов стала бурно развиваться электронная вычислительная техника. Память ЭВМ и их быстродействие были еще малы, чтобы можно было эффективно решать системы типа (0.24) при больших значениях N, но уже первые значения N, но уже первые ЭВМ позволили получать достаточно точные приближенные решения задач, построенные с помощью другого метода – разностного. Чтобы понять одну из причин этого, рассмотрим указанный метод в применении к задаче (0.12), (0.13) при q = 1. Введем на отрезке [0, 1] набор узлов, например xi=ih, i = 0, 1, . . . , N, h =1/N, и запишем уравнение (0.12) в точках xi :
- i = 1, …, N = 1. (0.29)

Рассмотрим равенство



(0.30)

Где εi (h) – некоторая малая величина, стремящаяся к нулю при h0. Если подставить (0.30) в (0.29) и учесть (0.13), то будет получена система равенств


(0.31)

. . .,
Предполагая, что величины εi (h) малы, и отбрасывая их в (0.31), приходим к системе
. . ., N,

(0.32)
компоненты решения которой ui при малых εi будут близки к значениям. Таким образом, решив систему (0.32), мы тем самым найдем приближенные значения точного решения задачи в узлах .

Описанный выше подход построения системы (0.32), которую в векторно-матричной форме можно записать (учитывая, что) в виде

= , (0.33)

отражает идею построения приближенных решений многих задач с помощью разностного метода. Хотя здесь система (0.33) и имеет порядок N – 1, где N может быть значительно больше, чем в (0.24), матрица ее имеет ненулевыми лишь диагональ, поддиагональ и наддиагональ. Очевидно, что для хранения матриц подобной структуры требуется гораздо меньший объем памяти ЭВМ (в отличие от ситуации с матрицей системы (0.24)). Кроме того, для решения систем типа (0.33) были найдены простые экономические алгоритмы. Таким образом, уже на маломощных ЭВМ можно было решать системы вида (0.32) сравнительно больших порядков, получая при этом достаточно точные приближения к значениям u(), i=0, 1, 2, . . . , N. Отмеченные выше обстоятельства явились одной из причин того, что разностные методы с развитием ЭВМ стали находить все более широкую область применения.

Однако сразу же стали проявляться и некоторые из трудностей в использовании разностных методов. Так, стремление уменьшить величины εi(h) за счет других, более точных по сравнению с (0.30), соотношений может привести к системе уравнений с несимметричной матрицей. А отсутствие симметрии может повлечь ряд других трудностей при численном решении таких систем. (Отметим, что в вариационных методах мы, как правило, приходим к системе с симметричной матрице, если оператор исходной задачи симметричен.) Далее, если рассматривается многомерная задача с криволинейной границей, то очевидно, что построение выражений типа (0.30) у границы не всегда является простой задачей. Кроме того, хотя оператор задачи – положительно определенный, может оказаться, что оператор разностной схемы это свойство теряет. Например, пусть в задаче
0 < x < 1, (0.34)
(0.35)
функция f(x) достаточно гладкая, a – неотрицательная постоянная. Введем на сетке =ih, i=0, 1, . . . , N, h = 1/N, разностные аппроксимации
(0.36)
(0.37)



где ε1,i (h), ε2,i (h)→0 при h→0. Тогда, используя (0.36), (0.37), получаем следующую разностную схему для задачи (0.34), (0.35):
. . . , N – 1,

(0.38)
Легко заметить, что если постоянная a и шаг сетки h таковы что 2< h a, то матрица системы (0.38) заведомо не является положительно определенной, хотя оператор задачи (0.34), (0.35) обладает этим свойством. Отсюда заключаем, что, по-видимому, принятая аппроксимация (0.37) не совсем удачна и необходимо воспользоваться другими формулами. Как мы увидим ниже, в вариационных и проекционных алгоритмах подобных ситуаций, как правил, не возникает.

В силу сказанного выше привлекательным становится конструирование таких алгоритмов приближенного решения задач, которые, с одной стороны, по форме были бы вариационными или проекционными и, таким образом, обладали бы всеми их преимуществами, а с другой стороны, чтобы эти алгоритмы приводили к системам уравнений, подобным возникающим в разностных методах (т. е. незначительное число элементов матриц этих систем были бы ненулевыми). Такими алгоритмами являются проекционно-сеточные алгоритмы (метод конечных элементов).

Чтобы прийти к этим алгоритмам, достаточно в вариационных или проекционных методах в качестве базисных функции {φi} брать функции с конечными носителями (финитные функции), т. е. такие функции, которые отличны от нуля лишь на небольшой части той области, на которой определено искомое решение задачи. Пусть рассматривается задача (0.12), (0.13) при q=1. Введем на [0, 1] сетку =ih, i=0,1, . . . , N, h = 1/N, и функции вида
(0.39)
которые и примем в качестве базисных. Будем искать приближенное решение в виде
uN(x)=

где коэффициенты определим с помощью вариационного алгоритма. В данном случае это можно сделать, исходя из условий минимизации функционала (0.11), т. е. из уравнений
i=1, . . . , N – 1. (0.40)
Учитывая специфику выбранных базисных функции, легко вычислить вид элементов A, i, j=1, . . . , N - 1:

(0.41)

В результате система (0.40) принимает вид
= , (0.42)

где fi =f dx, i =1, . . . , N – 1.

Таким образом, применение вариационного алгоритма с рассмотренными выше финитными функциями привело нас к тому, что система уравнений (0.40) является системой некоторых разностных уравнений, близкой к системе, возникающей в разностном методе. Матрица системы здесь также является трехдиагональной и, следовательно, удобна для численного решения (0.40). Кроме того, так как при построении приближенного решения мы исходили из вариационного алгоритма, то матрица Â здесь будет заведомо симметричной.

Рассмотрим снова задачу (0.34), (0.35). Покажем, что применение проекционно-сеточного метода к ее решению приводит к системе, у которой матрица будет заведомо положительно определенной. Так, будем искать приближенное решение задачи с помощью функций (0.39) в виде
uN (x)= (0.43)

Однако замечаем, что использовать систему (0.27) при для определения коэффициентов уже нельзя, так как здесь имеются выражения вида dx = Iij, в которые входят вторые производные от кусочно линейной функции. Чтобы все же воспользоваться (0.27), нужно перейти к «слабой» форме записи этой системы. Чтобы сделать это, необходимо в слагаемых Iij выполнить интегрирование по частям, в результате чего система (0.27) принимает вид
i = 1, . . . , N – 1, (0.44)
или, в матричной записи,
Âa+ = f, (0.45)
где a = (a1, . . . , aN-1 )T, f = (f1, . . . , fN-1)T, f = dx,

=, .

Матрица этой системы положительно определенна независимо от соотношений между a и h. Действительно,




Таким образом, свойство положительной определенности оператора задачи здесь при применении проекционно-сеточного метода автоматически сохраняется.

Итак, проекционно-сеточный алгоритм обладает рядом хороших качеств как вариационного, так и разностного метода.

Отметим другие привлекательные черты проекционно-сеточных методов. Так, коэффициенты в системе (0.40) зачастую несут ясную смысловую интерпретацию. Например, в рассмотренной задаче коэффициент ai равен значению приближенного решения в узле xi, умноженному на коэффициент . Далее, оказалось, что финитные базисные функции в ряде случаев легко можно «приспособить» к геометрии области, и тем самым устраняется одна из трудностей, возникающих в разностном методе. Кроме того, обращаем внимание, что если при решении рассматриваемой задачи надлежащим образом выбраны проекционный алгоритм и базисные функции, то дальнейший процесс построения решения задачи происходит «автоматически». Это приводит к предположению, что численную реализацию проекционно-сеточных алгоритмов можно автоматизировать с применением ЭВМ.

Эти и ряд других обстоятельств обуславливают широкую популярность проекционно-сеточных методов, применяемых в настоящее время для решения самых различных задач математической физики.

Из сказанного выше делаем заключение, что проекционно-сеточные методы основываются на проекционных (в том числе в вариационных) методах, а также на использовании в них различного рода финитных функций, нашедших сейчас широкое применение в теории аппроксимации.

Лекция 2.

Некоторые алгоритмы проекционного метода

§1. Схема алгоритмов.

Пусть в гильбертовом пространстве рассматривается уравнение

(1.1)

Где - линейные, т.е. аддитивные и однородные, но, возможно, неограниченные операторы в с областями определения соответственно. Предполагается, что и плотно в . Кроме того, введем в рассмотрение некоторый оператор с областью определения . Зададим функции

,

Каждая из которых принадлежит Обозначим через линейную оболочку функций Будем считать, что для этих функций выполнены следующие условия:

  1. при любом функции линейно независимы,

  2. последовательность пространств предельно плотна в , т.е. для любой функции существуют такие элементы, что

,

где - оценки погрешности аппроксимации,

Набор функций , удовлетворяющих отмеченным условиям, будем называть базисом в и обозначать Входящие в него функции назовем базисными.

Заметим, что базисные функции зависят от и, вообще говоря, при . Однако не исключается возможность, когда этой зависимости не будет, например, в случае Здесь мы имеем обычную расширяющуюся последовательность базисных функций.

Примером функций , зависящих от N, могут быть ступенчатые функции, определенные на (0, 1) и имеющие вид

, …, N, N = 1, 2, …

Условимся в дальнейшем индексы N в обозначениях базисных функций и коэффициентов в комбинациях для упрощения обозначений опускать. Однако зависимость от N соответствующих функций и выражений, в которые они входят, в этом случае тем не менее подразумевается.

Введем еще один набор базисных функций, который (с учетом сделанных выше замечаний) обозначим через и который обязательно совпадает с . Предполагается, что все базисные функции принадлежат множеству D(K).

Будем искать приближенные решения уравнения (1.1) в виде

; (1.2)

здесь определим из системы уравнений

, …, N, (1.3)

где - скалярное произведение в пространстве с нормой .

Разрешимость системы (1.3) и сходимость к при в каком-либо смысле будут зависеть от выбора и от свойств операторов . Выбирая эти операторы и базисы так или иначе, можно получить ряд известных методов приближенного решения уравнения (1.1). Поэтому будем рассматривать алгоритм (1.3) в качестве основного. Далее рассмотрим некоторые его частные случаи (например, метод Ритца, метод Бубнова – Галеркина и др.).

Условимся в дальнейшем в случаях, когда для изложения нет необходимости в представлении оператора L в виде , считать B нулевым оператором (оператором аннулирования), т.е. . Такие ситуации могут возникнуть, например, когда на L налагаются достаточно общие ограничения (например, лишь существование обратного оператора ) или наоборот, сравнительно жесткие (самосопряженность, положительная определенность и др.). Это поможет нам, с одной стороны, несколько упростить обозначения, а с другой – вписать излагаемые методы в одну схему (1.3), следуя от простых методов к более сложным.
  1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики iconПрограмма цикла обучения для стажеров-бакалавров Международного института информационных технологий (г. Пуна, Индия) по вычислительной аэрогидродинамике «Численные методы решения уравнений математической физики»
«Численные методы решения уравнений математической физики»
Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики iconУчебная программа Дисциплины 08 «Методы решения статистических задач акустики» по направлению 011800 «Радиофизика» Нижний Новгород
Основное внимание при чтении лекций уделяется приближенным методам решения задач распространения и рассеяния скалярных волн в средах...
Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики iconМетоды математической физики
Тема Вывод основных уравнений курса математической физики. Постановка начальных и граничных условий для уравнений математической...
Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики iconПрограмма дисциплины дпп. Ф. 03. "Методы математической физики" Специальность 032200 (050203. 65) Физика
Большое значение имеет та часть курса, в которой рассматриваются методы и подходы к решению задач, играющие большую роль в изучении...
Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики icon1 Общая характеристика оптимизационных задач и методов их решения
Сопоставьте методы решения оптимизационных задач для функции многих переменных с их порядком
Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики iconМетодические указания к компьютерному практикуму по курсу «Уравнения математической физики» Москва Издательство мгту им. Н. Э. Баумана 2009
Численные методы решения задач диффузии: Метод указания к компьютерному практикуму по курсу «Уравнения математической физики». —...
Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики iconП. Т. Зубков Вычислительные методы математической физики
П. Т. Зубков. Вычислительные методы математической физики. Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа для студентов...
Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики iconОтчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики»
Охватывает огромную территорию водостока и само русло, рельеф которых и данные по стоку должны формироваться с учетом спутниковых...
Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики iconПрограмма учебной дисциплины «Уравнения математической физики»
Вариационные задачи для интегральных функционалов на отрезке: вариация функционала
Конспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики iconЛекция № Методы решения систем линейных уравнений
Мы будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений, а именно случай, когда т е число уравнений равно числу неизвестных....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org