I. Равновероятные события. N=2i



Скачать 145.06 Kb.
Дата11.07.2014
Размер145.06 Kb.
ТипРешение
Как измерить информацию

I. Равновероятные события.

N=2i

N – количество равновероятных событий.

i – количество информации, содержащейся в сообщении о том, что происходит одно из N равновероятных событий.

Задачи.


1) Дано N, найти i

2) Дано i, найти N



Примеры.

1) Сколько бит информации несет сообщение о том, что из колоды в 32 карты достали даму пик?

Дано N=32

Найти i

32=2i, i=5(бит)



Сколько бит информации несет сообщение о том, что из колоды карт достали карту красной масти?

Красных и черных карт в колоде одинаковое количество, поэтому количество равновероятных событий N=2, 2=2i, i=1(бит)



Сколько бит информации несет сообщение о том, что из колоды карт достали карту бубновой масти?

Так как в колоде всего 4 масти, количество карт в них равное, то N=4, 4=2i, i=2 (бита)


2) При угадывании числа в некотором диапазоне было получено 6 бит информации. Сколько чисел содержит этот диапазон?

N=26, N=64(числа)



Демонстрационный вариант ЕГЭ 2010 г.

Задача. Азбука Морзе позволяет кодировать символы для радиосвязи, задавая комбинацию точек и тире. Сколько различных символов (цифр, букв, знаков пунктуации и т.д.) можно закодировать, используя код Морзе длиной не менее пяти и не более шести сигналов (точек и тире)?

Решение

Используя код Морзе не менее пяти сигналов можно закодировать 25=32 (символа)



Используя код Морзе не более шести сигналов можно закодировать 26=64 (символа)

Всего можно закодировать 32+64=96 (символов).


II. Алфавитный подход.

При решении задач по данной теме связываются между собой следующие величины:

N – мощность символьного алфавита (число символов в алфавите).

i - количество информации, которую несет каждый символ (вес символа в битах).

Информационный объем текста (количество информации, заключенное в тексте) I=i*k, k- количество символов в тексте (объем текста).

При решении задач требуется знать связь между различными единицами информации: бит, байт, Кбайт, Мбайт, Гбайт.

При решении задач принимается допущение того, что появление любого символа в любой позиции текста равновероятно.

Задачи.

1. Два текста содержат одинаковое количество символов. Первый текст составлен в алфавите мощностью 32 символа, второй – мощностью 64 символа. Во сколько раз отличается количество информации в этих текстах?




Дано:

N1=32, N2=64

К1=K2=K

Найти:


I2/I1
Решение.

I=k*i


32=2i, i1=5 бит; 64=2i, i2=6 бит.

I1=k*5 бит

I2=k*6 бит

I1/ I2= k*6/ k*5=6/5=1,2 (раза)




Количество информации во втором тексте в 1,2 раза больше, чем в первом.
2. Информационное сообщение объемом 3 Кбайта содержит 3072 символа. Сколько символов содержит алфавит, с помощью которого было записано это сообщение?


Дано:


I=3 Кбайт, К=3072 символа

Найти N (мощность алфавита)

Решение.

I=i*K, i=I/K

3Кбайта переводим в биты: 3*1024*8 (бит)

i=3*1024*8/3072 =8 (бит) – вес одного символа.

N=2i

N=28=256 (символов).




3. Текст занимает 0,25 Кбайт памяти компьютера. Сколько символов содержит текст?

Дано:


I=0, 25 Кбайт

Найти К


Решение.

Известно, что в компьютере мощность алфавита равна 256 символов, следовательно, вес одного символа i=8 (28=256)

Переводим 0, 25 в биты: 0, 25*1024*8 (бит)

I=i*K, K=I/i

K=0, 25*1024*8/8=256 (символов)
4. Для записи сообщения используется 64-х символьный алфавит. Каждая страница содержит 30 строк. Все сообщение содержит 8775 байтов информации и занимает 6 страниц. Сколько символов в строке?

Решение.


Обозначим за Х число символов в одной строке. Тогда число символов во всем тексте представится выражением:

6×30×Х = 180×Х

Зная мощность алфавита (N=64), определим информационный вес символа.

64=2i; отсюда i=6 бит.

Теперь запишем уравнение, в котором справа стоит произведение полного числа символов в тексте на информационный вес одного символа, а слева – информационный объем всего текста, переведенный в биты:

180×Х×6 = 8775×8.

Отсюда:

Х=(8775×8)/(180×6) =65.



Ответ: в одной строке текста содержится 65 символов.
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2010 г.

1. Считая, что каждый символ кодируется двумя байтами, оцените информационный объем следующего предложения в кодировке Unicode:



Один пуд – около 16,4 килограмм.

Решение.


Подсчитаем количество символов, включая пробелы, получим 32 символа.

По условию задачи каждый символ кодируется двумя байтами, поэтому 32×2=64 байта.

Известно, что 1 байт=8 бит, тогда 64×8=512 (бит).
2. Сколько мегабайт информации содержит сообщение объемом 223 бит?

Решение.


1 Мбайт = 220 байт=220×8=220×23=223 бит.

Ответ: 1 Мбайт



Скорость информационного потока – это количество информации, передаваемое от источника к приемнику за единицу времени. Скорость выражается в таких единицах: бит в секунду (бит/с), байт в секунду (байт/с) и т.д.
Задачи.

1. Скорость информационного потока – 20 бит/с. Сколько времени потребуется для передачи информации объемом в 10 Кбайт? Решение.

10 Кбайт переведем в биты: 10×1024×8 (бит)

Чтобы найти время, объем информации делим на скорость:

10×1024×8 (бит)/20=4096 (сек).

2. В течение 5 минут со скоростью 10 байт/с вождь племени Мульти передавал информационное сообщение. Сколько символов оно содержало, если алфавит племени состоит из 32 символов?

Решение.

Переводим минуты в секунды: 5×60 =300 (секунд).

Информационное сообщение равно 10×300=3000 (байт)

N=32, 32=2i; отсюда i=5 бит.

Переводим биты в байты: 5/8(байт).

3000/(5/8) =4800 (символов).

Можно было байты перевести в биты: 3000×8=24000(бит)

24000/5=4800(символов).

Ответ: сообщение содержит 4800 символов.
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2010 г.

Известно, что длительность непрерывного подключения к сети Интернет с помощью модема для некоторых АТС не превышает 10 минут. Определите максимальный размер файла (в Килобайтах), который может быть передан за время такого подключения, если модем передает информацию в среднем со скоростью 32 Килобит/с?

Решение.

Можно догадаться, что 1 Килобит = 1024 бит.

1 минута = 60 секунд

1 Кбайт = 1024×8 (бит).

32×10×60×1024 (бит) – максимальный размер файла в битах.

32×10×60×1024/(1024×8)=2400 (Кбайт)


III. Подсчет количества графической информации.

N – количество цветов, содержащееся в палитре.

i – количество бит на одну точку (глубина цвета).

Задачи.

1. Объем видеопамяти составляет 62,5 Кбайт. Графический дисплей работает в режиме 640×400 пикселей. Какое максимальное количество цветов может содержать палитра?

Решение.

Переводим 62,5 Кбайт в биты: 62,5×1024×8 (бит)

Находим количество бит на одну точку ( i): 62,5×1024×8 /(640×400)=2, i=2 бита. Находим количество цветов: N=22 =4 (цвета).
2. Графический дисплей работает с 16-цветной палитрой. Разрешающая способность дисплея 640×400 . Найти объем видеопамяти в Килобайтах.

Решение.


N=16, 16=2i; отсюда i=4 бита.

640×400×4(бит) – объем видеопамяти. Переводим результат в килобайты: 640×400×4/(1024×8)=125 (Кбайт).


Демонстрационный вариант ЕГЭ 2010 г.

Укажите минимальный объем памяти (в килобайтах), достаточный для хранения любого растрового изображения размером 64×64 пикселя, если известно, что в изображении используется палитра из 256 цветов. Саму палитру хранить не нужно.

Решение.


N=256, количество бит на одну точку i находим из уравнения 2i =256, i=8 (бит).

64×64×8 (бит) - минимальный объем памяти ), достаточный для хранения любого растрового изображения размером 64×64 пикселя.

64×64×8/(1024×8)=4 (Кбайт) - минимальный объем памяти ), достаточный для хранения любого растрового изображения размером 64×64 пикселя.

Логика. Готовимся к ЕГЭ.


Чтобы решать задания по ЕГЭ, надо знать:

1. Знаки логических операций: +, or, V – сумма, *, and, Λ, & - умножение, ¬, not, - отрицание

2. Таблицы истинности:


А

В

А V В

А Λ В

А→В

АВ

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1




А

¬А

0

1

1

0

3. Составлять таблицы истинности.

4. Применять законы логики:

1. А + В = В + А (Коммутативность сложения или переместительный закон).

2. А*В = В*А (Коммутативность умножения или сочетательный закон).

3. (А + В) + С = А + (В + С) (Распределительный закон сложения).

4. (А * В) * С = А * (В * С) (Распределительный закон умножения).

5. А * (В + С) = А*В + А*С (Дистрибутивность умножения относительно сложения).

6. А + В*С = (А + В)*(А + С) (Дистрибутивность сложения относительно умножения).

7. А + А = А (Идемпотентность сложения).

8. А * А = А (Идемпотентность умножения).

9. А*( В + )=А (или А*(А + В)= А; (А + В)* = А* )

10. A+ В* =А (или А+(А * В) = А; (А*В) += А + ) (Правила поглощения).

11. = * (или А + В = )

12. = + (или А* В = ) (Правила де Моргана).

13. = А (Двойное отрицание или закон отрицания отрицания).

14. А + = 1 (А или не А всегда истинно; закон исключения третьего).

15. А * = 0 (А и не А всегда ложно; закон непротиворечивости ).

16. 1 + А = 1 (Истина или А равносильно истине — тавтология тавтологии).

17. 1 * А = А (Истина и А равносильно истине -тавтология тавтологии).

18. 0 + А = А (Противоречие или А равносильно А).

19. 0 * А = 0 (Противоречие и А есть противоречие).
Примеры заданий из ЕГЭ разных лет.

1. Для какого из указанных значений Х истинно высказывание: (Х>4)V((Х>1)→(Х>4))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение.

Для ответа на вопрос надо знать, что логическое следование ложно только в одном случае:

истина→ложь = ложь (смотрите таблицу).

Выполняем проверку всех случаев.

1) Х=1

1>4 V((1>1)→(1>4)), получаем 0V(0→0)



0→0 = 1, 0V1=1

Ответ: 1

Проверим случай

2) Х=2

2>4 V((2>1)→(2>4)), получаем 0V(1→0)



1→0 = 0, 0V0=0, т.е. при Х=2 высказывание ложно.

Решить самостоятельно
2. Для какого из указанных значений Х истинно высказывание: ((Х>3)V(Х<3))→(Х<1))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4



Ответ: 3
3. Для какого из указанных значений Х истинно высказывание: ((Х<5)→( Х<3)) Λ (Х<2→(Х<1))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4



Ответ: 2
4. Для какого из указанных значений Х истинно высказывание: ¬((Х>2)→(Х>3))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4



Ответ: 3
5. Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание: (90<Х·Х)→(Х<(Х-1))

Решение.

Напомним, что для логического следования справедливы следующие равенства:

ложно→ложно = истина

ложно→истина = истина

истина→истина = истина

1) Решим неравенство: Х<Х-1, 0<-1 – ложно при любом Х. Значит, чтобы искомое выражение было истинным надо, чтобы 90<Х·Х было ложно.

2) Найдите наибольшее целое число Х, при котором 90<Х·Х ложно. Это и будет ответ на вопрос задачи.

Ответ: 9
Решить самостоятельно
6. Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание:

(50<Х·Х)→(50>(Х+1)(Х+1))



Ответ: 7
7. Укажите значения логических переменных K, L, M, N при которых логическое выражение ложно: (K V M)→(M V¬L V N)

Решение.

Рассуждаем следующим образом: логическое следование ложно только в одном случае, когда K V M истинное выражение, а M V¬L V N ложное выражение.

1) Чтобы правильно ответить на поставленный вопрос вспомните, что логическая сумма ложна, если все слагаемые ложны, т.е. равны нулю.

2) Логическая сумма истинна, если хотя бы одно из слагаемых истинно, т.е. равно 1.



Ответ: 1100

Решить самостоятельно
8. Сколько различных решений имеет уравнение ((K V L)→(L Λ M Λ N))? В ответе перечислить все полученные значения K, L, M, N. Ответ лучше оформить в виде таблицы, в которой количество столбцов равно числу переменных, а количество строк – количеству решений.

Ответ: 10
В следующих примерах надо доказать равносильность или эквивалентность выражений. Существуют два способа решений:

1. Составлять таблицы истинности, что долго.

2. Применить законы логики. Очень часто используются законы де Моргана:

¬(¬А V¬В)=А ΛВ

¬(¬А Λ¬В)=А VВ

Примеры заданий из ЕГЭ разных лет.
1. Какое логическое выражение равносильно выражению: ¬(¬А V В) V ¬С

1) (А Λ¬В) V¬С

2)¬А V В V ¬С

3) А V¬ В V ¬С

4) (¬А Λ В) V ¬С

Решение.

По закону де Моргана ¬(¬А V¬В)=А ΛВ, выражение в скобках примет следующий вид:

¬(¬А V В)= А Λ¬В.

Заменим выражение в скобках полученным выражением. Искомая формула примет вид: (АΛ¬В)V¬С, т.е. доказано, что ¬(¬А V В) V ¬С=(А Λ¬В) V¬С


В формулах знак равносильности и эквивалентности можно заменить знаком равенства.
Ответ: 3
Следующие примеры выполните самостоятельно, выбранные по законам де Моргана ответы проверьте, используя таблицы истинности:
Решить самостоятельно
2. Какое логическое выражение равносильно выражению: ¬(А Λ В) Λ ¬С

1) ¬А V В V ¬С

2) (¬А V¬ В) Λ ¬С

3) (¬А V¬ В) Λ С

4) ¬А Λ¬В Λ ¬С

Ответ: 2
3. Какое логическое выражение равносильно выражению: ¬(А V ¬В V С)

1)¬ А V В V¬ С

2) А Λ¬ В Λ С

3) ¬ А V¬ В V¬ С

4) ¬А Λ В Λ¬ С

Ответ: 4
4. Какое логическое выражение равносильно выражению: А Λ¬(¬В VС)

1)¬А V ¬В V¬С

2) А Λ ¬В Λ ¬С

3) А Λ В Λ ¬С

4) А Λ ¬В Λ С

Ответ: 3
Образец решения следующей задачи.
Дан фрагмент таблицы истинности:


X

Y

Z

F

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

Какое выражение соответствует F?

1) ¬XV¬YV¬Z

2) X Λ ¬Y Λ ¬Z

3) X V Y V Z

4) X Λ Y Λ Z

Составим таблицу:



X

Y

Z

¬XV¬YV¬Z

X Λ ¬Y Λ ¬Z

X V YV Z

X Λ Y Λ Z




0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

Ответ: 3
Решить самостоятельно
1. Дан фрагмент таблицы истинности:

X

Y

Z

F

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

Какое выражение соответствует F?

1) XV¬Y V Z

2) X Λ Y Λ Z

3) ¬X V Y V ¬ Z

4) X Λ Y Λ ¬Z

Ответ: 1
2. Дан фрагмент таблицы истинности:


X

Y

Z

F

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X V Y V¬Z

2) X Λ Y Λ ¬Z

3) X V¬ Y V Z

4) ¬X Λ ¬Y Λ Z

Ответ: 2
3. Дан фрагмент таблицы истинности:


X

Y

Z

F

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

Какое выражение соответствует F?

1)¬ X Λ ¬Y Λ ¬Z

2) X Λ Y Λ Z

3) X V Y V Z

4) ¬XV¬YV¬Z

Ответ: 4
Задачи по логике, в которых надо уметь рассуждать.
1. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: "Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша". Саша сказал: "Это был мой первый прогул этого предмета". Миша сказал: "Все, что говорит Коля, – правда". Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: "говорит всегда правду", "всегда лжет", "говорит правду через раз". (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)

Решение.

Рассуждения, приводящие к правильному ответу:

Директор знает, что все они, Коля, Саша и Миша прогуляли астрономию в первый раз, значит, Саша сказал правду, и на этом основании делаем вывод, что это он всегда говорит правду. Коля солгал дважды, что видно из его ответа. Он – лгун. Остался Миша, который говорит через раз, то правду, то ложь.

Ответ: СКМ.
Решить самостоятельно
2. Три школьника, Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее:

Миша: «Я не бил окно, и Коля тоже…»

Коля: «Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!»

Сергей: «Я не делал этого, стекло разбил Миша».

Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это, директор смог докопаться до истины.

Кто разбил стекло в классе? В ответе запишите только первую букву имени.



Ответ: М
3. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях.

Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй.

Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место.

Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита?

(В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам девочек в указанном порядке имен.)

Ответ: 1423
4. Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

А) Макс победит, Билл – второй;

В) Билл – третий, Ник – первый;

С) Макс – последний, а первый – Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс?



(В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)

Ответ: 3124


Похожие:

I. Равновероятные события. N=2i iconУрок №3 «Формулы Хартли и Шеннона» Задач Сколько бит информации несет сообщение о том, что
А случайный выбор карты –события равновероятные. Воспользуемся формулой Хартли: 2I=32, I=5бит
I. Равновероятные события. N=2i iconУрок 4 Конечное вероятностное пространство. Классическая модель
Напомним, что задачи, приводящие к вероятностной модели, в которой вероятностное пространство Ω конечно, и все элементарные исходы...
I. Равновероятные события. N=2i iconЛабораторная работа №5. Реакция на события и их обработка
В табл. 5 представлены события и элементы документов html, в которых эти события могут происходить
I. Равновероятные события. N=2i iconПрограмма курса «Теория вероятностей и математическая статистика»
Событие – качественная характеристика эксперимента. Определение случайного события. Невозможное и достоверное события. Несовместные...
I. Равновероятные события. N=2i icon«Частота случайного события»
Цели урока: сформулировать у учащихся понятие частоты случайного события, сформулировать умение находить частоту случайного события;...
I. Равновероятные события. N=2i iconМероприятия в сентябре интересные события, яркие впечатления, позитивные события. Приглашаем!

I. Равновероятные события. N=2i iconМесто события: рф, нижегородская обл., Н. П. Парамоново
Дата, время события (местное и utc): 11. 05. 12, 14 4 20 мин
I. Равновероятные события. N=2i iconФормулы сложения вероятностей
Из пункта 2 аксиомы, по которой вводилось определение вероятности события, следует, что если A1 и A2 несовместные события, то
I. Равновероятные события. N=2i iconФормулы сложения вероятностей
Из пункта 2 аксиомы, по которой вводилось определение вероятности события, следует, что если A1 и A2 несовместные события, то
I. Равновероятные события. N=2i iconИсторические события Гражданские события
Римский Император и папа передали Тевтонскому Ордену все права на захваченные прусские земли
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org