Теорема Пифагора вне школьной программы



Скачать 208.21 Kb.
Дата25.07.2014
Размер208.21 Kb.
ТипИсследовательская работа
Открытая межрегиональная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку»

Теорема Пифагора вне школьной программы (исследовательская работа)

Работу выполнила: Трегуб Рита

ученица 10 класса

МОУ Айской Средней

Общеобразовательной школы

Алтайского района Алтайского края

Руководитель: учитель

математики Граф Э.Р.

Бийск 2011

Содержание

стр.


Введение 3

Глава I. История открытия теоремы Пифагора 4

Глава II. Различные методы доказательства теоремы Пифагора 6

2.1 Доказательство методом достроения 6

2.2 Алгебраический способ доказательства 6

2.3 Аддитивный способ доказательства 7

2.4 Не алгебраические способы доказательства 7

Глава III. Практическое применение теоремы Пифагора 11

3.1 Применение в архитектуре 12

3.2 Пифагоровы тройки 13

3.3 Применение в астрономии 14

3.4 Применение в мобильной связи 14

3.5 Применение в строительстве крыши 15

3.6 Задачи в стихах 16

Заключение 18

Список используемой литературы 19

Введение

Теорема Пифагора притягивает исключительное внимание со стороны математиков и любителей математики . Многие из них не довольствовались уже известными доказательствами, а находили свои, доведя за двадцать пять сравнительно обозримых столетий количество доказательств до нескольких сотен.

В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу.

Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности.

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: простота – красота – значимость.

Меня заинтересовала такая популярность теоремы. Я решила исследовать практическое применение теоремы Пифагора, так как меня интересует геометрия, как наука в целом , а также сама теорема Пифагора представляет для меня большой интерес. Тема моей работы «Теорема Пифагора во вне школьной программы».

Цель работы: показать практическое применение теоремы Пифагора

Задачи:


  • изучить историю открытия теоремы Пифагора;

  • исследовать различные методы доказательства данной теоремы,не рассматриваемые в школе;

  • выяснить практическую значимость теоремы.

Основной метод, который я использовала в своей работе – это метод исследования, систематизации и обработки данных.

Глава I. История открытия теоремы Пифагора1

Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору.

Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Теорему Пифагора называют еще «теоремой невесты»2. Дело в том, что в «Началах» Евклида она ещё именуется, как «теорема нимфы», просто её чертёж очень схожий на пчёлку или бабочку, а греки их называли нимфами. Но когда арабы переводили эту теорему, то подумали, что нимфа – это невеста. Вот так и вышла «теорема невесты». Кроме этого, в Индии, её ещё называли «правилом верёвки».

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 32 + 42 = 52 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.

Глава II. Различные методы доказательства теоремы Пифагора

2.1 Доказательство теоремы Пифагора методом достроения3

Доказательство Леонардо-да-Винчи




Рис. 1

Главные элементы доказательства — симметрия и движение. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/teorema_de_pit%c3%a1goras.leonardo_da_vinci.svg/300px-teorema_de_pit%c3%a1goras.leonardo_da_vinci.svg.png

Рассмотрим чертёж( Рис. 1), как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению).

Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG.

Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.



2.2 Алгебраический способ доказательства4

Рис. 2
Рис.2 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари(знаменитого автора Лилавати, XIIв.) Рисунок сопровождает лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теорем Пифагора алгебраическим методом первое место(возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. c:\users\рита\desktop\bahaskari.gif

Историки считают, что Бхаскара выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей четырех треугольников 4(ав/2) и площади квадрата со стороной, равной разности катетов.



2.3 Аддитивный способ доказательства

"Колесо с лопастями"


Рис. 3

Доказательство методом разложения квадратов на равные части называемое "колесом с лопастями", приведено на рисунке 3. Здесь: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; О - центр квадрата, построенного на большем катете; пунктирные прямые, проходящие через точку О, перпендикулярны или параллельны гипотенузе. Легко видеть, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Теорема доказана. http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/9.gif


2.4 Не алгебраические методы доказательства5

Зрительное доказательство



http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/1.gif

Рис. 4

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника(Рис.4). Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.



Доказательство Евклида6


Рис.5

Доказательство Евклида приведено в предложении 47 I книги "Начал". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника ABC строятся соответствующие квадраты (рис.5) и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату ACKG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC=BD и угол FBC равен сумме углов d и ABC, т.е. углу ABD. Но http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula14.gifтак как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично, http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula15.gif(BF - общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, чтоhttp://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula16.gif, имеем http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula17.gifАналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula18.gif. Итак, http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula19.gif, что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли "ходульным" и "надуманным". Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений I книги "Начал". Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь. Теорема доказана.http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/4.gif


Доказательство Пифагора7

Рис. 6http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/7a.gifhttp://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/7b.gif

Геометрическое доказательство, приписываемое Пифагору(Рис.6). Вот предполагаемое доказательство самого Пифагора. Построим квадрат, сторона которого равняется сумме катетов a и b данного прямоугольного треугольника Разделим этот квадрат на два квадрата http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula5.gifи и на два равных прямоугольника со сторонами a и b. В свою очередь, разделим эти прямоугольники на четыре равных прямоугольных треугольника I, II, II, IV. Укладывая эти треугольники так, как показывает рисунок, получим посредине квадрат http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula4.gif. Отсюда следует, что квадрат со стороной a+b, уменьшенный в 2ab, дает в первом случае http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula5.gif, а во втором http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula4.gif, и значит http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/formula1.gif. Теорема доказана.

Доказательство методом бесконечно малых8

Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди, жившему в первой половине XX века.

Рассматривая чертёж(Рис. 7) и наблюдая изменение стороны a, мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/pythagoreanderivation.svg/300px-pythagoreanderivation.svg.png

Рис. 7

\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}

Пользуясь методом разделения переменных, находим



c\, dc = a\, da

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов



c\ dc = a\, da + b\, db

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем



c2 = a2 + b2 + constant.

a = b = c = 0 \rightarrow \mathrm{constant} = 0

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу



c2 = a2 + b2.

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим

a=0 \rightarrow c^2 = b^2 = \mathrm{constant}.

Глава III. Практическое применение теоремы Пифагора

Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора(Рис.8). Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости.9



http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/primenenie1.gifhttp://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/primenenie2.gifhttp://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/primenenie3.gif

Рис. 8

Диагональ d квадрата(Рис.8) со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом, d=2a, откуда: d=2a2.
Диагональ d прямоугольника (Рис.8)со сторонами а и b вычисляется подобно тому,как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d2=a2+b2
Высота h равностороннего треугольника (Рис.8)со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2.


Рис. 10

Рис. 9
Таким образом имеем a=h+(a/2), или h=(3/4)a. Отсюда вытекает h=1/2 3a.
Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. Исследуем куб(Рис.9), внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат рабро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна 2а). Отсюда имеем d=a+(2a), d=3a, d=3a.
Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение d = a + b + c.

Исследуем пирамиду(Рис. 10), например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды). Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата (1/2*2a). Вследствие этого имеем: s=h+(1/2)a. Затем можем вычислить высоту h1 боковых граней. h1= h+(1/4)a.

Считать эти приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Если, например, рассматривать нашу четырехугольную пирамиду как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ. Заметим, что расчет площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит:
"Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила??? на перекрываемуюплощадь."
3.1 Применение в архитектуре
http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/primenenie4.gif http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/primenenie5.gif


Рис. 11
В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. Представлен простой пример такого окна в готическом стиле(Рис.11). Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны http://th-pif.narod.ru/images/practic/use04.gif


  1. ширине окна (b) для наружных дуг

  2. половине ширины, (b/2) для внутренних дуг

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг.

Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.

В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке 12. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:

(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)

или


b/16+ bp/2+p=b/16+b/4-bp+p,

откуда


bp/2=b/4-bp.

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

http://th-pif.narod.ru/images/practic/use05.gifhttp://th-pif.narod.ru/images/practic/rom.jpg

Рис.12


У египтян была известна задача о лотосе. "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну."

3.2 Пифагоровы тройки10
Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x2 + y2 = z2 ). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. .. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики. Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x,y,z — взаимно простые числа. Треуголь-ник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52). Некоторые Пифагоровы тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.

3. 3 Применение в астрономии



Рис. 13
На этом рисунке 13 показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой. путь светового луча

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то уравнение примет вид

c * t = l

Это ведь произведение затраченного времени на скорость.

Если взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим уравнение в виде:

v * t' = d

Буквой v обозначена скорость движения космического корабля.



Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света?(Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)

Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получится уравнение:



c * t' = s

Здесь c - это скорость света, а t' - это тоже самое время, которое рассматривалось на формулы выше.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять на нее.

Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковых прямоугольных треугольников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d, которое рассчитали только что. Второй катет - это s, который проходит свет, и который тоже рассчитан.


Получается уравнение:

s2 = l2 + d2

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

3.4 Применение в мобильной связи


В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ.
Ответ: 2,3 км.

3.5 Применение в строительстве крыши11

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.(Рис.14)

     Решение:

     Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:

     А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,

     formula54

Б) Из треугольника ABF:

pic6

Рис. 14

3.6 Задачи в стихах12

У египтян была известна задача о лотосе:



"На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну."

Задача Бхаскари



«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"



«Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).
Какова высота бамбука после сгибания?
»

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого



«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

Задача древних индусов



«Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?»

Заключение

Изучив историю открытия теоремы Пифагора, выяснилось, что Пифагор открыл не саму теорему, а ее доказательство.

Исследовав различные методы доказательства теоремы Пифагора, оказалось, что таких доказательств огромное количество и разделить их можно на следующие:



  • доказательство методом достроения

  • аддитивное доказательство

  • алгебраический метод доказательства

  • не алгебраический метод доказательства.

Выяснив практическую значимость теоремы Пифагора, оказалось, что теорема имеет большое применение в повседневной жизни в разных сферах человеческой деятельности: астрономии, строительстве, мобильной связи, архитектуре

Практическое применение моей работы состоит в том, что ее можно использовать во внеурочных мероприятиях.

Обобщенность и систематизированность данных позволяет заинтересовать учащихся для более глубокого изучения геометрии и сделать ее привлекательней и интересней.

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

Список используемой литературы

1. О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва

2. А.П.Киселёв ,Геометрия. Часть первая. Планиметрия, Москва,Просвещение,1969г.

3. Г. Глейзер,Учебно-методическая газета Математика, №4 2005г.

4. Г.Остренкова,Учебно-методическая газета Математика, №24 2001г.

5. Е.Е.Семёнов «Изучаем геометрию», Москва, Просвещение ,1987г.

6. М.В.Ткачева Домашняя математика , Москва, Просвещение ,1994г.

7. Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»

8. В. Литцман, «Теорема Пифагора» М., 1960.

9. Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959

10. Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.

11. И. Г. Алексеев, Математика. Подготовка к ЕГЭ: учебно-методическое пособие.





1 . Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959

2 М.В.Ткачева Домашняя математика , Москва, Просвещение ,1994г.


3 О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва


4 Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.

5 . Г. Глейзер,Учебно-методическая газета Математика, №4 2005г.

6 Е.Е.Семёнов «Изучаем геометрию», Москва, Просвещение ,1987г.


7 О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва


8 О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва


9 А.П.Киселёв ,Геометрия. Часть первая. Планиметрия, Москва,Просвещение,1969г.


10 Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»


11 . И. Г. Алексеев, Математика. Подготовка к ЕГЭ: учебно-методическое пособие.


12 Г.Остренкова,Учебно-методическая газета Математика, №24 2001г.



Похожие:

Теорема Пифагора вне школьной программы iconАзовательная школа №92 X школьная научно-практическая конференция теорема пифагора вне школьной программы
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоции­ровалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда...
Теорема Пифагора вне школьной программы iconТема. Теорема Пифагора
Пифагора. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную...
Теорема Пифагора вне школьной программы iconТеорема Пифагора и числа Фибоначчи
Несмотря на ее предельную простоту, теорема Пифагора, по мнению многих математиков относится к разряду наиболее выдающихся математических...
Теорема Пифагора вне школьной программы iconУрок по геометрии 8 класс. "Теорема Пифагора"
Образовательная цель: познакомится с биографией Пифагора, изучить теорему Пифагора
Теорема Пифагора вне школьной программы iconУрок по теме «Теорема Пифагора»
Образовательная: добиться усвоения теоремы Пифагора, привить навыки вычисления неизвестной стороны прямоугольного треугольника по...
Теорема Пифагора вне школьной программы icon«Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора»

Теорема Пифагора вне школьной программы iconКонспекты конкурсных уроков черникова Екатерина Анатольевна, учитель математики сош №156 Тема урока: Теорема Пифагора
Закрепить умение применять теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора, при решении задач
Теорема Пифагора вне школьной программы iconКонспект урока по теме «теорема пифагора»
Познакомить учащихся с теоремой Пифагора, её следствиями и применением теоремы при решении задач
Теорема Пифагора вне школьной программы iconУрок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач. Цели: 1 расширить ранее изученные сведения о теореме Пифагора

Теорема Пифагора вне школьной программы iconТеорема Пифагора
Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org