Верх-Ирменская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза А.И.Демакова
Свойства параллелограмма:
известные и не очень…
учебный предмет - геометрия
Работу выполнила:
ученица 8 «а» класса
Данн Марина Работу проверила:
учитель математики
Руденская Т.А. Верх – Ирмень
2009
Оглавление:
Введение…………………………………3
2. Начнем с «Начал»……………………3-4 3.Частные виды параллелограмма…4-5
Свойства, известные и не очень…5-12
Вывод……………………………………12
Источники информации……………13
1) Введение Как-то на уроке геометрии учитель предложил нам доказать свойство параллелограмма, которого в учебнике не было. Оно звучало так: биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Мы рассмотрели несколько задач, которые с помощью этого свойства решились очень просто. Учитель сказала, что таких свойств много и можно даже попробовать вывести их самим. И тогда я подумала, что это может быть интересно, ведь с помощью этих дополнительных свойств можно будет еще быстрее и легче решать задачи, которые иногда кажутся трудными. И я занялась исследованием свойств параллелограмма. Цель:
Узнать и вывести самой как можно больше дополнительных свойствах параллелограмма, которые не изучаются в школе. Задачи:
Изучить историю возникновения параллелограмма и историю развития его свойств
Найти дополнительную литературу по исследуемому вопросу
Спросить у знающих людей, знакомых, старшеклассников
Попробовать вывести свойства самой
2) Начнем с «Начал» Для начала я решила узнать, откуда появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.
В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.
Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на теореме Евклида о свойствах параллелограмма.
Само же понятие параллелограмм от греч. Parallelos — параллельный и gramme — линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии».
3) Частные виды параллелограмма Известны некоторые виды параллелограмма:
Прямоугольник;
Квадрат;
Ромб.
Прямоугольник - параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же имеет свое собственное: Диагонали прямоугольника равны.
Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: Диагонали ромба взаимноперпендикулярны и делят его углы пополам. Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене. Квадрат - равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур. Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” - четырехугольник.
Схематически пересечение и объединение свойств этих фигур можно изобразить так:
4) Свойства, известные и не очень… В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:
Противоположные углы и стороны равны
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
Я предлагаю 10 дополнительных свойств: Свойства:
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180◦
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
Противоположные стороны и углы параллелограмма равны.
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;
Дано: ABCD-прямоугольник
Доказать: FEHK-ромб
Доказательство: ▲ KHA = ▲HDE = ▲ECF= ▲FBK (по двум сторонам и углу между ними), значит KF=FE=EA=HK.
Если все стороны равны, то дан ромб.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
5) Вывод:
Исследуя свойства параллелограмма, я увидела, что на уроках мы изучаем только очень малую часть айсберга под названием «геометрия», многое мы просто не успеваем рассмотреть. Однако то, что остается за рамками учебника очень полезно и интересно. В частности, исследуемые мною свойства. А применение этих свойств позволяет сделать решения задач более простыми и быстрее прийти к нужному результату. А на сколько важно уметь решать геометрические задачи, мы убеждаемся на каждом уроке, когда видим практическое приложение изучаемого материала. О важности математических, в частности геометрических знаний говорит тот факт, что была, в больших размерах, учреждена премия тому, кто издаст книгу о человеке, который всю жизнь прожил без помощи математики. До сих пор эту премию не получил ни один человек.
Устные вопросы: Определение параллелограмма Свойства параллелограмма ( противоположные стороны и углы равны, сумма соседних углов 180 градусов, диагонали точкой пересечения...
Г. Нижневартовск 2008 2009 учебный год Геометрия-слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится...
Дополнительные признаки параллелограмма Термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его...
лово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене. 
ермин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” - четырехугольник. 
