Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр



страница1/26
Дата25.07.2014
Размер1.11 Mb.
ТипЗадача
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   26

Задачи по линейному программированию и оптимизации



Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр.


Предмет «Оптимизация и математические методы принятия решений»

Раздел 1.1.

3. Приведите следующие задачи к каждой из канонических форм

3.1










3.2








3.3










Раздел 1.2

1. Докажите лемму 1, следствие из нее и признак оптимальности в краткой форме.

Лемма 1. При любых описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\102.png и  описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\103.png выполняется неравенство


описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\104.png                                                           

2. Постройте двойственные задачи к задачам из упражнения №3 раздела 1.1, сформулируйте для них условия признака оптимальности. Достаточно ли этих условий, чтобы найти решения задач?

Раздел 1.3

1. Сформулируйте алгоритм одного шага метода последовательного улучшения, для задачи, двойственной к задаче в канонической форме.



Задача


описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\79.png

Раздел 1.4

1. Для следующих задач линейного программирования запишите двойственные к ним и найдите оптимальные решения.



gif" align=absmiddle hspace=8>





2. Для следующих задач линейного программирования найдите оптимальные решения в зависимости от указанных параметров (величины некоторых ограничений) и проведите исследование изменения оптимального решения и оптимального значения целевой функции при изменении параметра















x – свободные

3. Для следующих содержательных постановок постройте математическую модель в виде задачи линейного программирования, приведите ее к какой-либо известной вам канонической форме, сформулируйте двойственную задачу и условия признака оптимальности, найдите решения пары двойственных задач, проинтерпретируйте двойственные оценки.



Для серийного производства некоторого изделия требуются комплекты заготовок профильного проката. Каждый комплект состоит из двух заготовок длиной 1800 мм и пяти заготовок длиной 700 мм. Как следует раскроить 770 полос проката стандартной длины 6000 мм, чтобы получить наибольшее количество указанных комплектов?

Раздел 1.5

1. Решите следующие задачи выпуклого программирования. Дайте интерпретацию двойственным переменным и проинтерпретируйте выполнение условий дополняющей нежесткости. Как изменится оптимальное решение при изменении правых частей ограничений?





Раздел 2.1

2.1. Для данных множеств исходов и описанных предпочтений выясните, являются ли предпочтения рациональными и можно ли их представить функцией полезности?

описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\новый точечный рисунок.bmp

2.2. В предыдущем упражнении найдите результат выбора, если он существует.

Раздел 2.2

1. Решение о покупке автомобиля. Рассмотрим простую ситуацию: человек, располагающий запасом денег W решает, приобрести ли автомобиль по цене p, его полезность измеряется в деньгах и денежная оценка факта наличия у него автомобиля для человека составляет описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\468.png (итого при покупке автомобиля его выигрыш составит описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\469.png, а в отсутствие автомобиля просто измеряется размером богатства W). Представьте ситуацию в виде дерева решений. Найдите граничное значение цены автомобиля, при котором человеку безразлично — покупать автомобиль или нет. РЕШАТЬ НЕ НАДО!!

2. В предыдущей задаче рассмотрите ситуацию, когда человек имеет возможность выбора из двух (или более) альтернативных моделей автомобилей (для простоты положим, что покупает он не более одного), которые отличаются ценами. Как изменится ситуация выбора? От чего зависит, будет ли выбран более дорогой или более дешевый автомобиль, если вообще покупка свершится?

3. Задача выбора количества потребляемых товаров при бюджетном ограничении. Потребитель распределяет весь свой доход между потреблением некоторого обычного товара в количестве описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\471.png, покупая его по цене p руб. за единицу, и потреблением всех остальных товаров, рассматривая его, как денежный остаток, который он не тратит на первый товар, — описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\472.png. Полезность потребителя задана функцией описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\473.png, а множество доступных альтернатив задано бюджетным множеством в виде описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\474.png, где R — весь доход потребителя. Найдите оптимальный выбор потребителя в зависимости от параметров: описание: f:\learning\3semestr\optimiz\course335\course335\img\013.png. Являются ли предпочтения потребителя рациональными (поясните)? Каков содержательный смысл двойственной оценки бюджетного ограничения в такой задаче?

Раздел 2.3.

1. Индивидуум имеет функцию полезности типа Неймана—Моргенштерна, а элементарная функция полезности строго возрастает и зависит только от одного аргумента (денег). Лотерея $3 и $5 с вероятностями 1/2 и 1/2 и лотерея $3 и $9 с вероятностями 2/3 и 1/3 для него эквивалентны. Может ли быть верным, что этот индивид а) рискофоб; б) нейтрален к риску; в) рискофил?

2. Предпочтения судовладельца описываются функцией полезности типа Неймана—Моргенштерна с элементарной функцией полезности от богатства хвида u(х), причем u имеет положительную убывающую производную. Он владеет богатством $40 000 и может потерять в случае аварии судна $10 000.

(A) Пусть вероятность аварии равна 0,02 и известно, что он застраховался на сумму $9 000. Возможно ли, что цена страхования на $1 равна $0,02? Если нет, то больше или меньше, чем $0,02? Объясните.


(B) Пусть цена страхования на $1 равна $0,02 и известно, что он застраховался на сумму $11000. Возможно ли, что вероятность аварии равна 0,02? Если нет, то больше или меньше, чем 0,02? Объясните.


(C) Пусть вероятность аварии равна 0,01 и известно, что цена страхования на $1 равна $0,02. Возможно ли, что он застраховался на сумму $10 000? Если нет, то больше или меньше, чем $10 000? Объясните.



Раздел 2.4

2.8. Игра «Вахтер». На входе в некоторое учреждение стоит вахтер. В учреждение могут войти посетители двух типов: «свои» и «чужие» (будем их для краткости обозначать A и B). Некоторые посетители кажутся вахтеру своими, а некоторые — чужими (фактически, в игре есть 2 типа вахтера — обозначим их соответственно a и b). Вахтер точно не знает, «свой» перед ним или «чужой» и может только проверить у посетителя наличие пропуска. При этом если посетитель окажется своим, то выигрыш вахтера составит –1, а если чужим, то 1. Если вахтер пропускает человека без проверки, то ему уже все равно, свой тот или нет, и выигрыш вахтера составляет 0.

 

Опишите игру в виде дерева решений «единого вахтера», который не обращает внимания на то, что ему кажется и в виде дерева, в котором учтены подозрения вахтера (и b). Как вахтеру использовать свои подозрения при принятии решения проверять или не проверять документы?



КУРС

Оптимизация и основы теории принятия решений

СОДЕРЖАНИЕ



Задачи по линейному программированию и оптимизации 1

Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр. 1



Раздел 1. Основы теории оптимизации 10

Лекция 1.1. Введение в теорию оптимизации. 10

Введение. 10

Примеры моделей, приводящих к задачам линейного программирования 12

Общая схема моделирования 22

Канонические формы задач линейного программирования 24

Контрольные вопросы 27

Упражнения 27

Лекция 1.2. Двойственная задача. Признак оптимальности. 28

Двойственная задача. 28

Признак оптимальности. 30

Геометрическая интерпретация двойственности 32

Контрольные вопросы 34

Упражнения 34



Лекция 1.3. Метод последовательного улучшения 34

Общая идея метода последовательного улучшения 34

Процедура одного шага метода последовательного улучшения 37

Построение начального базисного множества 40

Контрольные вопросы 44

Упражнения 45



Лекция 1.4. Общая схема метода последовательного улучшения 45

Крайние точки выпуклых множеств 46

Схема метода последовательного улучшения для задач с общей системой ограничений 47

Теорема двойственности 50

Поведение оптимального решения при изменении условий. Двойственные переменные как оценки значимости ограничений 52

Контрольные вопросы 54

Упражнения 54

Лекция 1.5. Нелинейное программирование. Теоремы Куна — Таккера. 56

Выпуклые функции. Субградиент выпуклой функции 57

Применение в анализе решений задач линейного программирования 59

Задачи выпуклой оптимизации 61

Задачи выпуклого программирования 62

Критерии оптимальности в задачах выпуклого программирования 64

Контрольные вопросы 66

Упражнения 67



Список литературы 67

Раздел 2. Основы теории принятия решений 68

Лекция 2.1. Введение.Теория игр и теория принятия решений 68

Теория игр и проблема выбора 68

Рациональность 69

Предпочтения и выбор в простой ситуации 71

Контрольные вопросы 74

Упражнения 74



Лекция 2.2. Принятие решений в детерминированных условиях 75

Одномерная оптимизация 75

Принятие решений в динамике, дерево решений 76

Межвременные предпочтения и дисконтирование 79

Контрольные вопросы 80

Упражнения 80



Лекция 2.3. Принятие решений при риске 81

Лотереи 82

Ожидаемая полезность (функция полезности фон Неймана—Моргенштерна) 84

Отношение к риску 86

Сложные и простые лотереи 87

Санкт-петербургский парадокс 88

Свертывание дерева решений с лотереями 89

Принятие решений при риске (непрерывный случай) 93

Рандомизация, смешанные стратегии 94

Контрольные вопросы 95

Упражнения 96

Лекция 2.4. Байесовское принятие решений 97

Решение о зонте 97

Разведка нефти 98

Контрольные вопросы 102

Упражнения 102

Список литературы 103



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   26

Похожие:

Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр iconВсе ответы должны сопровождаться ссылками на страницы, где найдена необходимая информация

Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр iconИзложение процесса решения с комментариями и рисунком, ответ в общем виде и численные расчеты в системе единиц си
Номер варианта соответствует порядковому номеру фамилии студента в журнале группы. Решение задачи должно включать ее условие, последовательное...
Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр iconРешение задач по теме «Площади многоугольников»
Повторение словесных формул площадей многоугольников с помощью «логической шпаргалки»- «Шпаргалка» даёт не готовые формулы, а напоминает...
Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр iconКонспект урока по геометрии в 7 классе по теме «Сумма углов треугольника. Решение задач»
Совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о сумме углов треугольника
Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр iconРешение задач по теме «Геометрическая прогрессия»
Цель: совершенствовать навыки решения задач на применение формул n-го члена геометрической прогрессии, формулы суммы членов геометрической...
Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр iconСправочник по физике От
Файл содержит формулы из курса физики, которые будут полезны учащимся старших классов школ и младших курсов вузов. Все формулы изложены...
Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр iconПрименение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.)

Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр iconРешение задач с помощью теоремы Менелая теорема Чевы
Региональная открытая научно-практическая конференция школьников Сибирского федерального округа «Эврика»
Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр iconСправочник по физике. Гридасов А. Ю. Новосибирск 1997г
Файл содержит формулы из курса физики, которые будут полезны учащимся старших классов школ и младших курсов вузов. Все формулы изложены...
Решение контрольных задач должно обязательно сопровождаться комментариями и ссылками на используемые утверждения, формулы, теоремы и пр iconСправочник по физике. Гридасов А. Ю. Новосибирск 1997г
Файл содержит формулы из курса физики, которые будут полезны учащимся старших классов школ и младших курсов вузов. Все формулы изложены...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org