Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение
|
Скачать 288.52 Kb.
|
| МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение Метод неопределенных коэффициентов основан на определении равенства двух многочленов: многочлены  и   называются равными, если равны их соответствующие коэффициенты, то есть
 .
Задача 14. Разделить многочлен  на многочлен  .
Решение. Разделить многочлен  на многочлен  это значит найти такие многочлены  и  , для которых  , где  . Так как, многочлены и заданы над  , то  , т. е.  и значит  ; , где  и значит,  .
Тогда
и, следовательно,  , то есть  , то есть  ,  .
Схема Горнера и ее применение При делении многочлена на линейный двучлен  применяется метод сокращенного деления, называемый «схемой Горнера». Этот метод непосредственно следует при применении в процессе деления на метода неопределенных коэффициентов: , где  ,  . При этом имеем
 откуда
 ,
 , то есть  ,
 , то есть  ,
………………………………………….  , то есть  ,
 , то есть  .
Указанные рекуррентные формулы позволяют составить компактную схему нахождения неполного частного
Задача 15. Используя схему Горнера, разделить многочлен 
на Решение. Многочлен имеет степень  и, следовательно, должен иметь  коэффициентов:  ;  .
Составим схему Горнера деления
Итак, частное  и остаток  .
Задача 16. Найти значение многочлена  в точке  .
Решение. Составим схему Горнера деления на  .
Значение многочлена в точке  равно  .
Задача 17. Разложить многочлен  по степеням  .
Решение. Разложить многочлен по степеням  это значит, представить в виде
 ,
где Коэффициенты разложения
В нашем случае имеем:
Итак,  .
Задача 18. Определить кратность корня  многочлена
.
Решение. Корень многочлена имеет кратность, равную  , тогда и только тогда, когда в разложении многочлена по степеням коэффициенты  , а  .
Значит, чтобы решить поставленную задачу, надо построить схему Горнера для разложения многочлена Неприводимые многочлены над полем Многочлен натуральной степени  называется приводимым над полем  , если над этим полем существуют два многочлена  и  натуральной степени такие, что  .
Многочлен Задача 19. Является ли приводимым многочлен  над  .
Решение. 1 способ. Если над существуют многочлены и натуральной степени такие, что , то они могут быть только определенной истинной степени:  ,  . Но тогда  ,   . Используем метод неопределенных коэффициентов для нахождения  .
 , то есть
 ,
 в  .
Имеем: 
(1)  не является решением исходной системы.
(2)  является решением исходной системы, т. е.
 ,  и .
Следовательно многочлен 2 способ. Если над  многочлен приводим, то он представлен в виде произведения линейного двучлена и многочлена второй степени:
 , где  .
Но означает, что 
 , где  . Следовательно, является приводимым над многочленом.
Критерий Эйзенштейна Многочлен с рациональными коэффициентами неприводим над полем  тогда и только тогда, когда над этим полем неприводим многочлен с целыми коэффициентами, полученный умножением на общее наименьшее кратное знаменателей всех его коэффициентов.
Пусть Критерий Эйзенштейна: Если существует такое простое число  , что старший коэффициент многочлена не делится на , все остальные коэффициенты делятся на , а младший коэффициент  , делится на , не делится на  , то многочлен неприводим над полем .
Заметим, что эта теорема является достаточным условием неприводимости многочлена над Задача 20. Проверить, является ли неприводимым над многочлен  .
Решение. Здесь подходит число Задача 21. Приводим ли над многочлен  .
Решение. К этому многочлену критерий Эйзенштейна непосредственно применить нельзя. Но сделаем замену  , в результате которой получается многочлен  , неприводимый в силу критерия Эйзенштейна ( ). Следовательно, и многочлен неприводим над .
Наибольший общий делитель двух многочленов и его свойства  – это такой многочлен  , который делит и и сам делится на любой общий делитель многочленов и . Для данных многочленов и над полем существует столько наибольших общих делителей, сколько элементов в поле минус 1.
Все наибольшие общие делители многочленов Среди всех общих наибольших делителей многочленов и выделяют один – старший коэффициент которого равен  . Этот многочлен называют нормированным общим наибольшим делителем многочленов и .
можно найти по определению.
Задача 22. Найти для  и  над .
Решение. Многочлен делится на все многочлены вида  ,  , ( ), на все многочлены вида  ,  , ( ), на все многочлены вида  ,  , ( ), на все многочлены вида  ,  , ( ). Многочлен делится на все многочлены вида  ,  , ( ), и на все многочлены вида  ,  , ( ). Общими делителями многочленов и являются все многочлены вида  ,  , () и все многочлены вида  ,  , ( ). Среди них делятся на все общие делители многочленов и только многочлены вида  , , (). Значит, они и являются общими делителями многочленов и . Их бесконечно много. Среди них выделяется нормированный
 .
можно найти с помощью алгоритма Евклида.
Пусть даны
 ,  ,  .
 .
 .
Заметим, что деление нужно производить «уголком». Задача 23. Найти , если  ,  .
Решение.
Значит,  . Запишем нормированный :  .
С помощью алгоритма Евклида для многочленов Задача 24. Для многочленов и подобрать такие многочлены  и  , чтобы  , если алгоритм Евклида для и состоит из двух строк.
Решение. Пусть алгоритм Евклида для многочленов и состоит из двух строк:
Тогда | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, то есть
, то есть
,
.
.
.
можно найти по схеме Горнера:
, то есть 
, 
, то есть 
. Всего получается 4 четверки 
для нахождения 
, т. е. 
, откуда 
, т. е. 
, откуда 
является корнем многочлена 
. Проверим каждое из них:
, 
- многочлен с целыми коэффициентами.
. Действительно, 
не делится на 2, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
не делится на 
. Значит, 
.
и 
и 
.
, 
,
, то разделим 
: 
, 
,
, то разделим 
: 
, 
, и т.д. до тех пор, пока в остатке не получится 
:
.
.
