Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение



Скачать 288.52 Kb.
страница1/3
Дата25.07.2014
Размер288.52 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие
  1   2   3
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

В. Д. Бочкарева

Алгебра в примерах и задачах.

Многочлены от одного неизвестного

Учебно-методическое пособие


Саранск 2012



Метод неопределенных коэффициентов и его применение
Метод неопределенных коэффициентов основан на определении равенства двух многочленов: многочлены и называются равными, если равны их соответствующие коэффициенты, то есть

.

Задача 14. Разделить многочлен на многочлен .

Решение. Разделить многочлен на многочлен это значит найти такие многочлены и , для которых , где . Так как, многочлены и заданы над , то , т. е. и значит ; , где и значит, .

Тогда


, то есть

, то есть

,

и, следовательно,

, то есть , то есть , .
Схема Горнера и ее применение
При делении многочлена на линейный двучлен применяется метод сокращенного деления, называемый «схемой Горнера».

Этот метод непосредственно следует при применении в процессе деления на метода неопределенных коэффициентов: , где , . При этом имеем

откуда

,

, то есть ,

, то есть ,

………………………………………….



, то есть ,

, то есть .

Указанные рекуррентные формулы позволяют составить компактную схему нахождения неполного частного и остатка при делении многочлена на :



















































Задача 15. Используя схему Горнера, разделить многочлен

на .



Решение. Многочлен имеет степень и, следовательно, должен иметь коэффициентов: ; .

Составим схему Горнера деления на .
































Итак, частное и остаток .

Задача 16. Найти значение многочлена в точке .

Решение. Составим схему Горнера деления на .




2



5



2

2







Значение многочлена в точке равно .

Задача 17. Разложить многочлен по степеням .

Решение. Разложить многочлен по степеням это значит, представить в виде

,

где .

Коэффициенты разложения можно найти по схеме Горнера:










……...

















……...

















……...









































































































В нашем случае имеем:





1

0



0

1

2

1

1

1

0

0

1

3



1

1

2

2

2

3



1

1

3

5

7









1

1

4

9












1

1

5















1

1


















Итак, .

Задача 18. Определить кратность корня многочлена

.

Решение. Корень многочлена имеет кратность, равную , тогда и только тогда, когда в разложении многочлена по степеням коэффициенты , а .

Значит, чтобы решить поставленную задачу, надо построить схему Горнера для разложения многочлена по степеням и посмотреть сколько нулей подряд в разложении. Это количество нулей и будет кратность корня .



Неприводимые многочлены над полем
Многочлен натуральной степени называется приводимым над полем , если над этим полем существуют два многочлена и натуральной степени такие, что .

Многочлен натуральной степени называется неприводимым над полем , если над этим полем нельзя подобрать многочлены и натуральной степени такие, что .



Задача 19. Является ли приводимым многочлен над .

Решение.

1 способ. Если над существуют многочлены и натуральной степени такие, что , то они могут быть только определенной истинной степени: , . Но тогда , . Используем метод неопределенных коэффициентов для нахождения .

, то есть

,

в .

Имеем: , то есть , , то есть . Всего получается 4 четверки для нахождения из системы:



(1) , т. е. , откуда



не является решением исходной системы.

(2) , т. е. , откуда



является решением исходной системы, т. е.

, и .

Следовательно многочлен является приводимым над полем .



2 способ. Если над многочлен приводим, то он представлен в виде произведения линейного двучлена и многочлена второй степени:

, где .

Но означает, что является корнем многочлена . Значения . Проверим каждое из них:





, где . Следовательно, является приводимым над многочленом.

Критерий Эйзенштейна
Многочлен с рациональными коэффициентами неприводим над полем тогда и только тогда, когда над этим полем неприводим многочлен с целыми коэффициентами, полученный умножением на общее наименьшее кратное знаменателей всех его коэффициентов.

Пусть , - многочлен с целыми коэффициентами.



Критерий Эйзенштейна: Если существует такое простое число , что старший коэффициент многочлена не делится на , все остальные коэффициенты делятся на , а младший коэффициент , делится на , не делится на , то многочлен неприводим над полем .

Заметим, что эта теорема является достаточным условием неприводимости многочлена над .



Задача 20. Проверить, является ли неприводимым над многочлен .

Решение.

Здесь подходит число . Действительно, не делится на 2, , , , , , , , не делится на . Значит, неприводим над .



Задача 21. Приводим ли над многочлен .

Решение. К этому многочлену критерий Эйзенштейна непосредственно применить нельзя. Но сделаем замену , в результате которой получается многочлен , неприводимый в силу критерия Эйзенштейна (). Следовательно, и многочлен неприводим над .

Наибольший общий делитель двух многочленов и его свойства
– это такой многочлен , который делит и и сам делится на любой общий делитель многочленов и . Для данных многочленов и над полем существует столько наибольших общих делителей, сколько элементов в поле минус 1.

Все наибольшие общие делители многочленов и различаются только скалярным множителем .



Среди всех общих наибольших делителей многочленов и выделяют один – старший коэффициент которого равен . Этот многочлен называют нормированным общим наибольшим делителем многочленов и .

можно найти по определению.

Задача 22. Найти для и над .

Решение. Многочлен делится на все многочлены вида , , (), на все многочлены вида , , (), на все многочлены вида , , (), на все многочлены вида , , (). Многочлен делится на все многочлены вида , , (), и на все многочлены вида , , (). Общими делителями многочленов и являются все многочлены вида , , () и все многочлены вида , , (). Среди них делятся на все общие делители многочленов и только многочлены вида , , (). Значит, они и являются общими делителями многочленов и . Их бесконечно много. Среди них выделяется нормированный

.

можно найти с помощью алгоритма Евклида.

Пусть даны и и .



  1. Разделим на : , ,

  2. Если , то разделим на : , ,

  3. Если , то разделим на : , , и т.д. до тех пор, пока в остатке не получится :

, , .

.

.

Заметим, что деление нужно производить «уголком».



Задача 23. Найти , если , .

Решение.

1)













































2)















































25



3)








25
































0



Значит, . Запишем нормированный : .

С помощью алгоритма Евклида для многочленов и всегда можно подобрать такие и , что .



Задача 24. Для многочленов и подобрать такие многочлены и , чтобы , если алгоритм Евклида для и состоит из двух строк.

Решение. Пусть алгоритм Евклида для многочленов и состоит из двух строк:

Тогда .


  1   2   3

Похожие:

Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение iconУчебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012

Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса Сведения из теории
Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы линейных уравнений с несколькими неизвестными
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Алгебраические структуры
Под внутренней операцией понимается при этом, по существу, функция (не обязательно всюду определенная) нескольких аргументов из со...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Лабораторная работа № Бинарные отношения
Построить граф и график этого отношения. Какими свойствами обладает это отношение? Решение
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Отображения. Функции Сведения из теории
Пусть даны некоторые множества и. Бинарное соответствие из в называется отображением множества в множество, если
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены
Задача 45. Указать системы показателей и степень следующих одночленов от неизвестных
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 тр аналитическая геометрия Теоретические вопросы: Уравнения прямой на плоскости
Расстояние прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Результант. Дискриминант Рассмотрим два многочлена натуральной степени над полем
Дискриминант тогда и только тогда равен нулю, когда многочлен имеет хотя бы один кратный корень
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение iconУчебно-методическое пособие по Новой истории стран Азии и Африки Брянск, 2008 Сагимбаев Алексей Викторович. Учебно-методическое пособие по курсу «Новая история стран Азии и Африки»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения Исторического факультета, обучающихся по специальности...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка и второго порядка, допускающие понижение порядка
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org