Решением системы линейных уравнений
|
Скачать 325.95 Kb.
|
Системы линейных уравнений – это системы уравнений первой степени с несколькими неизвестными:  где  - неизвестные;  - коэффициент при неизвестном   в  -ом уравнении,   - свободный член -ого уравнения.В компактном виде эту систему можно представить в записи:  .В отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность  чисел  , что каждое из этих уравнений обращается в тождество после замены в нем неизвестных  соответствующими числами  ,  .Несовместной называется система линейных уравнений, которая не имеет ни одного решения. Совместной называется система линейных уравнений, которая обладает решениями. Определенной называется совместная система линейных уравнений, если она обладает одним – единственным решением, а неопределенной, если решений больше, чем одно. Неизвестные (переменные) в системе линейных уравнений могут быть представлены вектором размерности : Тогда и решение системы линейных уравнений может быть представлено вектором той же размерности:  Решением неопределенной системы линейных уравнений является множество векторов. Задача теории систем линейных уравнений состоит:
Вопросы для самопроверки
Матрицей из  строк и столбцов называется составленная из коэффициентов при неизвестных в системе линейных уравнений прямоугольная таблица где  - элемент матрицы,  ,  . - мерным вектором называется упорядоченная система чисел:  Компонентами (муж. род) вектора  называются числа  ,  Строки матрицы  являются -мерными векторами  ,  а столбцы - -мерными векторами   Любой вектор может быть представлен как матрица:  Действия над матрицами соответствуют действиям над векторами. Суммой двух матриц  и  является матрица  элементы которой есть сумма соответствующих элементов слагаемых матриц: где  Суммируются матрицы только одинаковой размерности. Произведением матрицы  на число  называется матрица элементы которой есть произведения элементов матрицы на число : где  Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица  , каждый элемент которой есть сумма произведений соответствующих элементов из строки матрицы и из столбца матрицы  (по правилу “строка на столбец”): где  Умножаются первая матрица на вторую только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Получаемая в результате этого произведения матрица имеет столько же строк, сколько имеет первая матрица-сомножитель, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица-сомножитель. ▼ Примеры Дано:  и  .Найти  и  .Решение:   Дано:  и  Найти  Решение:    ▲ Как правило,  Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратная матрица  называется единичной. Умножение на нее обладает следующими свойствами:  1.2.2. Запись системы линейных уравнений в виде матричного уравнения Обозначим столбец неизвестных:  Обозначим столбец свободных членов:  Тогда рассматриваемую систему линейных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения:  ▼ Примеры В рассмотренных ранее примерах системы линейных уравнений представляются в виде матричных уравнений: эквивалентна  ;эквивалентна  ;эквивалентна  ;эквивалентна  .▲ Систему линейных уравнений  можно представить расширенной матрицей  .1.2.3. Определитель квадратной матрицы и его вычисление Определитель есть число, определяемое для квадратной матрицы. Системе линейных уравнений  из двух уравнений с двумя неизвестными соответствует квадратная матрица второго порядка  Исключая из системы поочередно каждое неизвестное, получим выражения:  Обозначим определитель второго порядка матрицы  вычисляемый по правилу:  Аналогично выводится правило для определителя третьего порядка:  Схематично обозначим в определителе произведения элементов, которые берутся со знаком плюс и минус:   Определителем –ого порядка, соответствующим матрице  , называется определенная алгебраическая сумма  всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце.Вычисление определителя для матрицы требует расчета произведений и определения знака их суммирования. При  - это  произведения, при  - это  произведений, а при  - уже  . Поэтому определители высоких порядков проще вычислять понижением порядка.Минором  -ого порядка элемента матрицы  называется определитель  матрицы, получающейся после вычеркивания из матрицы -ой строки и  -ого столбца: Алгебраическим дополнением элемента называется определитель: .Определитель  равен сумме произведений всех элементов его -ой строки на их алгебраические дополнения: Последнее выражение называется разложением определителя по -ой строке. Аналогичное разложение определителя можно получить и по любому его столбцу: Вычисление определителя -ого порядка понижением порядка сводится к вычислению определителей -ого порядка.Специальным приемом можно снизить необходимое число рассчитываемых определителей, как это показано ниже на примере. ▼ Пример Вычислить определитель матрицы  Решение. А) Вычислим определитель способом понижения порядка, используя разложение по  -ому столбцу:   Ответ:  Б) Вычислим определитель более рациональным способом, используя предварительные эквивалентные преобразования. Следующее эквивалентное преобразование матрицы не влияет на величину ее определителя: прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число. Будем вычислять определитель путем разложения по  -ой строке.Преобразуем эту строку прибавлением к ней  -ой строки с целью получения в ней больше нулевых элементов: Продолжаем эквивалентные преобразования с той же целью, прибавляя к -ому столбцу утроенный -ой столбец: Тогда  Ответ: ▲ 1.2.4. Признак определенности системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов и ее решение по правилу Крамера Рассмотрим систему линейных уравнений из уравнений с неизвестными: Матрица коэффициентов при неизвестных содержит строк и столбцов: Теорема Крамера. Если определитель отличен от нуля, то рассматриваемая система линейных уравнений определенная и ее единственное решение находится по формулам: где  - определитель, полученный из определителя заменой - ого столбца, т.е. столбца коэффициентов при неизвестной , на столбец свободных членов.▼ Пример Решить систему, заданную расширенной матрицей:  Решение.     Ответ:    ▲ |
Похожие:
 | Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение... | | Лекция № Методы решения систем линейных уравнений Мы будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений, а именно случай, когда т е число уравнений равно числу неизвестных.... |
| Тема Системы линейных уравнений Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x1, x2, , xn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство | | Системы линейных уравнений Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают... |
 | Линейных уравнений Линейные уравнения. Системы линейных уравнений. Разрешенная система линейных уравнений | | Начала линейной алгебры § Системы линейных уравнений Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x1, x2, , xn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство |
| Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» «Системы линейных уравнений» по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса факультета тэс | | Исследование системы линейных уравнений (неоднородной и однородной) через ранги основной и расширенной матриц Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы через обратную матрицу |
 | Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса Сведения из теории Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы линейных уравнений с несколькими неизвестными | | Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных) ... |