Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории



страница3/8
Дата08.10.2012
Размер0.86 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8

1.3. Включение
Теперь мы введем еще два отношения между множествами. Если А и В суть множества, то говорят, что А включено в В (символическая запись: AB), если каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае говорят также, что множество А есть подмножество множества В. Далее мы условимся считать выражение «В включает А» (символически: BA) синонимом для «A включено в В». Таким образом, как AB, так и BA означает, что для каждого х, если хA, то XВ. Множество А строго включено в В (символически: AВ), или, по-другому, В строго включает А, или А есть истинное подмножество В, если AB и А ≠ В. Например, множество четных чисел строго включено в множество Z целых чисел, а множество Q рациональных чисел строго включает Z.

Основные свойства отношения включения следующие:
XX;

XY и YZ влечет XZ;

XY и YX влечет X = Y.
Последнее из этих соотношений выражает в терминах отношения включения два шага в доказательстве равенства двух множеств: для того чтобы доказать, что X = Y, надо доказать, что ХY, а затем что YX.


Для отношения строгого включения справедлив аналог лишь одного из этих трех свойств — второго. Доказательство того, что XY и YZ влекут XZ, составляет предмет одного из упражнений в конце этого параграфа. Там же читатель найдет и другие свойства строгого включения, в том числе вытекающие из свойств отношения включения, частным случаем которого оно является.
[21]
Поскольку начинающие склонны смешивать отношения принадлежности и включения, мы при каждом удобном случае будем подчеркивать различия между ними. Заметим сразу же, что аналоги первых двух из перечисленных выше свойств отношения включения для отношения принадлежности не верны. Например, если X есть множество простых чисел, то XХ. Другой пример: хотя 1Z и Z{Z} не верно, что 1{Z}, так как единственный элемент множества {Z} — это множество Z.

Обратимся теперь к рассмотрению подмножеств какого-либо множества, т. е. множеств, включенных в некоторое множество. Образование новых множеств из уже имеющегося множества — процедура, играющая важную роль в теории множеств. Определять подмножества данного множества позволяет принцип абстракции. В самом деле, если Р (х) есть форма от х и А есть некоторое множество, то форма
XA и P(X)
определяет то множество, которое мы выше условились обозначать через {XA| P(X)}. Если А — произвольное множество, а в качестве Р (х) мы выберем х ≠ х, то результат будет {XA| XX} — это множество, очевидно, не имеет элементов. Из принципа объемности следует, что может быть только одно множество, не имеющее элементов. Мы будем называть это множество пустым множеством и обозначать его через
ɸ.
Пустое множество есть подмножество любого множества. Чтобы установить это, надо доказать, что если А есть произвольное множество, то каждый элемент множества ɸ есть элемент множества A. Поскольку ɸ не имеет элементов, это условие выполняется автоматически. Хотя такое рассуждение правильно, в нем есть нечто неудовлетворительное. Имеется и другое, косвенное доказательство, которое может оказаться более удобным. Допустим, что ɸA ложно. Это может быть лишь в том случае, если существует некоторый элемент множества ɸ, не являющийся элементом множества А. Но это невозможно, так как ɸ не имеет элементов. Значит, ɸA не является ложным, т. е. ɸA.

Каждое множество А ≠ ɸ имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и ɸ. Кроме того, каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А. Если аА, то {a}А. В некоторых случаях бывает нужно говорить не об отдельных подмножествах некоторого множества, а о множестве всех подмножеств этого множества. Множество всех подмножеств множества А называется
[22]
множеством-степенью множества А и обозначается через
P (A)

Таким образом, P (A) есть сокращенное обозначение для
{B| BA}.
Например, если A = {1, 2, 3}, то
P (A) = {А, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ɸ).
В качестве другого примера различия между отношениями принадлежности и включения мы отметим, что если BA, то В P (A)), а если аА, то {а} P (A).

Термин «множество-степень множества А» в качестве наименования множества всех подмножеств, множества А ведет свое происхождение от того случая, когда А есть конечное множество; в этом случае для А, состоящего из n элементов, P (A) имеет 2n элементов. Чтобы доказать это, рассмотрим следующую схему для описания подмножества В множества А = 1, ..., аn}: последовательность n нулей и единиц, первый член которой есть 1, если а1 В, и 0, если а1 В, второй член есть 1, если а2 В, и 0, если а2 В, и т. д. Ясно, что каждое подмножество множества А можно поставить в соответствие некоторой такой последовательности нулей и единиц; например, если n = 4, то 1, а3} определяет последовательность 1010 и само определяется ею.

Поскольку общее количество таких последовательностей равно 2*2*……*2 = 2n, число элементов множества P (A) также равно 2
Упражнения

1. Доказать каждое из следующих утверждений, используя необходимые свойства чисел.

(a) Z| для некоторого у х = 6у} = {хZ| для некоторых целых чисел u и v х = 2u и х = 3и};

(b) R| для некоторого действительного числа у х = Y2} = {XR| х≥0};

(c) {XZ| для некоторого целого числа у X = 6Y}{XZ| для некоторого целого числа у х = 2у}.

2. Доказать каждое из следующих утверждений для произвольных множеств А, В и С:

(a) Если AВ и ВС, то AС.

(b) Если АВ и ВС, то АС.

(с) Если АВ и BC, то AС.

(d) Если АВ и ВС, то АС.
[23]
3. Привести пример множеств A, В, С, D и E, удовлетворяющих одновременно следующим условиям: АВ, ВС, CD и DE.

4. Какие из следующих утверждений верны для всех множеств А, В и С?

(а) Если АВ и ВС, то AC.

(b) Если A ≠ В и В ≠ С, то А ≠ C.

(c) Если AВ и не верно, что BC, то AС.

(d) Если AВ и ВС, то не верно, что СA.

(e) Если AВ и ВС то AС.

5. Показать, что для любого множества A ɸA и что Aɸ тогда и только тогда, когда А = ɸ.

6. Пусть А1, A2, ..., Аn п множеств. Показать, что
A1 A2 ….. An A1
тогда и только тогда, когда
A1 = A2 = ... = An.
7. Привести несколько примеров таких множеств X, для которых каждый элемент множества X есть подмножество множества X.

8. Перечислить все элементы множества P (A) для множества A = {{1, 2}, {3}, 1}.

9. Для каждого положительного целого числа п указать пример такого множества An состоящего из п элементов, что для каждой пары элементов множества An один из элементов есть член другого.
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconПрограмма курса «Числовые системы»
Формальные и неформальные аксиоматические теории. Схема построения неформальной аксиоматической теории. Интерпретация и модель аксиоматической...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconМножества, отображения, логика
Это относится и к математике, которая имеет: содержание (что?), цель (для чего?) и технологию исследований (как?). Под содержанием...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории icon4. Введение в формальные (аксиоматические) системы 1 Формальные модели
Принципы построения формальных теорий. Аксиоматические системы, формальный вывод
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconВопросы к экзамену по теории множеств Основные понятия наивной теории множеств
Понятия множества, его элементов, пустого множества, конечного и бесконечного множеств
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории icon3 Начальные понятия теории графов Определение
Определение. Пусть и конечные множества,; отображение множества в множество одно и двухэлементных подмножеств множества. Тройку называют...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconМножества и операции со множествами. Понятие множества и мультимножества
Цель таких описаний отразить важнейшие (атрибутные) свойства множества, а именно: разли­чимость всех частей множества, неупорядоченность...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории icon2 Описание неопределенностей с помощью теории нечеткости 4 Нечеткие множества
Пусть a некоторое множество. Подмножество b множества a характеризуется своей характеристической функцией
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconЭвальд Васильевич Ильенков Диалектическая логика. Очерки истории и теории
«Ильенков Э. В. Диалектическая логика. Очерки истории и теории»: Политиздат; Москва; 1974
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Отображения. Функции Сведения из теории
Пусть даны некоторые множества и. Бинарное соответствие из в называется отображением множества в множество, если
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconСтановление теории множеств
Возникновение теории множеств (Г. Кантор). Множества конечные и бесконечные. Потенциальная и актуальная бесконечности. Парадоксы...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org