Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории



страница4/8
Дата08.10.2012
Размер0.86 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8

1.4. Операции над множествами
Продолжая описание методов получения новых множеств из уже существующих, мы опишем два метода, при помощи которых из двух множеств строится новое множество. Эти так называемые операции над множествами в некоторых отношениях аналогичны операциям сложения и умножения целых чисел. Объединение. (соединение, сумма) множеств A и В (обозначается через AВ; AВ читается как «объединение А и В» или «A чашка В») есть множество всех предметов, которые являются элементами множества A или В; иными словами,
АВ = {х| хА или XВ}.
Здесь подразумевается неисключающий смысл слова «или»
[24]
Таким образом, по определению х AB тогда и только тогда, когда х есть элемент хотя бы одного из множеств A и B. Например,
{1, 2, 3}{1, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}.
Пересечение (произведение) множеств A и B(обозначается через AВ; А В читается как «пересечение А и В» или «A крышка B») есть множество всех предметов, являющихся элементами обоих множеств А и В; иными словами:

АВ = {х| хА и XВ}.
Таким образом, по определению хАВ тогда и только тогда, когда XA и хВ. Например,
{1, 2, 3}{1, 3, 4}-{1, 3}.

Предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что для всякой пары множеств А и В имеют место следующие включения:
ɸАВААВ
Два множества А и В называются непересекающимися (или расчлененными), если АВ= ɸ, и пересекающимися, если АВ≠ ɸ. Система множеств называется расчлененной, если любая пара ее различных элементов является непересекающейся. Разбиением множества X мы будем называть такую расчлененную систему U непустых и различных подмножеств множества Х, что каждый элемент множества X является в то же время элементом некоторого (а следовательно, в точности одного) элемента системы U. Например, {{1, 2}, {3}, [4, 5}} Есть разбиение множества {1, 2, 3, 4, 5}.

Следующая операция — операция перехода к дополнению — позволяет образовать новое множество из одного ранее существовавшего множества. Абсолютное дополнение множества А (обозначается через Ā) — это не что иное, как множество {х|хА}. Относительное дополнение множества А до множества X — это множество ХĀ; оно обычно обозначается через Х - А, что читается как «Х минус А». Таким образом, Х - А есть сокращение для
{XX\XA},
т. е. для множества тех элементов множества X, которые не являются элементами множества А.
[25]

Симметрическая разность множеств А и В, обозначаемая через А+В, определяется следующим образом:
А+В=(А-В)(В-А).
Эта операция14 коммутативна [А+B=В+А] и ассоциативна [(А+В)+С=А+(В+С)]. Кроме того, А+А=ɸ и А+ɸ. Доказательства этих утверждений предоставляются читателю.

Если все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество U называют универсальным множеством (для этого рассуждения15). Например, для элементарной арифметики универсальным множеством служит Z, а для аналитической геометрии плоскости — множество всех упорядоченных пар действительных чисел. Для графической иллюстрации отношений, которые могут иметь место между подмножествами какого-либо универсального множества U, часто используют так называемые диаграммы Венна. Диаграмма Венна представляет собой схематическое изображение множеств в виде точечных множеств: универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника, а его подмножество А — в виде круга или какой-нибудь другой простой области внутри этого прямоугольника16. Дополнение множества А (до U), которое мы можем, не опасаясь двусмысленности, обозначать через Ā, изображается в таком случае той частью прямоугольника, которая лежит за пределами круга, изображающего А (рис.1). Если изобразить таким образом какие-нибудь множества А и В, являющиеся подмножествами множества U, то множества АВ и АВ изображаются областями, заштрихованными, соответственно, на рисунках 2 и 3. Непересекающиеся множества изображаются неперекрывающимися областями, а включение множеств соответствует тому обстоятельству, что одна из областей на диаграмме Венна целиком лежит внутри другой. Построение диаграммы Венна для сложного выражения, составленного из нескольких множеств посредством объединения, пересечения,
[26]
дополнения и включения, осуществляется комбинированием описанных способов построения диаграмм для этих составных частей. Диаграммы Венна применяются главным образом для упрощения некоторого данного сложного выражения или совокупности условий на подмножества универсального множества. Ниже мы приведем три простых примера


Рис. 1 . Рис. 2. Рис. 3.

заштриховано АВ заштриховано AB заштриховано
такого рода. Во многих случаях такие диаграммы оказываются недостаточными, но их использование все же может помочь при освоении алгебраического подхода, развиваемого в следующем параграфе.

Примеры

1. Пусть А и В — два таких множества, что А-В=В-А= ɸ.

Можно ли выразить отношение между А и В более простым образом?


Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
Поскольку А-В= ɸ означает, что А=ɸ, области, представляющие А и на диаграмме Венна (рис. 4), не перекрываются. Очевидно,

, так что мы получаем АВ (рис. 5). И обратно, если АВ, то, очевидно, А-В=ɸ. Мы приходим к выводу, что А-В =ɸ равносильно АВ. Поменяв ролями А и В, мы получим, что В-А=ɸ равносильно ВА. Таким образом, заданные отношения между А и В равносильны тому, что АВ и BA, т. е. А = В.

2. Рассмотрим вопрос, можно ли указать три таких подмножества А, В и С универсального множества U, для которых одновременно имели бы место следующие соотношения:
С ≠ ɸ, А В ≠ ɸ, (А В)-С= ɸ.

A B = ɸ
Таб.1
[27]
Из второго условия вытекает, что А и В пересекаются, из чего, кстати, следует, что оба они непусты. Согласно примеру 1 четвертое условие равносильно тому, что AВС, из чего видно, что первое условие является излишним. С помощью диаграммы Венна легко убедиться, что А и С пересекаются, т. е. что второе и четвертое условия противоречат третьему. Следовательно, множеств, одновременно удовлетворяющих всем приведенным условиям, не существует.

3. Пусть F, G и L — такие подмножества множества U, что
FG, G L F, LF=ɸ.
Можно ли на самом деле найти такие множества F, G и L, которые удовлетворяли бы этой совокупности условий? Диаграмма Венна (рис. 6) иллюстрирует только первое и третье условия. Но теперь из второго условия следует, что L и G не могут пересекаться, так что GL=ɸ. С другой стороны, если FG и GL=ɸ, то выполняются все заданные условия. Таким Образом, данная система условий может быть сведена к более простой: FG и GL=ɸ.
Упражнения
Замечание. В упражнениях 1 — 8 надо обойтись без использования диаграмм Венна.

1. Доказать, что для любых множеств А и В верно ɸ АВАВ.

2. Пусть универсальным множеством служит Z и пусть
A={XZ} для некоторого положительного целого числа у х = 2у},

В = {хZ} | для некоторого положительного целого числа у х = 2у — 1}.

C = {XZ| X<10}.
Опишите множества , , , А и C - В) словесно или с помощью определяющего свойства.

3. Рассмотрим следующие подмножества множества целых положительных чисел Z +:
A = {XZ+| для некоторого целого числа у х = 2у},

B = {XZ+| для некоторого целого числа у х = 2у+1},

С = {XZ+| для некоторого целого числа у х = 3у}.
(а) Опишите АС, ВС и В — С.

(b) Проверьте, что АС) = (АВ) С).
[28]
4. Пусть A — произвольное множество. Что представляют собой следующие множества: Аɸ, Аɸ, А — ɸ, А — А, ɸ — А?

5. Определите: ɸ{ɸ}, {ɸ}{ɸ}, {Ф, {Ф}} - ɸ, {ɸ, {ɸ}} — {ɸ}, {ɸ, {ɸ}} - {{ɸ}}.

6. Пусть А и В — подмножества множества U. Покажите, что для каждой приведенной ниже системы соотношений (а), (b) и (с) из справедливости одного соотношения системы вытекает справедливость всех других соотношений данной системы:
(a) АВ, , AВ = В, АВ = А;

(b) АВ = ɸ, А, B;

(c) AB = U, B, В.
7. Докажите, что для произвольных множеств А, В и С
В) С = A(BС) равносильно CA.
8. Докажите, что для произвольных множеств А, В и С
(A — B) —С = (A —С) — (В — С).
9. (а) Постройте диаграмму Венна, соответствующую симметрической разности А - В множеств А и В;

(b) с помощью диаграммы Венна покажите коммутативность и ассоциативность операции симметрической разности;

(c) покажите, что для любого множества А А — А = ɸ, A+ɸ = A.

10. На диаграмме Венна для подмножеств А, В и С универсального множества U прямоугольник, соответствующий U, разбивается, вообще говоря, на восемь неперекрывающихся областей. Укажите, какие комбинации множеств A, В и С соответствуют каждой из этих областей.

11. С помощью диаграмм Венна исследуйте вопрос о справедливости каждого из следующих рассуждений:
(a) Если А, В и С — такие подмножества множества U, что AB и ACB, то AС = ɸ,

(b) Если A, В и С — такие такие подмножества множества U, что A и B
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconПрограмма курса «Числовые системы»
Формальные и неформальные аксиоматические теории. Схема построения неформальной аксиоматической теории. Интерпретация и модель аксиоматической...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconМножества, отображения, логика
Это относится и к математике, которая имеет: содержание (что?), цель (для чего?) и технологию исследований (как?). Под содержанием...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории icon4. Введение в формальные (аксиоматические) системы 1 Формальные модели
Принципы построения формальных теорий. Аксиоматические системы, формальный вывод
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconВопросы к экзамену по теории множеств Основные понятия наивной теории множеств
Понятия множества, его элементов, пустого множества, конечного и бесконечного множеств
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории icon3 Начальные понятия теории графов Определение
Определение. Пусть и конечные множества,; отображение множества в множество одно и двухэлементных подмножеств множества. Тройку называют...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconМножества и операции со множествами. Понятие множества и мультимножества
Цель таких описаний отразить важнейшие (атрибутные) свойства множества, а именно: разли­чимость всех частей множества, неупорядоченность...
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории icon2 Описание неопределенностей с помощью теории нечеткости 4 Нечеткие множества
Пусть a некоторое множество. Подмножество b множества a характеризуется своей характеристической функцией
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconЭвальд Васильевич Ильенков Диалектическая логика. Очерки истории и теории
«Ильенков Э. В. Диалектическая логика. Очерки истории и теории»: Политиздат; Москва; 1974
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Отображения. Функции Сведения из теории
Пусть даны некоторые множества и. Бинарное соответствие из в называется отображением множества в множество, если
Роберт столл множества. Логика. Аксиоматические теории iconСтановление теории множеств
Возникновение теории множеств (Г. Кантор). Множества конечные и бесконечные. Потенциальная и актуальная бесконечности. Парадоксы...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org