М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова



Дата08.10.2012
Размер76.6 Kb.
ТипДокументы


УДК 511.84; 511.172; 515.171; 681.325.53
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова,

Ю. Е. Бояринова

Институт проблем регистрации информации НАН Украины

ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина

Новые применения гиперкомплексных

квадриплексных чисел. Часть 1
Рассмотрены новые применения квадриплексных чисел в таких важных областях как криптография с открытым ключом и цифровая фильтрация сигналов.

Ключевые слова: квадриплексные числа, криптография, алгоритм RSA, конечные поля.


Постановка проблемы


В работе будут рассматриваться новые практические применения квадриплексных гиперкомплексных чисел. Это большие вопросы, которые требуют длительной и тщательной разработки и поэтому приводимые ниже материалы носят постановочный характер и определяют пути дальнейших исследований. При этом данные материалы не претендуют на полноту и завершенность. Учитывая новизну самого аппарата гиперкомплексных числовых систем, в начале статьи будут даны сведения по системе квадриплексных чисел, а затем в двух частях будут рассматриваться применения этих чисел в криптографии и цифровой фильтрации.

О системе квадриплексных чисел.

Рассмотрим структуру и свойства квадриплексных чисел [1–3]. Пусть — комплексные числа. Представим коммутативное расширение комплексных чисел с помощью комплексных чисел, т.е. систему чисел вида со следующими законами сложения и умножения:


Получаем, что . Числа такого вида называют квадриплексными числами.

© М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова

Алгебра квадриплексных чисел является алгеброй четвертого порядка над полем действительных чисел. В качестве базисных элементов можно взять элементы . Тогда таблица умножения для базисных элементов имеет вид





1

gif" name="object9" align=absmiddle width=14 height=18>





1

1











–1











–1











1


Алгебра квадриплексных чисел является коммутативной, что можно увидеть из таблицы.

В алгебре существуют делители нуля.

Пусть и . Это равносильно системе


где Отсюда получаем, что

Так как в поле комплексных чисел нет делителей нуля и по предположению , то
(*)
Пусть

Тогда уравнение (*) равносильно системе


решения которой
1) 2)
Таким образом, делители нуля в алгебре имеют вид

В кольце К выполнима операция деления, если только делитель не является нулем или делителем нуля


где и не является делителем нуля.

Таким образом, для любого квадриплексного числа , которое не является нулем или делителем нуля, существует такое число , что Назовем это число обратным к и обозначим . Тогда:


Для любого квадриплексного числа введем сопряженные к нему числа:



Произведение их




есть неотрицательное действительное число. Назовем его нормой квадриплексного числа и запишем в виде

Норма равна нулю тогда и только тогда, когда равно нулю или является делителем нуля.

Пример применения квадриплексных чисел

в криптографии



Анализ последних достижений и публикаций

Одним из важнейших видов защиты информации является ее шифрование. Некоторые алгоритмы шифрования основаны на том, что сам метод шифрования (алгоритм) является секретным. Ныне такие методы представляют лишь истори-ческий интерес и не имеют практического значения. Все современные алгоритмы используют ключ для шифрации и дешифрации; сообщение может быть успешно дешифровано, только если известен ключ. Ключ, используемый для дешифрации, может не совпадать с ключом, используемым для шифрования, однако в большинстве алгоритмов ключи совпадают.

Алгоритмы с использованием ключа делятся на два класса: симметричные (или алгоритмы с секретным ключом) и асимметричные (или алгоритмы с открытым ключом). Разница в том, что симметричные алгоритмы используют один и тот же ключ для шифрования и для дешифрования (или же ключ для дешифровки просто вычисляется по ключу шифровки), в то время как асимметричные алгоритмы используют разные ключи, и ключ для дешифровки не может быть вычислен по ключу шифровки.

Асимметричные шифры (также именуемые алгоритмами с открытым ключом, или — в более общем плане — криптографией с открытым ключом) допускают, чтобы открытый ключ был доступен всем (скажем, опубликован в газете). Это позволяет любому зашифровать сообщение. Однако расшифровать это сообщение сможет только нужный человек (тот, кто владеет ключом дешифровки). Ключ для шифрования называют открытым ключом, а ключ для дешифрования закрытым ключом или секретным ключом

Несмотря на довольно большое число различных криптографических систем, наиболее популярна криптосистема RSA, разработанная в 1977 году и получившая название в честь ее создателей: Рона Ривеста, Ади Шамира и Леонарда Эйдельмана. RSA является криптосистемой с открытым ключом [4].

Цель статьи

Целью данной статьи является изучение и использование аналогии разложения в традиционном алгоритме RSA и разложение в представлении квадриплексного числа для целей уменьшения длины ключа и повышения устойчивости алгоритма.

Результаты исследований

Как уже было отмечено, алгоритм RSA является криптосистемой с открытым ключом, основанной на сложности разложения чисел на множители. Пользователь выбирает два больших простых числа и , и вычисляет . Затем он выбирает относительно маленькое случайное число е, удовлетворяющее условию

и не имеющее общих делителей кроме 1 с числом , и вычисляет

Числа и больше не используются; и формируют открытый ключ доступа а и — секретный ключ.

Далее идет процесс шифрования. Есть исходное сообщение . Зашифрованное сообщение создается следующим образом:

Исходное сообщение получается из зашифрованного так




Если бы существовали эффективные методы разложения на сомножители, то разложив на множители можно было бы получить секретный ключ . Таким образом, надежность криптосистемы RSA основана на трудноразрешимой задаче разложения на множители.

Гиперкомплексные числа являются линейной комбинацией и , где



Когда –1 является квадратичным остатком , мы получаем ситуацию, которая аналогична ситуации в кольце целых чисел [5]. Возьмем, например,

Достаточно очевидно, что кольцо коммутативно. Двумя самыми маленькими целыми числами, чьи квадраты конгруэнтны являются

Вычислим

и выясним, какие гиперкомплексные свойства сохраняются:
,
,
,
.
Если не является квадратичным остатком , тогда все описанное здесь остается в силе, но отличается на постоянный алгебраический множитель чисел и .

Например, когда , тогда
.
Таким образом, имеем:
,
,
,
и


Выводы


Из приведенных материалов следует, что видна аналогия построения алгоритма RSA в структуре и структуре квадриплексного числа. Это дает основание предполагать, что применение квадриплексных чисел будет эффективным для криптографической практики.

Рассмотренным выше примером завершается материал первой части статьи. Пример применения квадриплексных чисел в цифровой фильтрации будет рассмотрен в следующей статье.


  1. Синьков М.В., Губарени Н.М. Непозиционные представления в многомерных числовых системах. — К.: Наук. думка, 1979. — 138 с.

  2. Davenport C. Commutative Hypercomplex Mathematics. On line: http://home.usit.net/%7
    Ecmdaven/hyprcplx.htm. — 2000.

  3. Калиновский Я.А. Исследование свойств изоморфизма квадриплексных и бикомплексных числовых систем // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2003. — Т. 5, № 1. — С. 69–73.

  4. Молдовян А.А., Молдовян Н.А., Советов Б.Я. Криптография. — Санкт-Петербург: Лань, 2001. — 224 с.

  5. Stay M. Hypercomplex numbers and RSA. — On line: www.xaim.com/staym/ hypercomplexrsa.html.

Поступила в редакцию 13.06.2003

34

Похожие:

М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова iconМ. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, Т. В. Синькова
Целью работы является повышение эффективности моделирования различных процессов, описываемых такими дифференциальными уравнениями...
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова iconМ. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
Рассмотрены алгоритмы проведения арифметических и алгебраических операций, построение таких нелинейностей как экспонента, тригонометрические...
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова iconЯ. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова
Рассмотрено построение логарифмической функции от кватерниона. Предложен вывод основного выражения и сопоставление с логариф-мом...
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова iconМ. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, П. В. Трубников
Одним из методов защиты информации является метод, близкий к криптографии с открытым ключом, который сводится к задаче сохранения...
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова iconЯ. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова
Целью данной работы является исследование возможности построения со-пряженных элементов в различных гиперкомплексных числовых системах,...
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова iconМ. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
Изучены особенности алгоритмов выполнения линейных и нелинейных операций в системе обобщенных комплексных чисел. Успешное решение...
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова iconРедкоземельные элементы в щелочно-карбонатных метасоматитах северного урала
А. В. Калиновским (Калиновский, 1990; Калиновский, Суханов, 1985). Эти образования были отнесены им к полевошпатовым метасоматитам...
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова iconЮ. Е. Бояринова, П. В. Трубников
Рассмотрена возможность использования двойных чисел для решения задачи разделения секрета
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова iconПетр Калиновский
Издание православного братства во имя Воздвижения Честного и Животворящего Креста Господня
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова iconА. В. Смирнов, К. Б. Калиновский
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org