Урок №4 1 Тема Арифметические операции в позиционных системах счисления. Сложение и вычитание

Скачать 79.13 Kb.

Дата	26.07.2014
Размер	79.13 Kb.
Тип	Урок

УРОК №4_1

Тема

Арифметические операции в позиционных системах счисления. Сложение и вычитание.

Цель урока: показать способы арифметических операций (сложения и вычитания) чисел в разных системах счисления.

Задачи урока:

образовательные: практическое применение изученного материала, закрепление знаний о способах арифметических операций (сложения и вычитания) чисел в разных системах счисления.
развивающие: развитие навыков индивидуальной практической работы, умения применять знания для решения примеров.
воспитательные: достижение сознательного усвоения материала учащимися.

Материалы и оборудование к уроку: презентация, карточки с таблицами сложения и вычитания, программа NumLock.exe.

Тип урока: комбинированный урок

Форма проведения урока: индивидуальная, фронтальная.

План урока:

1. Разбор самостоятельной работы.

2. Новый материал.

3. Решение примеров.

4. Домашнее задание.

Ход урока

Разбор самостоятельной работы.

Самостоятельная работа (средний уровень)

по теме «Системы счисления».

Ответы.

Вариант 1.

Выпишите алфавит 5-ричной системы счисления. (0, 1, 2, 3, 4)
Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа:
10, 21, 201, 1201? (минимальное основание системы счисления равно 3)
Переведите:
1. 321₈А₁₀
2. 101,11₂А₁₀
3. 345₁₀А₅
4. 98₁₀А₂

Ответ:a =209; b =5,750; с=2340; d =1100010

В какой системе счисления справедливо равенство: 2х2=10?

Решение:

Предположим, что основание системы счисления равно P. Тогда данное равенство можно записать следующим образом:

2∙Р⁰∙2∙Р⁰=1∙Р+0∙ Р⁰

4=Р

Ответ: основание системы счисления равно 4

Какое число предшествует числу 10₈ в 8-ричной системе счисления.

Ответ: числу 10 в восьмеричной системе счисления предшествует число 7.

Самостоятельная работа

по теме «Системы счисления».

Вариант 2.

Выпишите алфавит 9-ричной системы счисления.
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8)
Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа:
403, 561, 666, 125?

(минимальное основание системы счисления равно 7)

Переведите:
1. 131₄А₁₀
2. 125,34₆А₁₀
3. 234₁₀А₂
4. 142₁₀А₄

Ответ:a =29; b = 53,6(11); с=11101010; d = 2032

В какой системе счисления справедливо равенство: 2х3=11.

Решение:

2∙Р⁰∙3∙Р⁰=1∙Р+1∙ Р⁰

6=Р+1 Р=5

Ответ: основание системы счисления равно 5

Какое число предшествует числу 10₉ в 9-ричной системе счисления.

Ответ: числу 10 в девяти-ричной системе счисления предшествует число 8.

2. Новый материал

Арифметические операции в позиционной системе счисления.

1. Сложение чисел в двоичной системе счисления.

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел.

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Рассмотрим арифметические действия в двоичной системе счисления. Сначала отметим, что 1₂+1₂=10₂. Почему?

Во-первых, вспомним, как в привычной десятичной системе счисления появилась запись 10. К количеству, обозначенному старшей цифрой десятичного алфавита 9, прибавляем 1. Получается количество, для обозначения которого одной цифрой в алфавите цифр уже не осталось. Приходится для полученного количества использовать комбинацию двух цифр алфавита, то есть представлять данное количество наименьшим из двухразрядных чисел: 9₁₀+1₁₀=10₁₀.

Какое другое объяснение можно дать?

Другое объяснение можно дать такое (мы уже говорили об этом на прошлых уроках): переполнение младшего разряда числа происходит, когда числовое значение младшего разряда равно или больше основанию системы счисления. Для исключения переполнения это числовое значение (равное основанию системы счисления) ( в виде 1) из младшего разряда переправляют в старший разряд.

Аналогичная ситуация складывается в случае двоичной системы счисления. Здесь количество, обозначенное старшей цифрой 1₂двоичного алфавита, увеличивается на единицу. Чтобы полученное количество представить в двоичной системе счисления, также приходится использовать два разряда. Для наименьшего из двухразрядных чисел здесь тот же единственный вариант: 10₂. Во-вторых, важно понять, что 10₂ и 10₁₀ разные вещи. Строго говоря, в двоичной системе счисления это и читать надо не “десять”, а “один ноль”. Верным является соотношение 10₂ = 2₁₀. Здесь слева и справа от знака равенства написаны разные обозначения одного и того же количества. Это количество просто записано с использованием алфавитов разных систем счисления – двоичной и десятичной. Вроде, как мы на русском языке скажем “яблоко”, а на английском про тот же предмет – “apple”, и будем правы в обоих случаях.

Пример 1. Выполните сложение чисел в двоичной системе счисления:
10            0000000000000010
+11         + 0000000000000011
101         0000000000000101

Показать, что под целое число отводится 16 разрядов.

При сложении чисел надо обязательно проговаривать алгоритм сложения. Следует учитывать, что сложение, как обычно, нужно начинать с младшего разряда. Если сумма единиц разряда окажется равной или большей основания системы счисления, то возникает перенос единицы в старший разряд. После сложения, cледует обязательно сделать обратный перевод и убедиться, что число 101 — действительно число 5 в десятичной системе счисления.

2. Вычитание двоичных чисел.

-	0	1
0	0	¯11
1	1	0

Исходя из того, что вычитание есть действие, обратное сложению, запишем правило арифметического вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления:

0 – 0=0; 1 – 0=1; 1 – 1=0; 10 – 1=1.

Используя это правило, можно проверить правильность произведенного выше сложения вычитанием из полученной суммы одного из слагаемых. При этом, чтобы вычесть в каком-либо разряде единицу из нуля, необходимо “занимать” недостающее количество в соседних старших разрядах (так же, как в десятичной системе счисления поступают при вычитании большего числа из меньшего).

Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде.

Пример 2. Рассмотрим несколько примеров вычитания двоичных чисел:

А)

1011

- 111

100
Б) 11 -1011 = - (1011 – 11) = -1000

В) 1011 1001,1

-1000 1101,1

1010 1100,0

Пример 3.

Вычислить (закрепление сложения):

Запись на доске:
           1110          0000 0000 0000 1110
         +1001      +1111 1111 1111 0111
         10111        10000 0000 0000 0101

Если считать на старой ЭВМ (16-разрядное представление числа), так как под целое число отводилось 16 разрядов, то старшая единица терялась.

Ответ получается не верен 101.

В современных компьютерах 64 - разрядное представление. Если попробовать произвести сложение двоичных чисел с 64 мя разрядами в ответе будет 0 или не верное число (переполнение) потеряется 1 старшего разряда.
3. Таблицы сложения в других системах счисления.

Таблицы сложения в других системах счисления легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатеричной системе

ПРАВИЛО

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
3.Решение примеров.

Пример 4. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления (в десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной) не пользуясь таблицами.

Переведем числа 15 и 6 в двоичную систему счисления.

15: 2=7 (ост. 1); 7:2=3 (ост. 1); 3:2=1 (ост. 1)

15₁₀= 1111₂

6₁₀=110₂

(С целью экономии времени, можно брать данные из таблицы чисел, не переводя)

Шестнадцатеричная: F₁₆+6₁₆

Ответ: 15+6 = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈ = 15₁₆.
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
10101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1=21,
25₈ = 2^.8¹ + 5^.8⁰ = 16 + 5 = 21,
15₁₆ = 1^.16¹ + 5^.16⁰ = 16+5 = 21.

Проверку можно организовать, используя таблицы

Пример 5. Сложим числа 141,5 и 59,75 в различных системах счисления (в десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной) не пользуясь таблицами.

Решение:

Сначала организуем перевод чисел, потом сложим.

Если учащиеся уяснили алгоритм сложения и перевод в 10 систему счисления, то в 10-ной системе счисления арифметические операции можно не проводить.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆
Проверка (не обязательна). Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25
311,2₈ = 3^.8² + 18¹ + 1^.8⁰ + 2^.8^-1 = 201,25
C9,4₁₆ = 12^.16¹ + 9^.16⁰ + 4^.16^-1 = 201,25

4. В ы ч и т а н и е

П
15
ример 6. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Пример 7. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Пример 8. Вычтем число 59,75 из числа 201,25. (числа взяты из примера 5)

Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.
Проверка (не обязательна). Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;
215,4₈ = 2^.8² + 1^.8¹ + 5^.8⁰ + 4^.8^-1 = 141,5;
8D,8₁₆ = 8^.16¹ + D^.16⁰ + 8^.16^-1 = 141,5.

Проверку ответов можно организовать с помощью программы NumLock.exe

4. Домашнее задание:

1. Подготовиться к самостоятельной работе, знать правила сложения и вычитания, правила перевода чисел.

2. № 2.41 (1 и 2 столбик), практикум, стр. 55

3. №2.48 (стр. 56)

Литература:

Информатика. Задачник-практикум в 2 т. /Под ред. И.Г. Семакина, Е.К. Хеннера: Том 1. – Лаборатория Базовых Знаний, 1999 г. – 304 с.: ил.
Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений / Н.Д. Угринович, Л.Л. Босова, Н.И. Михайлова. – М.: Бином. Лаборатория Знаний, 2002. 400 с.: ил.
Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.
Шауцукова Л.З. Информатика: Учебн. Пособие для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений.–М.:просвещение, 2003.9-с. 93-95.

Урок №4 1 Тема Арифметические операции в позиционных системах счисления. Сложение и вычитание

Похожие: