Лекции 32 часа Экзамен нет практические(семинарские) занятия
|
Скачать 43.51 Kb.
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет) УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский ____________________2008 г. П Р О Г Р А М М А по курсу: ОБЩАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ по направлению 511600 факультет ФНТИ кафедра МАТЕМАТИКИ ФНТИ курс II семестр 4 лекции 32 часа Экзамен нет практические(семинарские) занятия 32 часа Зачет 4 семестр лабораторные занятия – нет Самостоятельная работа 2 часа в неделю Всего часов 64 Программу составил д.ф.-м.н., проф. А.А. Тужилин Программа обсуждена на заседании кафедры Математики ФНТИ 25 декабря 2007 года Заведующий кафедрой С.Ю. Доброхотов 1. Общая топология1.1. Топологические пространства, индуцированная топология, топология декартова произведения, топология несвязной суммы, склейки из квадрата. Непрерывные отображения, гомеоморфизмы. 1.2. Связность и компактность. 2. Многообразия2.1. Многообразия, карты, атласы, отображения склейки. Гладкие многообразия. Примеры(многообразия, заданные уравнениями, матричные группы SO(n), SU(n), проективные пространства). Физическая интерпретация. 2.2. Гладкие функции на многообразиях, многообразия с краем, гладкие отображения гладких многообразий, диффеоморфизмы. 2.3. Касательные векторы, касательные пространства. Дифференциал отображения, погружения и вложения. Теорема Уитни (формулировка). Примеры вложений и погружений. 2.4. Риманова метрика на многообразии, метрика, индуцированная погружением в риманово многообразие, теорема о существовании римановой метрики на замкнутом многообразии, изометричные погружения римановых многообразий, изометричные многообразия. 2.5. Ориентируемые многообразия. Примеры ориентируемых и неориентируемых многообразий. Ориентируемость края компактного ориентируемого многообразия 3. Тензорные поля на многообразиях.3.1. Тензор как полилинейное отображение. Тензорное поле на многообразии. Алгебраические операции над тензорными полями. Симметричные и кососимметричные тензорные поля. Кососимметрические тензоры максимального ранга. Их связь с римановым объемом на многообразии. 3.2. Внешние дифференциальные формы. Замкнутые и точные формы. Когомологии де Рама. Примеры их вычисления. 3.3. Векторные поля. Замкнутые и точные формы на плоскости, в пространстве. Бездивергентные, потенциальные, безвихревые и соленоидальные векторные поля, их связь с дифференциальными формами. Лемма Пуанкаре. 3.4. Общее определение операции ``звездочка’’ (Ходжа) на дифференциальных формах. Свойства операции ``звездочка’’. Примеры операции ``звездочка’’ на плоскости и в пространстве. Интеграл внешней формы по многообразию. Формулировка теоремы Стокса. 3.5. Частные случаи формулы Стокса на плоскости и в трехмерном пространстве (классические формулы Грина, Стокса, Остроградского—Гаусса; теорема о вычетах; старшие когомологии замкнутого ориентируемого многообразия). 3.6. Введение ковариантного дифференцирования (связности) в криволинейных координатах в евклидовом пространстве. Символы Кристоффеля. Вычисление явного вида ковариантной производной на векторах, ковекторах и линейных операторах в криволинейных координатах в евклидовом пространстве. 3.7. Общее определение аффинной связности = ковариантного дифференцирования на гладком многообразии. Символы Кристоффеля, тензор кручения, симметричные связности. Алгебраические свойства ковариантного дифференцирования. Римановы связности. Формулировка теоремы существования и единственности римановой связности. 3.8. Параллельный перенос в аффинной связности. Уравнение параллельного переноса. Геодезические. Параллельный перенос в римановой связности. Перенос вдоль геодезических. Двумерный случай. Геодезические на плоскости, сфере, плоскости Лобачевского. 3.9. Тензор кривизны Римана. Алгебраические свойства тензора кривизны. 3.10. Тензор Риччи, скалярная кривизна. Теорема о связи скалярной и гауссовой кривизн двумерной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. 4. Степень гладкого отображения.4.1. Критические и регулярные значения гладкого отображения. Теорема Сарда (без доказательства). Степень гладкого отображения. Инвариантность степени относительно гомотопии. Примеры. 4.2. Степень отображения и интегралы от внешних форм максимальной степени (без доказательства). Степень гауссова отображения. Теорема Гаусса-Бонне. Индекс векторного поля и степень отображения. Индекс особой точки. Невырожденные касательные векторные поля на сферах. Теорема Брауэра о неподвижной точке. 5. Элементы симплектической геометрии.5.1. Симплектическая геометрия. Фазовые пространства механических систем. Координаты Дарбу. Гамильтоновы векторные поля и гамильтоновы системы. Лагранжевы многообразия и их свойства. Интегрируемые гамильтоновы системы. Примеры из физики и механики. В курсе предусмотрено 2 контрольных работы 1-я контрольная - по общей топологии и общей теории многообразий, 2-я - по тензорному анализу на многообразиях. По каждому вопросу дается домашнее задание, которое обсуждается на следующем семинарском занятии. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: изд-во Факториал пресс, 2000. 2. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2001. Усл. печ. л. Тираж |
Похожие:
 | Лекции 32 часа Экзамен нет практические (семинарские ) занятия 32 часа Диф зачет 4 семестр Асимптотические обозначения (O, Ω, θ, o, ω) и их свойства (транзитивность, рефлексивность, симметричность, обращение) | | Лекции 32 часа Экзамен нет практические(семинарские) занятия Различные формы интерполяционного многочлена, оценка погрешности интерполяции на отрезке |
| Лекции 34 часа Экзамен нет практические ( семинарские ) занятия 34 часа Диф зачет 7 семестр Микроскопическое (динамическое и статистическое) и макроскопическое (гидродинамическое и феноменологическое) описание физических... | | Лекции 32 часа Экзамен нет практические(семинарские) занятия Представления групп. Неприводимые и точные представления. Эквивалентные представления. Примеры |
| Лекции 34 часа Экзамен 9 семестр практические (семинарские) занятия 34 часа Зачет нет Одномерные решетчатые системы. Теорема об отсутствии фазовых переходов при в системах малой размерности (одномерных и двумерных)... | | Лекции 34 часа Экзамен 9 семестр практические (семинарские) занятия 34 часа Зачет нет Термодинамическая теория возмущений Представление Мацубары. Температурные функции Грина. Диаграммная техника для ферми- и бозе-операторов.... |
| Лекции 34 часа Экзамен 9 семестр практические (семинарские) занятия 34 часа Зачет нет Триадная кривая Коха как детерминистический аналог. Фрактальная размерность. Определение размерности Минковского методом подсчета... | | Лекции 32 часа Экзамен 8 семестр практические (семинарские) занятия 32 часа Зачет нет Кинетическое уравнение Больцмана для одноатомных газов. Свойства интеграла столкновений. Вывод уравнений гидродинамики и уравнений... |
| Лекции 32 часа Экзамен 8 семестр практические(семинарские) занятия В курсе предусмотрены 3 домашних задания (номера даны по задачнику [3] в списке литературы) и 3 контрольные работы | | Лекции 32 часа Экзамен нет практические (семинарские) занятия 32 часа Диф зачет II семестр Примеры групп. Циклические группы. Аддитивная группа вычетов по модулю n. Группа перестановок (симметрическая группа). Цикловое разложение... |