Предисловие
|
3
|
Список используемых обозначений
|
5
|
ЧАСТЬ I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
|
|
Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
|
7
|
1. Линейная алгебра
|
7
|
1.1. Определители, их свойства
|
10
|
1.2. Системы линейных алгебраических уравнений, их совместность, определенность. Методы Гаусса и Крамера
|
13
|
1.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ
|
17
|
2. Векторная алгебра
|
21
|
2.1. Векторы и линейные операции над ними
|
24
|
2.2. Базис в пространстве и на плоскости
|
27
|
2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства
|
29
|
2.4. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки
|
30
|
2.5. Скалярное произведение векторов
|
32
|
2.6. Векторное произведение векторов
|
34
|
2.7. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов
|
36
|
2.8. Линейное пространство. Евклидово пространство R
|
37
|
2.9. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы. Квадратичные формы R"
|
41
|
2.10. Применение методов алгебры в математическом моделировании
|
47
|
3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве: прямая и плоскость
|
52
|
3.1. Прямая на плоскости
|
54
|
3.2. Плоскость в пространстве
|
57
|
3.3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости
|
61
|
4. Аналитическая геометрия на плоскости: кривые 2-го порядка
|
65
|
4.1. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Окружность
|
67
|
4.2. Эллипс
|
68
|
4.3. Гипербола
|
69
|
4.4. Парабола
|
71
|
4.5. Преобразования параллельного переноса и поворота системы координат. Упрощение уравнений кривых 2-го порядка
|
72
|
5. Аналитическая геометрия в пространстве: поверхности 2-го порядка
|
76
|
5.1. Цилиндрические поверхности
|
78
|
5.2. Конус 2-го порядка
|
79
|
5.3. Эллипсоид
|
80
|
5.4. Гиперболоиды
|
81
|
5.5. Параболоиды
|
82
|
Глава 2. Введение в математический анализ
|
84
|
6. Функции одной переменной. Элементарные функции
|
84
|
6.1. Элементы теории множеств. Символика математической логики. Топология числовой прямой
|
86
|
6.2. Функции. Область определения. Способы задания
|
88
|
6.3. Основные элементарные функции. Элементарные функции
|
90
|
7. Пределы функции одной переменной
|
91
|
7.1. Предел последовательности
|
93
|
7.2. Предел функции в точке
|
93
|
7.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
|
94
|
7.4. Леммы о бесконечно малых
|
95
|
7.5. Основные теоремы о пределах
|
96
|
7.6. Понятие о неопределенностях. I и И замечательные пределы
|
98
|
7.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
|
101
|
8. Непрерывные функции одной переменной
|
103
|
8.1. Определения непрерывности
|
104
|
8.2. Точки разрыва
|
106
|
8.3. Свойства функций, непрерывных в т. д
|
107
|
8.4. Свойства функций, непрерывных на \а, Ь\
|
108
|
Глава 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
|
110
|
9. Дифференцируемые функции одной переменной
|
110
|
9.1. Определение производной, ее физический смысл
|
112
|
9.2. Геометрический смысл производной
|
113
|
9.3. Существование производной и непрерывность
|
114
|
9.4. Свойства операции дифференцирования
|
115
|
9.5. Производная сложной функции. Логарифмическая производная
|
116
|
9.6. Производные основных элементарных функций
|
117
|
9.7. Дифференциал
|
119
|
9.8. Производные и дифференциалы высших порядков
|
120
|
9.9. Производные параметрически заданной функции
|
121
|
10. Исследование функций и построение графиков
|
123
|
10.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
|
126
|
10.2. Правило Лопиталя
|
128
|
10.3. Монотонность
|
129
|
10.4. Экстремумы
|
130
|
10.5. Достаточный признак экстремума, использующий вторую производную. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
|
132
|
10.6. Выпуклость, вогнутость
|
133
|
10.7. Точка перегиба
|
134
|
10.8. Асимптоты
|
136
|
10.9. Общая схема исследования функции и построение графика
|
138
|
10.10. Применение методов дифференциального исчисления в математическом моделировании
|
140
|
Глава 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
|
144
|
11. Дифференцируемые функции нескольких переменных
|
144
|
11.1. Понятие функции нескольких переменых. Элементы топологии в R"
|
146
|
11.2. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
|
150
|
11.3. Частные приращения и частные производные
|
151
|
11.4. Полное приращение и полный дифференциал, применение в приближенных вычислениях
|
153
|
11.5. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков
|
156
|
11.6. Производные сложных функций
|
157
|
11.7. Неявные функции, их дифференцирование
|
159
|
12. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных
|
160
|
12.1. Экстремумы функции нескольких переменных
|
162
|
12.2. Условный экстремум функции нескольких переменных
|
164
|
12.3. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Линии как пересечение двух поверхностей
|
167
|
Список литературы к первой части
|
173
|
ЧАСТЬ 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
|
|
Глава 5. Комплексные числа. Функции комплексного переменного
|
174
|
13. Комплексные числа
|
174
|
13.1. Алгебраическая форма к.ч., его изображение на комплексной плоскости
|
176
|
13.2. Действия над к.ч. в алгебраической форме
|
177
|
13.3. Тригонометрическая и показательная формы к.ч
|
178
|
13.4. Умножение и деление к.ч. в тригонометрической и показательной формах
|
179
|
13.5. Возведение в целую положительную степень и извлечение корня я-й степени из к.ч
|
180
|
14. Функции комплексного переменного
|
181
|
14.1. Области и линии на комплексной плоскости. Понятие функции комплексного переменного
|
182
|
14.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
|
185
|
14.3. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши—Римана
|
187
|
14.4. Понятие аналитической функции. Сопряженные гармонические функции
|
188
|
Глава 6. Интегральное исчисление функций одной переменной
|
190
|
15. Неопределенный интеграл
|
190
|
15.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла
|
192
|
15.2. Основные свойства неопределенного интеграла
|
193
|
15.3. Таблица неопределенных интегралов
|
194
|
15.4. Методы интегрирования
|
194
|
16. Классы интегрируемых функций
|
197
|
16.1. Интегрирование рациональных дробей
|
199
|
16.2. Интегрирование тригонометрических функций
|
203
|
16.3. Интегрирование иррациональных функций
|
204
|
17. Определенный интеграл
|
206
|
17.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
|
209
|
17.2. Свойства определенного интеграла
|
211
|
17.3. Формула Ньютона—Лейбница
|
213
|
17.4. Интегрирование заменой переменных и по частям в определенных интегралах
|
215
|
17.5. Несобственный интеграл
|
216
|
18. Геометрические приложения определенного интеграла
|
220
|
18.1. Вычисление площади плоской фигуры
|
222
|
18.2. Вычисление объемов тел
|
227
|
18.3. Вычисление длины дуги кривой
|
229
|
19. Элементы теории функций и функционального анализа
|
233
|
19.1. Мера Лебега. Измеримые множества
|
234
|
19.2. Измеримые функции. Интеграл Лебега
|
236
|
19.3. Функции с ограниченным изменением. Интеграл Стилтьеса
|
238
|
Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
|
241
|
20. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка
|
241
|
20.1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях
|
242
|
20.2. ОДУ 1-го порядка. Задача Коши. Общее решение
|
244
|
20.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
|
246
|
20.4. Однородные ДУ 1-го порядка
|
246
|
20.5. Линейные ОДУ 1-го порядка
|
247
|
21. Обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка
|
249
|
21.1. Основные понятия об ОДУ 2-го порядка
|
251
|
21.2. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка
|
252
|
21.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
|
253
|
22. Понятие о решении ОДУ высших порядков и систем дифференциальных уравнений
|
260
|
22.1. Линейные ДУ и-го порядка
|
261
|
22.2. Нормальные системы ОДУ и их интегрирование методом исключения
|
262
|
22.3. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
|
263
|
22.4. Дифференциальная модель химических реакций
|
265
|
Глава 8. Интегрирование функций нескольких переменных
|
269
|
23. Двойной интеграл
|
269
|
23.1. Определение двойного интеграла
|
272
|
23.2. Свойства двойных интегралов
|
275
|
23.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
|
275
|
23.4. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
|
279
|
23.5. Приложения двойных интегралов
|
282
|
24. Тройные и и-кратные интегралы
|
288
|
24.1. Понятия тройного и я-кратного интеграла
|
291
|
24.2. Свойства тройного интеграла
|
294
|
24.3. Вычисление тройного интеграла
|
294
|
24.4. Приложения тройных интегралов
|
299
|
Список литературы ко второй части
|
303
|
ЧАСТЬ 3. ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА
|
|
Глава 9. Векторный анализ
|
304
|
25. Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода)
|
304
|
25.1. Кривые в R". Задача о массе кривой. Понятие криволинейного интеграла 1 рода
|
305
|
25.2. Свойства криволинейного интеграла I рода
|
307
|
25.3. Вычисление криволинейного интеграла I рода
|
308
|
26. Криволинейный интеграл по координатам (II рода)
|
310
|
26.1. Определение криволинейного интеграла II рода
|
312
|
26.2. Свойства криволинейного интеграла II рода
|
314
|
26.3. Вычисление криволинейного интеграла II рода
|
315
|
26.4. Связь между криволинейными интегралами I и 11 рода
|
317
|
26.5. Формула Грина
|
317
|
26.6. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
|
319
|
26.7. Интегрирование полных дифференциалов
|
321
|
26.8. Уравнения в полных дифференциалах
|
323
|
27. Поверхностные интегралы
|
324
|
27.1. Поверхности в R3
|
327
|
27.2. Поверхностный интеграл I рода
|
329
|
27.3. Поверхностный интеграл II рода
|
333
|
27.4. Формула Остро граде ко го—Гаусса
|
337
|
27.5. Формула Стокса
|
338
|
28. Скалярное и векторное поля
|
340
|
28.1. Скалярное поле и его характеристики
|
342
|
28.2. Векторное поле и его характеристики
|
346
|
Глава 10. Числовые и функциональные ряды
|
354
|
29. Числовые ряды
|
354
|
29.1. Понятие числового ряда и его суммы
|
357
|
29.2. Основные свойства сходящихся числовых рядов
|
358
|
29.3. Необходимый признак сходимости числового ряда
|
359
|
29.4. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
|
359
|
29.5. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница
|
364
|
29.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости
|
365
|
30. Степенные ряды
|
367
|
30.1. Понятие функционального и степенного рядов. Теорема Абеля
|
370
|
30.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда
|
372
|
30.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
|
373
|
30.4. Ряды Тейлора и Маклорена
|
374
|
30.5. Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора
|
375
|
30.6. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена
|
376
|
30.7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
|
380
|
31. Ряды Фурье
|
382
|
31.1. Тригонометрический ряд
|
384
|
31.2. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье для функции с периодом 2л
|
385
|
31.3. Достаточные условия разложения периодической функции/(jc) с периодом 2л в ряд Фурье
|
387
|
31.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
|
388
|
31.5. Ряд Фурье для функций с периодом 2L Разложение в ряд Фурье непериодических функций
|
390
|
Глава 11. Уравнения математической физики
|
392
|
32. Основные типы уравнений математической физики
|
392
|
32.1. Понятие об уравнениях математической физики. Граничные и начальные условия
|
393
|
32.2. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка
|
395
|
32.3. Построение математической модели задачи распространении тепла
|
397
|
33. Методы решения уравнений математической физики
|
399
|
33.1. Метод Даламбера
|
401
|
33.2. Метод Фурье
|
403
|
33.3. Метод конечных разностей для решения уравнений математической физики
|
409
|
Список литературы к третьей части
|
411
|
ЧАСТЬ 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
|
|
Глава 12. Элементы теории вероятностей и математической статистики
|
412
|
34. Основные понятия теории вероятностей
|
412
|
34.1. Понятия пространства элементарных событий и случайного события. Основные формулы комбинаторики
|
414
|
34.2. Действия над событиями
|
416
|
34.3. Различные определения вероятности
|
417
|
34.4. Сложение и умножение вероятностей
|
420
|
34.5. Схема испытаний Бернулли
|
423
|
35. Случайные величины
|
424
|
35.1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения
|
426
|
35.2. Числовые характеристики случайных величин
|
430
|
35.3. Примеры распределений дискретных и непрерывных случайных величин
|
432
|
35.4. Многомерные случайные величины. Понятие о случайных процессах
|
437
|
36. Элементы математической статистики
|
445
|
36.1. Основные понятия математической статистики. Построение эмпирического закона распределения
|
448
|
36.2. Определение неизвестных параметров распределения и выборочного коэффициента корреляции
|
452
|
36.3. Проверка статистических гипотез
|
459
|
Глава 13. Дискретная математика
|
466
|
37. Логические исчисления
|
466
|
37.1. Логика высказываний
|
467
|
37.2. Равносильные формулы логики высказываний
|
470
|
37.3. Элементы логики предикатов
|
473
|
37.4. Понятие о формальных системах, языках и грамматиках
|
474
|
38. Графы
|
476
|
38.1. Основные понятия и способы задания графов
|
477
|
38.2. Маршруты, цепи и циклы
|
480
|
38.3. Некоторые классы графов
|
482
|
38.4. Понятие об автоматах, их задание графами
|
485
|
Список литературы к четвертой части
|
487
|
