Математика. Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем Методическое пособие

Скачать 201.85 Kb.

Дата	26.07.2014
Размер	201.85 Kb.
Тип	Учебно-методическое пособие

Автономное учреждение среднего профессионального образования Ханты-Мансийского автономного округа-Югры Сургутский профессиональный колледж
Сургут, 2011

МАТЕМАТИКА. Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем

Методическое пособие

МАТЕМАТИКА. Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем.- Сургутский профессиональный колледж. - 2011.

Составитель:

Т.Н. Масанина, преподаватель математики

Учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов. В пособии приводятся основные определения и свойства показательной функций, а также примеры решения уравнений, неравенств и систем.

Рассмотрена на заседании методического объединения «Математика, физика» Протокол №5 от 23.03.2011

Рекомендовано к печати Методическим советом Сургутского профессионального колледжа.

Протокол № ________ от ____________________ 2011 года

Введение

Методическое пособие по теме: "Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем" предназначено для преподавателей и студентов. Данное методическое пособие поможет студентам в освоении темы. В пособии приводятся основные определения и свойства показательной функций, а также примеры решения уравнений, неравенств и систем. Конечно, методическое пособие не может заменить учебник, поэтому перед выполнением задания нужно прочитать соответствующие разделы учебника. Краткость изложения теории в данном пособии компенсируется разбором большого числа примеров различной степени трудности.

Работая с данным пособием, студенты будут четко знать основные способы решения уравнений и неравенств, систем, уметь быстро определить метод решения данного уравнения и неравенства; а в случаях, если способов решения несколько, найти альтернативный вариант.

Данное методическое пособие могут использовать в своей работе и преподаватели с целью:

систематизации, закрепления и углубления полученных теоретических и практических знаний, умений;
формирования умений применять теоретические знания;
развития самостоятельности и организованности студентов;
подготовки к итоговой государственной аттестации.

Раздел 1. Показательная функция

Определение:

Функция вида , где gif" align=absmiddle hspace=8> называется показательной функцией.

Построим по точкам график функции . Для этого составим таблицу значений

Отметим точки , . На координатной плоскости. Они намечают линию – это график функции

Рассмотрим по графику свойства функции .

Не является четной, ни нечетной.
Возрастает на промежутке
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Функция непрерывна на всей числовой прямой.
.

Такими же свойствами обладает любая функция вида

, где

Рассмотрим теперь функцию Составим для нее таблицу.

Отметим точки , , , на координатной плоскости. Они намечают некоторую линию, проведем ее - это график функции

Рассмотрим по графику свойства функции

Не является четной, ни нечетной.
Убывает на промежутке
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Функция непрерывна на всей числовой прямой.
.

Такими же свойствами обладает любая функция вида

, где

Подведя итоги, выведем свойства показательной функции:

$c:\documents and settings\sp2mtn\мои документы\показательная функция\pkgraf.gif$

	1

.	.
Возрастает	Убывает
Непрерывна	Непрерывна

Кривую, изображающую график называют экспонентой. Экспонентой также называют и саму показательную функцию.

Решение упражнений.

Построить графики функций:

$c:\documents and settings\sp2mtn\мои документы\показательная функция\pksmx.gif$

Построить график функции:

$c:\documents and settings\sp2mtn\мои документы\показательная функция\pksmy.gif$

Построить график функции

$c:\documents and settings\sp2mtn\мои документы\показательная функция\pkpry.gif$

Сравните графики функций

$c:\documents and settings\sp2mtn\мои документы\показательная функция\pksx.gif$

Постройте функцию, обратную . (Указание: Графики взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла).

$c:\documents and settings\sp2mtn\мои документы\показательная функция\obrpkgraf.gif$
Рассмотрим свойства степеней:

Задание для самостоятельного выполнения:

1. Построить график функций:

1.2.

1.3.

1.4.

1.5. Постройте график, симметричный

Решить упражнения:

2. Найдите значение выражения при указанных значениях переменной:

2.1. х=3; 2.2.

Решение:

2.1. = =; 2.3.

2.4.

Определить какое из чисел

или

больше, если:

;

Решение:

3.1. Подставим значения

в показатели степеней и сравним выражения:

Сравним дроби и . Приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 15. После преобразований получаем: и .

Так как , то и

3.2. Подставим значения и в показатели степеней и сравним выражения:

Так как , то

4.Найдите значение выражения:

4.1.

4.2.

4.3. :

4.4.

4.5.

4.6.

Решение:

4.1. (Указание: используем свойство )

4.2. ;

4.3. : ;

4.4. ;

4.5. ;

4.6. ;

5. Найти значения х, при которых функция

Принимает заданное значение:

Решение:

5.1. Запишем число в виде степени с основанием .

отсюда следует, что х=2.

125. Представим 125 в виде: . Выражение примет вид: , следовательно .
. Представим в виде =. Выражение примет вид: , следовательно .
. Запишем в виде

. Выражение примет вид:

. Следовательно

.

Решить самостоятельно:

Найдите значение выражения при указанных значениях переменной:

х=4; 6.2.

Определить какое из чисел или больше, если:

;

8. Найдите значение выражения:

8.1. : ;

8.2. ;

8.3. ;

8.4. ;

8.5. ;

9. Найти значения х, при которых функция

Принимает заданное значение:

9.1. . .

Раздел 2. Решение показательных уравнений

Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени

Метод уравнивания показателей

Показательное уравнение

равносильно уравнению

, где

положительное число, отличное от нуля.

Пример 1

Решить уравнение:

Решение: Представим 64 как и перепишем заданное уравнение в виде: . Это уравнение равносильно уравнению: .

Ответ: х=5

Пример 2

Решить уравнение:

;

Решение: Преобразуем как и перепишем заданное уравнение в виде:

. Это уравнение равносильно уравнению:

откуда находим

Ответ: х = 2

Пример 3

Решить уравнение:

;

Преобразуем левую часть уравнения:

Преобразуем правую часть уравнения:

Таким образом, мы данное уравнение преобразовали к виду:

Далее получаем: . Ответ: х=5

Пример 4

Решить уравнение

Решение. Заметим, что

Тогда данное уравнение равносильно каждому из уравнений

откуда x = 2.

Пример 5

Решить уравнение

5. ; Данное уравнение мы не можем привести к одному основанию. Используем метод логарифмирования.

Логарифмируем данное уравнение по основанию 2.

;

Использую свойство логарифма, данное уравнение перепишем в виде:

, учитывая, что

, найдем значение х:

Решить самостоятельно:

10.1.

10.2.

10.3.

10.4. ;

10.5. ;

10.6.

;
10.7.

;
10.8.

;
10.9.

;
10.10.

Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение: Заметив, что

Перепишем заданное уравнение в виде:

Вводим новую переменную: , тогда уравнение примет вид:

Решив квадратное уравнение, получим: 4, 6. Но так как , то надо решить два уравнения:

Решим первое уравнение:

Рассмотрим второе уравнение.

Второе уравнение не имеет решения, так как для любых значений х.

Ответ: 2

Пример 2

Решить уравнение . Перепишем уравнение в виде:

Решение: Полагая

получим уравнение

Или

откуда находим t₁= –2, t₂ = 9. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Первое из них не имеет корней (так как показательная функция всегда положительна), второе имеет единственный корень х = 2.

Ответ: х=2

Решить самостоятельно:

.2.

11.5.

11.6.

+.

Метод выноса за скобки

Пример 1

Решить уравнение:

В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть . В результате получим:

Ответ: х = 2

Пример 2

Решить уравнение:

Перепишем уравнение в виде:

В левой части уравнения вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. , в правой части уравнения вынесем за скобки степень с .

После преобразования получим:

Ответ: х=1.

Решить самостоятельно:

12.1. ;

=270;

4.Метод деления. Первый тип уравнений

Разделим обе части уравнения на выражение не равное нулю:

х=0

Решить самостоятельно:

13.1.

13.2.

13.3.

13.4.

13.5.

Метод деления. Второй тип уравнений

Пример 1

Решить уравнение:

Решение:

Запишем уравнение в виде:

Разделим обе части полученного уравнения на

Выполним замену:

Тогда:

Перепишем уравнение в виде:

Решим квадратное уравнение относительно t.

Ответ: х = 0

Пример 2

Решить уравнение

Решение: Запишем уравнение в виде:

Разделим обе части полученного уравнения на

Выполним замену:

Тогда:

Перепишем уравнение в виде:

Решим квадратное уравнение относительно t.

Решим второе уравнение:

Ответ: х = 0, х=1
Решить самостоятельно:

14.1.

14.2.

14.3.

14.4.

14.5.

14.6. ;

14.7. ;

14.8. ;

14.9. ;

14.10. .
5.Функционально-графический метод

Метод основан на использовании графических иллюстраций.

Пример 1. Решить графически уравнение:

Решение: Строим графики функций .

Графики функций пересекаются в точке, абсцисса которой равна 1. То есть решением данного уравнения является

Решить самостоятельно:

15.1 ;

15.2. ;

15.3. ;

15.4.

Раздел 3. Показательные неравенства

Показательными неравенствами называются неравенства вида: , где – положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Теорема. Если , то показательное неравенство равносильно неравенству того смысла: .

Если , то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: .

Пример 1.

Решить неравенство:

Решение:

Неравенство преобразуем: . Это неравенство равносильно неравенству того же смысла

Ответ: х

Пример 2.

Решить неравенство:

Решение:

Воспользуемся тем, что , перепишем заданное неравенство в виде:

Здесь основанием служит число

. Значит, рассматриваемое неравенство равносильно неравенству противоположного смысла

Ответ:

Пример 3

Решить неравенство:

Так как , то заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла

Найдем корни квадратного трехчлена

Значит, неравенство имеет смысл при

Ответ:

Пример 4

Решить неравенство

Решение: так как то это неравенство равносильно неравенству того же смысла Отсюда следует

Знак неравенства поменяется на противоположный.

Ответ:

Пример 5

Решить неравенство

Решение.

Воспользуемся тем, что

И запишем неравенство в виде: .

Так как то неравенство равносильно неравенству противоположного смысла:

Отсюда следует, .

Ответ:

Решить самостоятельно:

16.1. При каких значениях из неравенства следует неравенство: ?

16.2. При каких значениях из неравенства следует неравенство: ?

Решить неравенство:

16.3.

16.4. ;

16.5.

16.6.

16.7.

16.8.

16.9.

16.10.

16.11.

16.12.

16.13.

16.14.

16.15.

16.16.

16.17.

16.18.

16.19.

16.20.

16.21.

16.22. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:

Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

Пример 7

Решить неравенство

Решение:

Выносим за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. .

Получим:

Так как основание , то неравенство равносильно неравенству того же смысла

Ответ:

Решить самостоятельно:

17.1.

17.2.

17.3.

17.4.

17.5.

17.6.

Пример 8

Решить неравенство

Решение.

Заменим :

Получим неравенство: Трехчлен разложим на множители: .

.

Ответ:

Пример 9

Решить неравенство:

Решение: Получим неравенство:

Преобразуем неравенство:

Трехчлен разложим на множители

, следовательно, . так как
Решить самостоятельно:

18.1.

18.2.

18.3.

18.4.

18.5.

18.6.

18.7.

Раздел 4. Системы показательных уравнений

Примеры с решениями.

Пример 1

Решить систему.

Решение: Воспользуемся способом подстановки. Выразив из первого уравнения у, получим . Тогда или откуда

Следовательно,

Ответ:

Пример 2

Решить систему:

Решение:

Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:

(

)

(

Преобразуем второе уравнение к более простому виду. Введем новую переменную . Тогда второе уравнение системы примет вид:

, откуда

. Из уравнения

находим:

; уравнение

не имеет решений.

Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду:

Решим полученную систему уравнений:

Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

;

Из уравнения находим:

Ответ:(

Решить самостоятельно:

	19.4.
19.2.	19.5.
19.3.	19.6.

Ответы к решению примеров:

6.1. 81; 6.2.

; 6.3.

; 6.4.

7.1. ; 7.2. ;

8.1. ; 8.2. ; 8.3. 27; 8.4. ; 8.5. .

9.1. -4; 9.2. ; 9.3. ; 9.4.

10.1. 2; 10.2. 0; 10.3. 3; 10.4. ; 10.5. ;

10.6. 3; 10.7. 3; 1; -2; 10.8. 1; 10.9. ; 10.10. -8.

11.1. 1; 11.2. -1; 11.3. 1; -1; 11.4. 1; 11.5. 1;

11.6. 3; 11.7. -3; 11.8. 1; 11.9. 1; -1. 11.10. -2.

12.1. 2; 12.2. 4; 12.3. 8; 12.4. 3; 12.5. 2;-2;

12.6. 9; 12.7. 0; 12.8. 1,5; 12.9. 1,5; 12.10. 1,5;

12.11. 2; 12.12.

13.1. 0; 13.2. 0; 13.3. 0; 13.4. 0; 13.5. 0;

14.1. Указание: . Уравнение запишем в виде:

Разделить данное уравнение на .

Полученное уравнение решить методом замены. Ответ: 2.

14.2. Смотри указания к 14.1. Ответ: 2;1.

14.3. 1; 14.4. -1; 14.5. -1; 14.6. 1; 14.7. 1;

14.8. 1;3; 14.9. 2; 14.10. 1;

16.1. При 16.2. При 16.3.

16.4. ; 16.5. ; 16.6.

16.7. ; 16.8. х ; 16.9. ;

16.10. 16.11. 16.12. ;

16.13. ; 16.14. 16.15. . ;

16.16. ; 16.17. ; 16.18.

16.19. 16.20.

16.21. ; 16.22. 16.23.

17.1. ; 17.2. ; 17.3. ;

17.4. ; 17.5. 17.6.

18.1. 18.2. ;D

18.3. 18.4. ;

18.5. 18.6. ;

18.7.

19.1. (3;2)

19.2.

Комментарии к решению системы:

Преобразуем систему к виду: . Введем новые переменные: и систему запишем в следующем виде:

. Со второго уравнения находим

и подставляем в первое уравнение. После преобразований получаем квадратное уравнение:

; D= 196;

;

- не удовлетворяет условию. Находим

. Так как

отсюда следует, что

; Так как

отсюда следует, что

;

Ответ: (0; ).

19.3. (1;3) 19.4. (2;1)

19.5. (2,2; 0,4) 19.6. (

Литература:

Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].-15-е изд. – М.: Просвещение, 2007.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; учебное пособие /П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисмаш, 2008.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. - М.: Аквариум, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств.- М.: Аквариум, 1997.

Математика. Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем Методическое пособие

Оглавление

Введение

Раздел 1. Показательная функция

Раздел 2. Решение показательных уравнений

Раздел 3. Показательные неравенства

Ответы к решению примеров:

Литература:

Похожие: