Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление



страница2/8
Дата26.07.2014
Размер1.66 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8

Глава 2. Последовательности


2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям

Числовая последовательность и различные понятия, связанные с последовательностями. В частности, грани, предел, монотонность.



2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности

Определение. Последовательность {an } определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an }: n an .

Ограниченность сверху. b nN: anb. Такое b называется верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у нее существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу. a nN: an a. Существует нижняя грань.

Ограниченность.c nN: |an| c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1)n}, sin n,

Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:


  1. nN: xn b (b есть верхняя грань).

  2. >0  nN: xn > b - (никакое меньшее число не является верхней гранью).

Аналогично определяется точная нижняя грань, обозначаемая inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение bsup {xn}.



bsup {xn} означает отрицание b = sup {xn}. Таким образом, выполнено: или отрицание 1), или отрицание 2).

Другими словами:

или выполнено 1) nN: xn > b,

или выполнено 2)  > 0  nN: xnb - .



Монотонно возрастающая последовательность {an}: nN: an an+1.


Строго монотонно возрастающая последовательность {an}: nN: an < an+1.

Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.



2.1.2. Предел последовательности

запись на кванторах

{xn} сходится (у последовательности есть конечный предел).

Если последовательность не является сходящейся, то говорят, что она расходится. Построить отрицание предыдущего высказывания.

Замечание.

Бесконечно малая последовательность {xn} : .



Замечание. {xn} a xn=a+n, где n - бесконечно малая последовательность.

2.1.3. Несобственные пределы





Последовательность, удовлетворяющая одному из этих условий называется бесконечно большой (б.б.).

Отметим, что и .

Поэтому бесконечно большой будет последовательность, которая удовлетворяет условию .

В определении и в определении можно писать:

и .

Замечание. Бесконечно большая последовательность расходится.

Геометрическое определение предела

Интервал (a-, a+) называется - окрестностью точки a .

Окрестностью - называется множество вида (-,b) .

Окрестностью + называется множество вида (b,+) .

Окрестностью  называется множество вида {x: |x|>b} =

=(-,-b) (b,+). Отметим, что при отрицательных b это множество всех вещественных чисел.

Геометрическое определение предела (общее для чисел и символов). Число или символ a называется пределом последовательности {xn}, если вне любой окрестности a имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

2.2. Теоремы о пределах последовательностей

Основные свойства сходящихся последовательностей. Свойства монотонных последовательностей.



2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей

Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не нарушает сходимости последовательности и величины ее предела.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство: Предположим противное, существует два предела: , . Возьмем какое нибудь , удовлетворяющее условиям: . Например, можно взять . По определению предела будет существовать такое, что при . Точно также существует такое, что при . Тогда при будут выполнены неравенства . Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.

2 1.png

Рис. 2.1

Т еорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: . Возьмем =1 по определению предела для него существует Nn>N:a -1<xn<a+1. В таком случае для числа b=max{|x1|,…,|xN|,|a-1|,|a+1|} для любого n будет выполнено |xn|<b.

Теорема 3 (О трех последовательностях). Если для трех последовательностей выполнены неравенства , и , то



Теорема 4 (Переход к пределу в неравенству). Если для всех n выполнены неравенства и , то .

Следствие 1.

Следствие 2.

Замечание.

2.2.2. Монотонные последовательности

Теорема 5. Всякая ограниченная сверху, монотонно возрастающая последовательность {xn} имеет конечный предел

Доказательство. Пределом будет число b=. Докажем это. Берем произвольное  >0. Из определения точной верхней грани следует, что найдется N такое, что b- < xNb <b+ .

Все последующие члены последовательности будут располагаться в этой -окрестности числа b в силу монотонности последовательности, ч.т.д.


2 2.png

Рис. 2.2

Замечание 1. Аналогично доказывается, что всякая ограниченная снизу монотонно убывающая последовательность сходится.

Замечание 2. Если {[an,bn]} система вложенных стягивающихся к нулю отрезков и с[an,bn], то .

Доказательство:

. Аналогично,

.

Пример. Число e . Число Эйлера или неперово число.

Индукцией по n доказывается формула (Бином Ньютона):

.

Используя формулу бинома Ньютона для последовательности xn= получим:



+…+…+=

Для n+1 будет выполнено, соответственно,





При переходе от n к n+1 каждое слагаемое в этой сумме увеличивается и общее число слагаемых увеличивается на один, поэтому xn<xn+1. Далее, каждая скобка <1 и , поэтому



. Монотонно возрастающая ограниченная последовательность сходится к некоторому числу, которое обозначается e.

Это трансцендентное число называется числом Эйлера e=2.718281828459045…


2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел

Дальнейшие свойства сходящихся и ограниченных последовательностей. Подпоследовательность.

2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение. Дана последовательность {xn} и последовательность натуральных чисел {nk}, 1n1<n2<…<nk<nk+1<…, тогда числовая последовательность {yk}, называется подпоследовательностью последовательсти {xn}.

Пример: xn= sin n, nk=2k, = sin 2k.



Замечание. Отметим, что из условия nk < nk+1 следует, что

k nk (доказывается индукцией по k) .

Теорема 1. Если (a - число или символ), то для любой ее подпоследовательности {yk}, ,будет выполнено: .

Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь конечное число членов {xn}, следовательно, и конечное число подпоследовательности {}, ч.т.д.

Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть последавательность лежит на

[a,b] {xn}.

Разделим отрезок [a,b] пополам, обозначим [a1,b1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a1,b1], его индекс обозначим n1.

Разделим отрезок [a1,b1] пополам, обозначим через [a2,b2] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a2,b2] и имеющий индекс больший, чем n1, его индекс обозначим n2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность . Система отрезков [ak,bk] представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков (bk-ak=(b-a)/2k). Общую точку обозначим c. Так как c[ak,bk], то . Откуда следует, что (Следствие 2 из Теоремы 4 §2).



Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом (в том числе ). Просто договоримся частичным пределом не считать.

Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может быть много.

Пример: Последовательность всех рациональных чисел {rn} имеет своим частичным пределом любое вещественное число.

Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много членов последовательности {xn}.

Следствие. Если некоторая окрестность a содержит конечное число членов последовательности, то a не является частичным пределом.

Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы один частичный предел (конечный или бесконечный).

Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности имеющей пределом  используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть , тогда. Условие nk> nk-1 можно обеспечить, используя то, что в любой окрестности + имеется бесконечно много членов последовательности.

2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности

Определение. (Наибольший частичный предел последовательности {xn} называется ее верхним пределом, , где X – множество всех частичных пределов. Можно показать, что . Аналогично, определяется нижний предел .

Замечание. Если , (число или символ), то . Это является непосредственным следствием теоремы 1.

Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы.

Без доказательства.



1) Если последовательность неограниченна сверху, то

2) Ограничена сверху. A- множество конечных частичных пределов



.

Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел, следовательно, бесконечно много членов {xn}.

2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности

Условие Коши: > 0Nn > Np:|xn+p - xn|<

Определение. Фундаментальной последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Теорема. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть >0 . Для =/2Nn>N:|xn -a|</2 для тех же n (n>N) и p будет выполнено |xn+p -a|< /2. Таким образом, для n>Np:|xn+p - xn| |xn+p - a|+|a - xn| < /2+/2=.

Достаточность. Пусть  >0. Для

(1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера M+1 оказались в окрестности числа , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность , пусть . Докажем, что является пределом последовательности . Для ранее выбранного

(2)

Тогда можно выбрать достаточно большое так, что и . Тогда, при будет выполнено: . Ч.т.д .

2.4. Свойства последовательностей

Операции над последовмтельностями, свойства пределов.



2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями

Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число. Сумма двух последовательностей {xk}, {yk} определяется, как {xk +yk}. Произведение последовательности {xk} на число c определяется, как последовательность {c xk}.

Последовательность n называется бесконечно малой (б.м.), если .

Последовательность n называется бесконечно большой (б.б.), если .

1) если |n| б.м. , то {n} б.м.

2) если n , n б.м., то {n+n} б.м.

Следствие. {n+n+…+n} б.м., если все n , n ,… б.м.

Определение. Произведением двух последовательностей {xk}, {yk} называется последовательность {xkyk}.

3) произведение б.м.последовательности на ограниченную является б.м. последовательностью.



Следствие. Произведение конечного числа б.м. является б.м..

4) {1/n} б.б., если {n} б.м. n0.



Доказательство: Возьмем произвольное , тогда для или Таким образом, , следовательно, последовательность - бесконечно большая.

5) {1/n} б.м., если {n} б.б., n0.

6) Ранее отмечалось, что существование конечного предела равносильно существованию б.м. {n} такой, что

7) {xn},{yn} сходятся, то сходится {xn+yn} и



Следствие. Свойство 7) распространяется и на конечные суммы.

Замечание. Свойство 7) нарушается, если хотя бы один из пределов равен .

8) {xn},{yn} сходятся, то сходится {xnyn} и .

Доказательство.



Следствие 1.Если {xn} сходятся, то сходится {сxn} и

Следствие 2. xna

9) xna |xn||a|.

10) xna, ynb, yn0, b0

Лемма. Если ynb, yn0, b0, то |1/yn| ограничена.

Доказательство: , тогда для



Таким образом,

Доказательство свойства 10).

.

Последовательность по лемме ограничена, последовательность - бесконечно малая.

1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛеонард эйлер (1707—1783)
Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconИштирякова д. К
Математика. Часть Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие /...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconУважаемый студент! Вы изучили разделы математики: линейная алгебра, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и теория вероятностей
...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛ. С. Гордеев Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconТема Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛитература по дисциплине «Математический анализ»
Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Высшая школа, 1993
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconД. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconТема Дифференциальное исчисление функции одного аргумента. Применение производной к исследованию функции

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление icon§ Определение производной. Дифференцирование функций
Цель предлагаемой работы ЎЄ помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org