Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление
|
Скачать 1.66 Mb.
|
Глава 3. Предел функции. Непрерывность 3.1. Основные понятия, относящиеся к функции Основные понятия, связанные с функциями. Элементарные функции. 3.1.1. Определение функции. Монотонность. Обратная функция. Суперпозиция Понятие функции является частным случаем общего понятия отображения.  множества вещественных чисел. Функция определяется, как отображение из X в   . X называется областью определения функции. Областью значений  функции называется множество всевозможных значений  , когда  .
Определение. Функция f(x) называется монотонно возрастающей на X, если для  . Функция f(x) называется монотонно убывающей на X, если для  . Функция f(x) называется строго монотонно возрастающей на X, если для  . Функция f(x) называется строго монотонно убывающей на X, если для  .
Если различным значениям x отвечают различные значения y , то yY!xX:f(x)=y. Полученная зависимость yx называется обратной функцией и обозначается f -1. Область значений прямой функции становится областью определения обратной функции и наоборот, область определения прямой функции превращается в область значений обратной функции. Теорема. Если f(x) строго монотонна на X и имеет область значений Y, то на Y существует обратная функция  .
Для доказательства этого утверждения достаточно отметить выполнение условия единственности x в выражении yY!xX:f(x)=y , которое следует из строгой монотонности функции. Графиком функции называется геометрическое место точек на плоскости вида: Суперпозиция g:TX,f:XY,  :TY. Пишут также
y = f(g(t)). 3.1.2.Ограниченность. Точные грани Пусть функция f определена на X. Функция ограничена на множестве : bxX:|f(x)|b.
Функция ограничена сверху на множестве X. bxX : f(x) b.
Функция ограничена снизу на множестве X. bxX : f(x) b.
Точная верхняя грань 
1.xX :f(x)b 2.>0xX :f(x)>b -
Функции: константа y=const, степенная y=xa, показательная y=ax (a>0),ее обратная, Всякая функция, полученная применением конечного числа арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями называется элементарной функцией. Примеры: Многочлен n степени  = a0+ a1x+…+ am-1xm-1+ amxm (am0),
дробно рациональная функция 
3.2. Предел функции Предел функции. Критерий Коши. Локальные свойства функции, связанные с пределами. 3.2.1. Определение предела по Коши В начале выпишем базовые определения разного типа окрестностей. Окрестность числа a обозначается U(a)=(a-, a+), > 0, окрестность символа + обозначается Ub(+)=(b,+) (b – любое число), окрестность - обозначается Ua(-)=(-,a) (a – любое число), окрестность обозначается Uc()=(-,c)(c,) (c – любое число). Проколотая окрестность  , a - число.
Проколотая окрестность  = Ub(+).
Проколотая окрестность  = Ua(-).
Проколотая окрестность  = Uc().
Определение предела функции по Коши: Задана функция f(x) с областью определения X. Будем предполагать, что X содержит некоторую проколотую окрестность точки a.  , если >0>0x,0<|x - a|<, xX : |f(x) - A|< .
Геометрическое определение: A – является пределом функции f(x) при x a, если для любой окрестности A существует проколотая окрестность a, такая, что (x  X)(f(x)U(A)).
В геометрическом определении A, a числа или символы. Всего в этом определении содержится 16 различных вариантов определения предела (  -число,  -число,  ).
Рис. 3.1 Пример:
 b>0x,0<|x – x0|<, xX: f(x)>b.
 cax, x3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа Пусть f(x) определена на интервале X= (c,a) , где a – число. Предел слева  .
Стандартное обозначение одностороннего предела слева:  .
Стандартное обозначение одностороннего предела справа: 3.2.3. Связь предела с односторонними пределами Пусть функция f(x) определена на (a,b) за исключением, быть может, точки x0(a,b) . Теорема. Для того, чтобы существовал предел  , (A – число) н. и д. существование односторонних пределов и их равенство числу A.
Доказательство этого утверждения следует непосредственно из определения. Замечание. Теорема верна и для A=+ ,-, но формально не верна для A=. Пример: f(x)=1/x, x0=0, 
3.2.4. Определение предела по Гейне Вспомогательные определения. Последовательностью типа Гейне {xn} при x x0 (или в x0) заданной функции f(x) c областью определения X называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям
Последовательностью типа Гейне {xn} при xx0 – 0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям 1) {xn}X. 2) 3) Последовательностью типа Гейне {xn} при x x0+0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям 1) {xn}X. 2) 3) Последовательностью типа Гейне {xn} при x называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям 1) {xn}X. 2) ------ 3) Последовательностью типа Гейне {xn} при x+ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям 1) {xn}X. 2) ------ 3) Последовательностью типа Гейне {xn} при x - называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям 1) {xn}X. 2) ------ 3) Определение предела по Гейне . Пусть f определена в проколотой окрестности a (число или символ), A - число или символ называется пределом f(x) при x a по Гейне, если для любой последовательности типа Гейне при xa будет выполнено  .
Предел слева, справа определяется аналогично. Меняется только тип последовательности Гейне. Эквивалентность двух определений Доказательство. Kоши Гейне (общий случай: A, a – числа или символы). Пусть (x X) (f(x)U(A)). (1)
Так как  =a , то для U(a) существует N n>N: xn U(a). Поскольку xn a, то n>N: xn, следовательно n>N : xnX откуда, согласно (1), будет выполнено f(xn)U(A), т.е. .
Доказательство. Гейне Kоши (частный случай, a и A - числа). Предположим противное: 0>0>0 x,0<|x - a|<:|f(x) - A| 0 . Для n=1/n будет существовать xn, 0<| xn - a|<1/n такое, что |f(xn)-A|0 . Построенная последовательность { xn } является последовательностью типа Гейне при xa , тогда по условию  , но это противоречит неравенству |f(xn) - A| 0.
В случае символов это утверждение доказывается аналогично. Замечание 1. Определения односторонних пределов так же эквивалентны по Коши и по Гейне. Замечание 2. Определение предела по Гейне позволяет переносить ранее доказанные свойства пределов последовательностей на пределы функций. Докажем это для предела суммы двух функций. Дано: Существуют пределы Пусть X область определения функции f содержит проколотую окрестность точки a . Условие Коши для f(x) в окрестности a (для предела > 0 Сформулируем условие Коши для других случаев. Односторонние пределы: Предел справа ( Предел слева ( Условие Коши для + ( >0bx,x(b,+)X :|f(x) - f(x)|<. Условие Коши для - ( -
>0ax,x(-,a)X:|f(x) - f(x)|<. Условие Коши для ( >0ax,x(-,a) (,a)X:|f(x) - f(x)|<.
n>N, p : |f(xn) - f(xn+p)|< . Таким образом, последовательность {f(xn)} будет фундаментальна, поэтому существует некоторый предел  , {zn}={x1, y1,x2, y2,x3, y3,…}.
Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне при xa и, как уже доказано, предел 3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел Область определения X функции f содержит некоторую проколотую окрестность Функция f локально ограничена в точке a, если она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Для числа a определение локальной ограниченности выглядит следующим образом: M>0xU(a)X : |f(x)|M. Для a = + MbxUb(+)X:|f(x)|M.
Будем предполагать, что область определения X функции f содержит некоторую Теорема. 
В этом случае говорят, что функция f(x) сохраняет знак числа A в некоторой окрестности a. Доказательство. Для = Замечание 1. 
Замечание 2. Теорема верна и в случае 
Рис. 3.2 3.2.8. Предел сложной функции Пусть функция f(x) определена на X, функция g(t) определена на T с областью значений GX. Тогда на T определена суперпозиция F(t)=f(g(t)),tT. При этих условиях справедлива Теорема. Пусть g(t) определена на T= (,)\{t0},t0 (,).Функция f(x) определена на (a,b)\{x0},  и g(t)x0, если tt0 , =A.
Тогда 
Доказательство: Возьмем > 0 для него >0x  :
f(x) U(A), далее, для существует >0t  :g(t)  , если tt0 , то g(t)x0. таким образом, g(t)и следовательно f[g(t)] U(A).
3.3 Свойства пределов Дальнейшие свойства пределов функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Аналогично, для случая f(x) Теорема. Если f(x), g(x) определены на  , x0(a,b) и f(x)< g(x) на и существуют пределы , А и B числа, то AB.
Эти утверждения следуют из соответствующих теорем о пределах последовательностей, используя определение предела по Гейне. 3.3.2. Арифметические операции над пределами Везде в этом пункте рассматриваются конечные пределы. 1) 2) 3) 4) 5) g(x)0, Свойства бесконечно малых функций 1) Критерий существования конечного предела функции
2) (x),(x) б.м. (x)+(x) б.м.. 3) Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией. 4) Произведение б.м. функций является б.м. функцией. Определние. f(x), определенная в проколотой окрестности x0 , называется бесконечно большой б.б. в т. x0, если  .
5) Если (x) б.м. при xx0 и (x)0, то 1/(x) является б.б. и наоборот. Символически это записывают в виде 1/=0, 1/0= . 3.3.4. Сравнение б.м. и б.б. функций. Символы O,o Пусть функции f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x0. Пишут Аналогично определяется O при xx0+0, xx0 - 0, x, x . Пример: f(x)=O(1), x означает локальную ограниченность функции в .
Пример: Функции x3,x2 являются функциями одного порядка при x1. Определение o (о малое). Пусть f(x), g(x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x0. Пишут f(x)=o(g(x)), xx0, если  бесконечно малая (x) при xx0 , такая, что
x Аналогично определяется o при xx0+0, xx0 - 0, x, x Пример: f(x)=o (1), при xx0 означает, что f(x) б.м. при xx0 . Некоторые примеры работы с символами o для случая x0 .
Если , бесконечно малые и =o(), то говорят, что бесконечно малая более высокого порядка, чем . Определение. Функции f(x), g(x) называются эквивалентными в x0 ( говорят так же, в окрестности x0 ), если выполнено хотя бы одно из двух условий  , ( в этом случае g называется главной частью f при x x0)
 ( f - главная часть g при x x0).
Условие эквивалентности записывается в виде fg , при xx0 . Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе. Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство f(x)=h(x)g(x),  =1.
Замечание 3. Если, например, g(x)0, то первое условие можно записать в виде  .
Определение. Если для некотрого C выполняется: f(x) C  при xx0 , то f(x) называется бесконечно малой порядка  при xx0 ( - положительное вещественное число). Вместо условия xx0 может быть  . Если для некотрого C выполняется f(x) C при xx0 , то в этом случае также говорят о бесконечно малой порядка при xx0 .
Так, например, функция Если для некотрого C выполняется: f(x)   при xx0 , то f(x) называется бесконечно большой порядка при xx0.
Если f(x) б.б. при x и f(x) эквивалентна  при x , то f(x) называется бесконечно большой порядка при x. Аналогично определяется порядок бесконечно большой при  .
Замечание. Если f(x) б.м. порядка , то 1/f(x) будет б.б. порядка и наоборот.
Примеры. Определить характер функций   при x0 (бесконечно малая порядка 2)
  при x1,
 при x (бесконечно большая порядка 3).
 при x0 (бесконечно малая порядка 2),
 при x1 (бесконечно малая порядка 1),
 при x(бесконечно большая порядка 4).
Пример. Функция Пример. Функция Пример. При вычислении пределов полезна следующая теорема.
Пример. Пример. Пример. 3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности. 3.4.1. Первый замечательный предел. 
Отметим, что для 
Рис. 3.3 Откуда следуют неравенства  (1)
Далее Отметим, что попутно были доказаны следующие соотношения:
Доказательство неравенства 
Рис. 3.3.1 Дуга 
Рис. 3.3.2 Для доказательства этого в угле  ,
Другими словами, длина хорды ломаной меньше соответствующей составляющей тангенса. 3.4.2. Второй замечательный предел. 
Лемма 1.Если  xn=a, {nk} - последовательность натуральных чисел такая, что  nk=+ , то  =a.
Отметим, что Доказательство: По условию xn=a , т.е.
Nn>N : |xn - a|<. (2) Далее, используя второе условие Поэтому
 (3)
Пределы последовательностей  Переходя к пределу в (3) при k , по теореме о трех последовательностях, получим требуемое утверждение.
Следствие 1.  .
Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой последовательности {xk} типа Гейне при x0+0 будет выполнено Аналогичное утверждение справедливо для любой последовательности {xk} типа Гейне при Пример 1 (Раскрытие неопределенностей типа: В этом случае будет существовать бесконечно малая Пример. Вычислить предел  .
   =
=   .
 =   
Поэтому Выпишем часто используемые основные эквивалентности sin x x, x0,   ,
 x, x0.
Второе и третье соотношения будут доказаны в последующем. Стандартные эквивалентности 3.5 Непрерывные функции Понятие непрерывности. Свойства непрерывных функций. Классификация разрывов. Теоремы Вейерштрасса. Нули непрерывных функций. Равномерная непрерывность. 3.5.1.Непрерывность в точке и на множестве Определение. Функция f(x), заданная на множестве X , содержащем некоторую проколотую окрестность точки x0, X , называется непрерывной в точке x0 , если она определена в точке  и .
Определение непрерывности в точке по Коши Функция определена в точке  и >0>0x X,|x - x0|<: |f(x) - f(x0)|<.
Определение непрерывности в точке по Гейне Функция определена в точке и xn, {xn}x0, {xn}X :  f(xn)=f(x0).
Непрерывность справа: Функция определена в точке и >0>0x X, x0 x < x0 +: |f(x) - f(x0)|< .
Непрерывность слева: Функция определена в точке и >0>0x X, x0 - < x x0 : |f(x) - f(x0)|< .
Непрерывность на множестве: Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. 3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций 1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке. Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве. 2) Сохранение знака непрерывной функции: f(x0)>0U(x0)  : .
3) Если f(x) непрерывна в точке x0, g(x) непрерывна в x0, g(x0)0, то функция 4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x). 5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция. Если f(x) определена в окрестности x0 и непрерывна в x0, g(x) определена в окрестности t0 и непрерывна в t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t0. Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций. Классификация точек разрыва
|
или, что тоже, геометрическое место точек 
.
достигается, если xX :f(x)=b.
, тригонометрические и их обратные называются основными элементарными функциями.
определяется следующим образом: 
. Аналогично определяется предел справа, именно 
.
по Коши. Пусть {xk} последовательность типа Гейне при xa. Для данной окрестности U(A) существует проколотая окрестность 
, 
. Пусть {xk} последовательность типа Гейне при xa, тогда 
, 
. По свойству пределов последовательностей будет выполнено 
. Таким образом, для любой последовательности типа Гейне {xk} оказыватся выполненным равенство: 
.
):
x,x
) : >0>0x,x(a,a+)X: |f(x) - f(x)|<.
) : >0>0x,x( a-, a)X: |f(x) - f(x)|<.
): f определена в окрестности +
): f определена в окрестности
): f определена в окрестности 
. Докажем, что для любой другой последовательности типа Гейне {yn} предел будет также равен B. Составим последовательность
должен существовать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности, 
=
.
,
.
Тогда справедлива следующая
.
, 
, если 
.
, если существуют конечные пределы 
.
, если существуют конечные пределы 
, если существует конечный предел 
, 
б.м. функция (x) при xx0 :f(x)=A+(x).
,если
.
при x0 (бесконечно малая порядка 2).
в 0, 1,+.
при x0 является бесконечно малой порядка 
.
при x1 является бесконечно малой неопределенного порядка. Не существует такого C и действительного числа 
при x1.
=
, при x
, тогда существует и 
.
, тогда существует и 
.
.
=1.
.
выполнены неравенства 
смотри рисунок (доказательство неравенства 
в конце пункта). 
=
и из (1) получаем, что 
.
.
(на рис. 3.3.1 - это
) есть предел длин вписанных ломаных с равноотстоящими узлами 
при стремлении к бесконечности числа звеньев. Легко показать, что последовательность длин этих ломаных является монотонно возрастающей последовательностью, ограниченной длиной 
сверху. Например, 
, см. рис. 3.3.2. 
проведена биссектриса. Легко проверяются неравентва: 
Откода следует, что длина хорды
не обязана быть подпоследовательностью.
=e.
справедливо : 
. Для целой части числа 
, nk=
будут выполнены неравенства:
, 
, согласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить, эти последовательности можно представить в виде:
.
и, поэтому, 
.
. Первое утверждение следует из теоремы о связи предела с односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью замены x = 1/y.
, если 
-бесконечно малая при 
). Вычислить предел 
, где 
и 
такая, что
. Тогда 
, то 
Отметим, что здесь 
- число, 
. 
-может быть числом или символом 
.
.
и 
. Откуда получаем, что 
.
непрерывна в x0.
