Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление



страница5/8
Дата26.07.2014
Размер1.66 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8

Глава 4 Дифференциальное исчисление


4.1 Производная

Производная. Дифференцируемость и дифференциал. Правила дифференцирования, производные элементарных функций.



4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.



Терминология

x=x - x0 – приращение аргумента.

y= f =f(x) - f(x0) – приращение функции.

Определение. Производная в точке x0 определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

f(x0)= =.

Обозначения для производной



Лейбниц, f(x0) Лагранж, (x) Ньютон, Df(x0) Коши.

Аналогично определяются односторонние производные f(x0+0), f(x0-0).



f(x0+0)= , f(x0 - 0)=.

Теорема. Для существования производной f(x0) необходимо и достаточно существования обеих односторонних производных f(x0+0), f(x0 - 0) и их равенство.

Непосредственно следует из соответствующей теоремы об односторонних пределах.

Если f существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f (x), которая называется производной функцией.

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x0 называется дифференцируемой в точке x0, если существует число А, такое, что приращение функции представимо в виде

f = f(x) - f(x0) = A(x - x0)+o (x – x0), xx0



Теорема. Для существования f (x0) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x0.

Для доказательства можно воспользоваться критерием существования предела в терминах бесконечно малых.

A .

Замечание. Отметим, что A= f (x0).

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.

Геометрическая интерпретация. Предельное положение хорды, соединяющей точки графика, при x x0 называется касательной к графику функции f(x) в точке x0 .

=arctg=arctg f(x0).



4 1.png

Рис. 4.1

Для точек (x,y), лежащих на касательной будет выполнено равенство ,



. Тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке x0 равен ,. Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x0: .

4 2.png

Рис. 4.2

Последнее равенство можно сравнить с определением дифференцируемости в точке .

Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна: . Уравнение нормали в общем случае: .

Теорема ( Необходимое условие дифференцируемости ) Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Пример функции всюду дифференцируемой, имеющей разрыв производной в нуле.
4.1.2. Дифференциал функции

Главная линейная часть приращения функции Ax в определении дифференцируемости функции

f=f(x) - f(x0)=A(x - x0)+o (x – x0), xx0

называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается



df(x0)=f(x0)x= Ax.

Дифференциал зависит от точки x0 и от приращения x. На x при этом смотрят, как на самостоятельное переменное, так что в каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения x.

Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x , то получим dx=x, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.



4 3.png

Рис. 4.3

4.1.3.Основные правила дифференцирования

    1. f=const, f=0, df=0x=0.

    2. f=u+v, f=u+v, df = du+dv.

    3. f=uv, f=uv+vu, df = u dv + v du.

Следствие. (cf(x))=cf(x), (c1f1(x)+…+cnfn(x))= c1f1(x)+…+ cn fn(x)

    1. f=u/v, v(x0)0 и производная существует, то f=(uv-vu)/v2.

Для краткости будем обозначать u=u(x), u0=u(x0), тогда

=

Переходя к пределу при x 0 получим требуемое равенство.


    1. Производная сложной функции.

Теорема. Если существуют f(x0), g(x0) и x0=g(t0), то в некоторой окрестности t0 определена сложная функция f(g(t)), она дифференцируема в точке t0 и



Доказательство.

f(x) - f(x0)=f(x0)(x-x0)+(x)(x-x0), xU(x0).

Можно считать (x0)=0.



f(g(t))- f(g(t0))= f(x0)( g(t)- g(t0))+( g(t))( g(t)- g(t0)).

Поделим обе части этого равенства на (t - t0) и перейдем к пределу при tt0.



    1. Вычисление производной обратной функции.

Теорема. Пусть f непрерывна и строго монотонна на [a,b]. Пусть в точке x0(a,b) существует f(x0) 0, тогда обратная функция x=f -1(y) имеет в точке y0 производную, равную



Доказательство. Считаем f строго монотонно возрастающей, тогда f -1(y) непрерывна, монотонно возрастает на [f(a),f(b)]. Положим y0=f(x0), y=f(x), x - x0=x,

y - y0=y. В силу непрерывности обратной функции y0  x0, имеем

. Переходя к пределу, получим требуемое равенство.

7) Производная четной функции нечетна, производная нечетной функции четна.

Действительно, если x - x0 , то -x x0, поэтому



Для четной функции для нечетной функции



.

4.1.4.Производные элементарных функций

1) f=const, f(x)=0.

2) f(x)=x, f(x)=1.

3) f(x)=ex, f(x)= ex ,



  1. f(x)=ax, (ax) = ax ln a.

  2. ln a.

  3. f(x)=ln x ,,

Следствие. (производная четной функции нечетна)

6)



7) (x)=x -1, x>0, x=e ln x.

8) (sin x)=cos x,

9) (cos x)=-sin x, (cos x)=(sin(x+/2))= cos(x+/2)=-sin x.

10) (tg x)=1/cos2x.

11) (ctg x)=-1/sin2x.

12).

.

13) .



.

14) .



.

15)



.

  1. sh x, ch x.

.

.
4.1.5. Логарифмическое дифференцирование

f(x), , откуда следует, что f(x)=f(x)(ln f(x)) .

Ту же формулу можно получить иначе f(x)=eln f(x), f=eln f(x)(ln f(x)).

Пример. Вычислить производную функции f=xx.

=xx= xx= xx= xx(ln x +1).

4.1.6.Функции, заданные параметрически

Геометрическое место точек на плоскости



.

будем называть графиком функции, заданной параметрически. Говорят также о параметрическом задании функции.



Замечание 1. Если x, y непрерывны на [,] и x(t) строго монотонна на отрезке [,] (например, строго монотонно возрастает), то на [a,b] , a=x(), b=x() определена функция f(x)=y(t(x)), где t(x)обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции

.

Если область определения [,] параметрически заданной функции можно разбить на конечное число отрезков [k ,k ], k=1,2,…,n, на каждом из которых функция x(t) строго монотонна, то параметрически заданная функция распадается на конечное число обычных функций fk(x)=y(t -1(x)) с областями определения [x(k ), x(k )] для участков возрастания x(t) и с областями определения [x(k), x(k )] для участков убывания функции x(t). Полученные таким образом функции называются однозначными ветвями параметрически заданной функции.

На рисунке показан график параметрически заданной функции

При выбранной параметризации область определения [0,2] разбивается на пять участков строгой монотонности функции sin(2t), именно: t t, t, t , и, соответственно, график распадется на пять однозначных ветвей, соответствующих этим участкам.



4 4.png

Рис. 4.4







4 5.png

Рис. 4.5
Можно выбрать другую параметризацию того же геометрического места точек

.

В этом случае таких ветвей будет только четыре. Они будут соответствовать участкам строгой монотонности t , t , t , t функции sin(2t).



4 6.png

Рис. 4.6

Четыре участка монотонности функции sin(2t) на отрезке длинной .



4 7.png

Рис. 4.7

Изображение обоих графиков на одном рисунке позволяет приблизительно изобразить график параметрически заданной функции, используя участки монотонности обеих функций.

Рассмотрим для примера первую ветвь, соответствующую отрезку t . На концах этого участка функция x=sin(2t) принимает значения -1 и 1 , поэтому эта ветвь будет определена на [-1,1] . После этого нужно смотреть на участки монотонности второй функции y=cos(t), у нее на два участка монотонности . Это позволяет сказать, что у первой ветви имеется два участка монотонности. Найдя концевые точки графика можно соединить их прямыми для того, чтобы обозначить характер монотонности графика. Проделав это с каждой ветвью, получим участки монотонности однозначных ветвей графика (на рисунке они выделены красным цветом)

4 8.png

Рис. 4.8

Первая однозначная ветвь f1(x)=y(t(x)) , соответствующая участку будет определена для x[-1,1]. Первая однозначная ветвь t, x[-1,1].

Все остальные три ветви будут иметь областью определения тоже множество [-1,1].

4 9.png
Рис. 4.9

Вторая ветвь tx[-1,1].



4 10.png

Рис. 4.10

Третья ветвь t x[-1,1]



4 11.png

Рис. 4.11
Четвертая ветвь tx[-1,1]

4 12.png

Рис. 4.12
Замечание 2. Одна и та же функция может иметь различные параметрические задания. Различия могут касаться, как самих функций x(t), y(t) , так и области определения [,] этих функций.

Пример различных параметрических заданий одной и той же функции



и t[-1, 1].

Замечание 3. Если x,y непрерывны на [,] , x(t)- строго монотонна на отрезке [,] и существуют производные y(t0), x(t0)0, то существует f(x0)=.

Действительно, .

Последнее утверждение распространяется и на однозначные ветви параметрически заданной функции.
4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
Старшие производные и дифференциалы. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Формула Лейбница.
4.2.1.Производные высших порядков

Определение. Пусть f(x) определена на (a,b) и имеет в некоторой окрестности точки x0(a,b) производную g(x)=f(x). Если в точке x0 существует g( x0), то она называется производной второго порядка от f в точке x0 и обозначается f(x0). Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)- го порядка

Обозначение Лейбница

Отметим, что для существования n-ой производной в точке, предыдущая (n-1)-я производная должна существовать в некоторой окрестности.

Аналогично определяются односторонние производные старших порядков.



Функция f называется n-раз дифференцируемой на X, если в каждой точке X существует n-ая производная.

f называется n-раз непрерывно дифференцируемой на X, если n-ая производная на X существует и непрерывна на X.

Классы C(X), C[a,b], Cn(X), Cn[a,b].



Cn(X) – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых на X функций.

Cn[a,b] – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций. C(X)-множество всех непрерывных на X функций.

C[a,b]-множество всех непрерывных на [a,b] функций.

Пример. Вычисление второй производной функции, заданной параметрически



, x(t) строго монотонна,

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Пример. Вычислить для функции



4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно

Обозначим через F(x,y) некоторое выражение, содержащее параметры x, y. Говорят, что задана функция двух переменных. Функцией, заданной неявно уравнением



F(x,y)=0 (1)

называется любая функция y=f(x) с областью определения X , при подстановке которой в левую часть (1), это равенство превращается в тождество:

xX:F(x, f(x))=0.

Такие функции называется также однозначными ветвями неявно заданной функции.

Для вычисления производной y(x) функции, заданной неявно уравнением (1) достаточно продифференцировать тождество F(x, f(x))=0 по переменному x. В результате такого дифференцирования всегда будет получаться соотношение вида

A(x,y)+B(x,y)y=0 , (2)

где A(x,y), B(x,y) будут представлять собой некоторые выражения, включающие в себя x и y . Из равенства (2) можно найти выражение для y в нужной точке.

Пример 1: x2+y2=1, найти .

2x+2yy=0, y=. Для нахождения второй производной следует использовать равенство x+yy=0, дифференцируя которое, получим 1+(y)2+yy=0, откуда следует y=

Пример 2: xy+exy=0.

4.2.3. Формула Лейбница

под «нулевыми» производными подразумеваются сами функции .

Индукция по n. Для n=1 формула верна (fg)=fg+gf. Предположим, что формула доказана для n. Вычислим (n+1)-ю производную









.

Пример: найти f(100)(x) для функции f(x) = x2ex.



4.2.4. Дифференциалы высших порядков

dx=x=x - x0 , dy=f(x0)dx, x-независимое переменное.

Определение. d 2f = f dx2, dx=x,

d nf=d(d n-1 f)=d(f (n-1)dxn-1)=f (n)dxn.

При вычислении последующих дифференциалов приращение dx=x берется одно и то же.

Из определения следует, что



, что согласуется с обозначением Лейбница для производной.

Замечание. Если xнезависимое переменное, то dn x = 0, при n=2,3,…

Простейшие свойства дифференциалов



  1. d(u+v)=du+dv, d(uv)=udv+vdu ,

  2. dn(cu)=c dn u, c=const.

  3. dn(u+v)=dn u+ dn v.

  4. d0u=u, d0v=v.


4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Пусть задана сложная функция y=F(t)=f(g(t)), y=f(x), x=g(t).



dy=(f(g(t)) dt=f(x)g(t)dt=f(x)dg=f(x)dx. Вид первого дифференциала такой же, как если бы x являлось независимой переменной. Это свойство называется свойством инвариантности дифференциала первого порядка.

Для дифференциалов высших порядков свойства инвариантности, вообще говоря, нет.



dy=fdx, d2y=fdx2+fd 2x, например, для функции x=t2, второй дифференциал d 2x  0.

Замечание. (Важный частный случай, когда свойство инвариантности наблюдается и для старших дифференциалов). В случае, когда внутренняя функция суперпозиции линейна, свойство инвариантности сохраняется для дифференциалов произвольных порядков.

d ny, y=f(x), x=at+b, dx = a dt, d 2x=…=d nx=0. Таким образом,

n-ый дифференциал d nf=f(n)dxn имеет такой же вид, как и в случае независимого переменного x.

4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно

Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением



F(x,y)=0

и пусть y=f(x) однозначная ветвь этой функции с областью определения X.

Для вычисления дифференциала dy(x0) функции достаточно продифференцировать равенство . В результате такого дифференцирования получится соотношение вида

A(x,y)dx+B(x,y)dy=0,

где A(x,y), B(x,y) будут представлять собой некоторые выражения, включающие в себя x и y . Из последнего соотношения можно найти выражение для dy в нужной точке.

Пример 1: x2+y2=1, найти d2y.

2xdx+2ydy=0, dy=dx. Для нахождения второго дифференциала следует использовать равенство xdx+ydy=0, дифференцируя которое, получим



dxdx+xd2x+dydy+yd2y=0 или dx2+dy2+ yd2y=0 , откуда получаем d2y=.

4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теормы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной

Теорема. Если f(x) – определена на (a,b) и дифференцируема в точке x0(a,b), принимает в точке x0 наибольшее или наименьшее значение, то f(x0)=0.

Доказательство. Для случая наименьшего значения

f(x0+0)= 0, f(x0-0)=  0 откуда следует, что f(x0)=0.
Геометрическая интерпретация. Во внутренних точках, где функция принимает наибольшее или наименьшее значение, касательная к графику функции будет горизонтальна.

4 13.png

Рис. 4.13

4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b). Тогдаx0(a,b):f(x0)=0.

Доказательство. Положим ,



. Хотя бы одна из точек x1, x2 будет внутренней () и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.

4 14.png

Рис. 4.14

4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то

(a,b):f(b)-f(a)=f()(b-a).



Доказательство. Рассмотрим функцию

. Для этой функции F(a)=F(b)=0, и к ней применима теорема Ролля

.

Геометрическая интерпретация.

Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика функции.

4 15.png

Рис. 4.15

Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f(x)0 на (a,b), то f(x)const.

Применяя теорему к произвольному отрезку [a,x], где x произвольная фиксированная точка, получим f(x) - f(a)=f()(x - a)=0, т.е. f(x) = f(a).



Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f(x)=g(x) на (a,b), то f(x)=g(x)+ const.

4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях

Теорема. Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует (a,b) такая, что

.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = g(x)(f(b) - f(a)) - f(x)(g(b) - g(a)).

Для этой функции будет выполнено



F(a)= g(a)(f(b) - f(a)) - f(a)(g(b) - g(a))= g(a)f(b) - f(a)g(b) ,

F(b)= g(b)(f(b) - f(a)) - f(b)(g(b) - g(a))= - f(a)g(b) +g(a)f(b), таким образом, F(a)=F(b)

и к этой функции применима теорема Ролля: существует точка (a,b) для которой выполняется равенство

0=F(b)-F(a)=F()(b-a)=[g()(f(b)-f(a))-f()(g(b)-g(a))](b-a).

Следствие. Если g(x)0 на (a,b), то .

Доказательство. Если g(x)0 , то g(b)-g(a) 0. Иначе, в случае g(b)=g(a), по теореме Ролля нашлась бы точка  , где g()=0.

4.4 Правило Лопиталя

Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.

4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0

Дано: f(x), g(x) определены на (x0,b) и

1)

2) f, g дифференцируемы на (x0,b).

3) g(x)0 на (x0,b).



Тогда , если существует конечный или бесконечный предел .

Доказательство. Доопределим функции f и g в точке x0 по непрерывности нулем: f(x0)=g(x0)=0. По теореме Коши, примененной к отрезку [x0,x], будет существовать (x): x0<(x)< x и , из условия x0<(x) следует, что , причем (x)x0, если xx0. Тогда . Последнее равенство справедливо по теореме о существовании предела суперпозиции, ч.т.д.

Замечание. Аналогично, это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для x x0.

Следствие 1. Если

1) Существуют f(k) ,g(k), k=1,2,…,n на (x0,b).

2) , k=0,1,…,n-1.

3) Существуeт g(n)(x)0 на (x0,b), то





если существует, конечный или бесконечный.

Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a,,то

если последний существует, конечный или бесконечный.

Доказательство. Сделаем замену



Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x -.
4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /

f,g определены на (x0,b) и

1) .

2) f, g дифференцируемы на (x0,b).

3) g(x)0 на (x0,b).

Тогда , если последний существует конечный или бесконечный.

Без доказательства.



Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x x0 - 0, x x0, x +, x -.

4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших

В некоторых случаях порядок бесконечно малой или бесконечно большой можно определить, последовательно вычисляя производные. Предположим, что f(x)бесконечно малая при x x0 и в точке x0 обращаются в ноль все производные до (n-1)-го порядка включительно f(x0)=0, f(x0)=0,…, и . В этом случае порядок этой бесконечно малой будет равен n . При этом главная часть будет равна . Это утверждение следует из равенства , в котором в качестве функции g(x) берется (x-x0)n.



.

Похожее утверждение можно сформулировать и для бесконечно больших функций.

Пример: Выделить главную часть функции

f(x)= 3sh x - 3sin xx3 при x 0.

f(x)==0, f(x)==0,

f(x)==0, f(4)(x)==0,

f(5)(x)==0, f(6)(x)==0,

f(7)(x)==60.

Таким образом, порядок этой бесконечно малой равен 7 и f(x)x7=, x0.



4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1, 00, 0,  - 

Неопределенности вида 0 сводятся к уже рассмотренным ранее.

Примеры.

1) .

2) .

3) .

4)  - 

.

Можно, например, так

5) Неопределенности вида 1, 00, 0 сводятся к уже рассмотренным ранее логарифмированием

y=uv=ev ln u

Пример1..Вычисление. . Этот предел рассматриваем, как , где , а . Из теоремы о существовании предела суперпозиции двух функций следует, что . Далее , заменяя знаменатель на эквивалентную бесконечно малую получим:



==

=. Таким образом, .

Пример 2. . Представим функцию в следующем виде: и вычислим предел


4.5 Формула Тейлора
Формула Тейлора. Различные остатки в формуле Тейлора.
4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn

Пусть у функции f существует f(n)(x0) ( это предпологает существование всех производных до (n-1)-го порядка в некоторой окрестности U=(x0-a,x0+a) точки x0 ). Многочленом Тейлора в точке x0 называется многочлен вида



Производные многочлена Тейлора будут равны:



(1)

Из (1) следует



= (2)

В частности, из дифференцируемости функции в точке получаем:



=. (3)

Далее, из (1) получается замечательное свойство многочлена Тейлора: он имеет в точке такие же производные, что и сама функция до порядка включительно («нулевая производная» - это сама функция):



Pn(x0)=f(x0), (4)

В частности, , k=0,1,…,n-1.

Обозначим Rn(x)=f(x) - Pn(x), тогда

(5)

Выражение (5) называется формулой Тейлора функции f в окрестности точки x0 с остаточным членом Rn. Основная задача будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок форме.

Пример. Для функции найти многочлен , имеющий такие же прозводные в точке , что и , до 5-го порядка включительно.

4.5.2. Остаток в форме Пеано

Теорема 1. Если у функции f(x) существует f(n)(x0), то имеет место равенство

.

Другими словами

(6)

Доказательство. Для краткости будем обозначать R(x)=Rn(x), тогда можно выписать следующие равенства для последующего использования по правилу Лопиталя

(10)

(11)


(1m)



(1n-1)

Как уже отмечалось (формула (3))





По правилу Лопиталя





Теорема 2. (Единственность представления функции по формуле Тейлора) Если f имеет n–ю производную в точке x0 и

, то
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛеонард эйлер (1707—1783)
Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconИштирякова д. К
Математика. Часть Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие /...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconУважаемый студент! Вы изучили разделы математики: линейная алгебра, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и теория вероятностей
...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛ. С. Гордеев Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconТема Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛитература по дисциплине «Математический анализ»
Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Высшая школа, 1993
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconД. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconТема Дифференциальное исчисление функции одного аргумента. Применение производной к исследованию функции

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление icon§ Определение производной. Дифференцирование функций
Цель предлагаемой работы ЎЄ помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org