Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление

Скачать 1.66 Mb.

страница	7/8
Дата	26.07.2014
Размер	1.66 Mb.
Тип	Документы

1 2 3 4 5 6 7 8

Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x₀ выполнено неравенство f(x)< f(x₀).

Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.

Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум.

Экстремум строгий: в точке строгий локальный минимум или строгий локальный максимум. Это можно сформулировать, как сохранение знака приращения функции f(x) – f(x₀) в некоторой проколотой окрестности точки x₀ .

Теорема ( Необходимое условие экстремума ).

Если x₀ – точка экстремума функции f и существует f(x₀), то f(x₀)=0.

Доказательство. Следует из теоремы Ферма.

Определение. Точка, в которой f(x₀)=0 называется стационарной точкой.

Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум следует искать среди стационарных точек.

Пример. f(x)=x³.

Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума )

Пусть f непрерывна в точке x₀. Если в некоторой проколотой окрестности точки x₀ функция f(x) дифференцируема и f(x) меняет знак при переходе через точку x₀ , то x₀ есть точка строгого экстремума, причем

производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум,

производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум.

Доказательство. Применить теорему 3 на [x₀-, x₀] и на

[x₀, x₀+].

Другими словами, теорему можно сформулировать так: Если f непрерывна в x₀, дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x₀ причем f(x)0 на (x₀-, x₀), f(x)0 на (x₀, x₀+),

тогда в точке x₀ локальный минимум. Аналогично, для максимума достаточно выполнения условий:

f(x)  0 на (x₀-, x₀), f(x)  0 на (x₀, x₀+).

Пример. |x|.

Теорема (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть x₀ – стационарная точка функции f и  f(x₀)0, тогда, если f(x₀)>0, то в точке строгий минимум, если f(x₀)<0, то в точке строгий максимум

Доказательство. Пусть f(x₀)>0,

Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности будет выполнено неравенство

, или

. Тогда для x > x₀ будет

f(x) > 0 , а для x < x₀: f(x) < 0.

Аналогично для случая f(x₀)<0.

Задача. Из квадратного листа сделать выкройку коробки, открытой сверху, наибольшего объема
4 16.png

Рис. 4.16
Объем коробки равен (a-2x)²x. Для поиска максимального объема вычислим производную

f(x)=( 4x³- 4ax² +a²x)= 12x² - 8ax+ a² . Нули производной

Таким образом, x = .

Рис. 4.17
4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных

Пусть x₀ стационарная точка функции f, f(x) n-раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ причем

f(x₀)= f(x₀)=…= f⁽ⁿ^-1)(x₀)=0, f⁽ⁿ⁾(x₀)0. В этом случае по формуле Тейлора с остатком Лагранжа будет выполнено равенство

n=2k

Если f⁽²^k⁾(x₀)>0 , то в x₀ наблюдается строгий локальный min.

Если f⁽²^k⁾(x₀)<0 , то в x₀ наблюдается строгий локальный max.

n=2k+1

x₀ не является точкой экстремума, так как приращение функции f(x) – f(x₀) имеет разные знаки по разные стороны от точки x₀.

Пример f(x) = ch x + cos x -, в точке 0.

f(x)=sh x – sin x -

, f (0)=0,

f(x)=ch x – cos x –x², f(0)=0,

f(x)=sh x + sin x –2x, f(0)=0,

f⁽⁴⁾(x)=ch x + cos x –2, f⁽⁴⁾ (0)=0,

f⁽⁵⁾(x)=sh x - sin x, f⁽⁵⁾ (0)=0,

f⁽⁶⁾(x)=ch x - cos x, f⁽⁶⁾ (0)=0,

f⁽⁷⁾(x)=sh x + sin x, f⁽⁷⁾ (0)=0,

f⁽⁸⁾(x)=ch x + cos x, f⁽⁸⁾ (0)=2 >0 . Поэтому в точке 0 имеется строгий локальный min .

4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба

Хорда, соединяющая точки M₁(x₁, f(x₁)), M₂(x₂, f(x₂)) графика функции f(x) задается функцией

y=L(x, x₁, x₂ ) =

(*)

Это проверяется подстановкой координат x₁, x₂ в правую часть (*).

Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх на [a,b], если для x₁₂ из [a,b]

(1)

Рис. 4.18
Аналогично определяется выпуклая вниз функция. Можно дать определение строгой выпуклости, заменив нестрогое неравенство на строгое в (1) .

Теорема ( Достаточное условие выпуклости )

Если f непрерывна на [a,b], дважды дифференцируема на (a,b) и f(x)>0 на (a,b), то f строго выпукла вниз.

Доказательство. Для любых , ax₁<x₂b имеем

=
Участвующие в этих соотношениях величины расположены на оси в показанном на рисунке порядке.

Рис. 4.19

Определение. Точка x₀ называется точкой перегиба функции f, если в точке x₀ существует касательная и в некоторой окрестности точки x₀ график f лежит по разные стороны от касательной.

Рис. 4.20
Теорема 1. ( Необходимое условие точки перегиба )

Если f дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки перегиба x₀, то f(x₀)=0.

Доказательство. Противное f(x₀)  0. По теореме о сохранении знака f(x) сохраняет знак в окрестности точки x₀ . По формуле Тейлора с остатком Лагранжа
Левая часть этого равенства имеет смысл уклонения точки графика функции от касательной. Это, в свою очередь, означает, что график функции лежит с одной стороны от касательной. не меняет знак.

Рис. 4.21
Теорема 2 ( Достаточное условие точки перегиба )

f(x) в U(x₀) и f(x₀)=0

f меняет знак при переходе через точку x₀ .

Тогда x₀ точка перегиба.

Доказательство. По формуле Тейлора с остатком Лагранжа

.

Следствие. Если f(x₀)=0 и f(x₀) 0, то x₀ – точка перегиба.

Доказательство. При данных условиях f будет монотонной, и будет менять знак при переходе через x₀.

4.6.5. Асимптоты функций

Определение. Пусть f определна на полуоси x>c. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x+ , если .

Пусть f определна на полуоси x < c . Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x-, если .
Пример.

В дальнейшем рассматривается лишь случай +.

Теорема. Пусть f(x) определена на [c,+ ). Для того, чтобы прямая y=ax+b была асимптотой функции f необходимо и достаточно, чтобы
1)

2)

Пример.

Рис. 4.22
Наклонные асимптоты: в + линия y= - x+1, в - линия y = x+1.

Вертикальная асимптота

Функция f определена на (a,a+). Линия x=a называется вертикальной асимптотой, если , аналогично при xa - 0.

Для нахождения наклонных асимптот параметрически заданных функций поступают похожим образом. Вначале разыскиваются значения параметра t₀ , для которых и . Далее коэффициенты наклонной асимптоты находятся из соотношений

1)

2) (y(t) – a x(t)) = b ,

при условии, что указанные пределы существуют.

Для нахождения вертикальной асимптоты вида x=x₀ параметрически заданных функций находят t₀ такие, что , . Для горизонтальной асимптоты ,

4.6.6. Общая схема построения графиков
Можно рекомендовать следующую последовательность исследования поведения функции.

1 Область определения. Симметрия ( четность, нечетность ). Периодичность.

2 Асимптоты

3 Интервалы монотонности, экстремумы ( заполняется таблица, как показано ниже )

4 Дополнительные исследования ( если необходимо, выпуклость, точки перегиба, пересечение с осями и т. п. )

Замечание. Отыскание глобальных максимумов и минимумов на отрезке производится среди точек трех типов:

стационарные точки

особые точки (где не существует производная)

граничные точки.

Пример.

Асимптоты y/x1, x

при x .
Асимптота y=x-1

Особые точки ( в первом приближении только для первой производной ) 0,2,3

Рис. 4.23
Таблица для построения графика функции

t

(-,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,)

+

+

-

x

-  -3

-3

-3  1

1

1  -

Диапазон x

(-,-3)

(-3,1)

(-,1)

dy/dx

-

0

+

3

+

y(x)

-2

-2

-22

2

-2

d²y/dx²

+

+

-

Пример. Исследовать поведение кардиоиды r = 2(1 + cos t) в окрестности точек t = 0, t =  .

=.

=
Для нахождения точек перегиба полезно методом сложения графиков построить приблизительно график функции . Из этого графика видно, что направление выпуклости меняется в районе точек и точки (из за знаменателя). Около точки числитель не меняет знак, а знаменатель меняет, так образом, это тоже точка перегиба.

Рис. 4.24

Рис. 4.25
Глава 5. Элементы теории кривых
5.1 Векторная функция скалярного аргумента
Кривые на поскости и в пространстве. Векторная функция.

5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
На плоскости

, r(t)=x(t)i+y(t)j .
В пространстве

, r(t)=x(t)i+y(t)j +y(t)k .
Операции над вектор функциями

1) p(t), q(t) p(t)+ q(t).

2) (t)r(t).

3) Скалярное произведение (p(t) , q(t)).

4) В трехмерном пространстве определено векторное произведение [ p(t) , q(t) ].

5.1.2. Предел вектор функции
Определение

r(t)=a
Или, что тоже, |r(t) – a|=0 .

Замечание 1. Это определение не зависит от выбора базиса i , j , k.
Геометрическая интерпретация.

Рис. 4.26

Теорема. (Критерий существования предела вектор функции) Для существования предела

r(t) = a необходимо и достаточно существования пределов координат вектор функции

r(t) = a

Доказательство. Для заданного значения параметра t обозначим
(t) = max{|x(t)-a_x|,| y(t)-a_y |,| z(t)-a_z |}. Для любого t справедливо неравенство

(t)  =|r(t) – a|.

С другой стороны |r(t)–a|=

 (t).
Из этих неравенств и следует требуемое утверждение.

Замечание 2. Для существования предела необходимо требовать, чтобы r(t) была определена в некоторой проколотой окрестности точки t₀. Можно рассматривать односторонние производные.
Из теорем о пределах функций, с помощью доказанного критерия, получаются соответствующие теоремы для пределов вектор функций. Перечислим некоторые из них.

Предел, если он существует, единственен.

Предел суммы и произведения на обычную функцию

( p(t)+q(t) )= p(t)+q(t).

((t) p(t))=(t)p(t).
3) (p(t) , q(t))=(a , b).

a=p(t) , b = q(t) .
Доказательство. Пусть p(t)=,q(t)= , a=, b = . Тогда ( p(t),q(t))== ( a , b ).

4) [ p(t) , q(t)]=[ a , b ] , если a=p(t) , b = q(t) .

Для краткости введем обозначения:

.
[p(t),q(t)]= [ a , b ].

5.1.3. Непрерывность вектор функции

r(t) определена на [,] и t₀(,)

r(t) непрерывна, если r(t) = r(t₀)
Аналогично определяется непрерывность справа, слева.

Непрерывность на множестве.

Свойства

p(t) , q(t) , (t) непрерывны в точке t₀  непрерывны p(t) + q(t), (t)p(t) ,( p(t), q(t)), [ p(t) , q(t)] .

5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
Пусть r(t) определена в окрестности точки t₀.

Производной в точке t₀ называется нижеследующий предел, если он существует,

r(t)=(r(t) – r(t₀))/(t – t₀).

Теорема. Производная вектор функции r(t) в точке t₀ существует тогда и только тогда, когда существуют x(t₀), y(t₀), z(t₀) и r(t₀)=.
Утверждение следует из критерия существования предела вектор функции.

Замечание. Если у r(t) существует r(t₀) в точке t₀, то r(t) непрерывна в этой точке.

Определение. Векторная функция r(t) называется дифференцируемой в точке t₀, если в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство

r(t) - r(t₀) =a(t – t₀) +(t) (t – t₀), (1)

где (t) = 0.
Векторная функция a t = a (t – t₀) = a dt называется дифференциалом функции r(t) в точке t₀и обозначается dr = a dt .

Условие (1) можно записать в координатной форме

(2)

где a =(a_x, a_y, a_z),  = (_x , _y , _z ) .

Теорема. Дифференцируемость r(t) в точке t₀ эквивалентна дифференцируемости в точке t₀ координат функции r(t).

Следствие. Для дифференцируемости r(t) в точке t₀ необходимо и достаточно существование r(t₀).
Геометрический смысл производной r(t):

Рис. 4.27

5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций

1) ( r) =r +  r.
2) (r₁ + r₂ ) = (r₁ + r₂ ).

3) (r₁, r₂ ) = (r₁ , r₂ ) + (r₁ , r₂ ).

Для краткости будем рассматривать плоские вектора.

r₁=, r₂=. Тогда (r₁,r₂)=

и (r₁, r₂ )=

=
==

=(r₁ , r₂ ) + (r₁ , r₂ ).

4) [r₁, r₂ ] = [r₁ , r₂ ] + [r₁ , r₂ ].

5.1.6. Гладкие кривые