Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление



страница7/8
Дата26.07.2014
Размер1.66 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8

Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)< f(x0).

Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.


Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум.

Экстремум строгий: в точке строгий локальный минимум или строгий локальный максимум. Это можно сформулировать, как сохранение знака приращения функции f(x) – f(x0) в некоторой проколотой окрестности точки x0 .

Теорема ( Необходимое условие экстремума ).

Если x0 – точка экстремума функции f и существует f(x0), то f(x0)=0.

Доказательство. Следует из теоремы Ферма.

Определение. Точка, в которой f(x0)=0 называется стационарной точкой.

Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум следует искать среди стационарных точек.

Пример. f(x)=x3.



Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума )

Пусть f непрерывна в точке x0. Если в некоторой проколотой окрестности точки x0 функция f(x) дифференцируема и f(x) меняет знак при переходе через точку x0 , то x0 есть точка строгого экстремума, причем

производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум,

производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум.

Доказательство. Применить теорему 3 на [x0-, x0] и на

[x0, x0+].

Другими словами, теорему можно сформулировать так: Если f непрерывна в x0, дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x0 причем f(x)0 на (x0-, x0), f(x)0 на (x0, x0+),

тогда в точке x0 локальный минимум. Аналогично, для максимума достаточно выполнения условий:



f(x)  0 на (x0-, x0), f(x)  0 на (x0, x0+).

Пример. |x|.



Теорема (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть x0 – стационарная точка функции f и  f(x0)0, тогда, если f(x0)>0, то в точке строгий минимум, если f(x0)<0, то в точке строгий максимум

Доказательство. Пусть f(x0)>0,

Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности будет выполнено неравенство



, или . Тогда для x > x0 будет

f(x) > 0 , а для x < x0 : f(x) < 0.

Аналогично для случая f(x0)<0.

Задача. Из квадратного листа сделать выкройку коробки, открытой сверху, наибольшего объема
4 16.png

Рис. 4.16
Объем коробки равен (a-2x)2x. Для поиска максимального объема вычислим производную

f(x)=( 4x3- 4ax2 +a2x)= 12x2 - 8ax+ a2 . Нули производной

Таким образом, x = .



4 17.png

Рис. 4.17
4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных

Пусть x0 стационарная точка функции f, f(x) n-раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 причем



f(x0)= f(x0)=…= f(n-1)(x0)=0, f(n)(x0)0. В этом случае по формуле Тейлора с остатком Лагранжа будет выполнено равенство .

  1. n=2k

Если f(2k)(x0)>0 , то в x0 наблюдается строгий локальный min.

Если f(2k)(x0)<0 , то в x0 наблюдается строгий локальный max.



  1. n=2k+1

x0 не является точкой экстремума, так как приращение функции f(x) – f(x0) имеет разные знаки по разные стороны от точки x0 .

Пример f(x) = ch x + cos x -, в точке 0.



f(x)=sh x – sin x - , f (0)=0,

f(x)=ch x – cos x –x2, f(0)=0,

f(x)=sh x + sin x –2x, f(0)=0,

f(4)(x)=ch x + cos x –2, f(4) (0)=0,

f(5)(x)=sh x - sin x, f(5) (0)=0,

f(6)(x)=ch x - cos x, f(6) (0)=0,

f(7)(x)=sh x + sin x, f(7) (0)=0,

f(8)(x)=ch x + cos x, f(8) (0)=2 >0 . Поэтому в точке 0 имеется строгий локальный min .

4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба

Хорда, соединяющая точки M1(x1, f(x1)), M2(x2, f(x2)) графика функции f(x) задается функцией



y=L(x, x1, x2 ) =+ (*)

Это проверяется подстановкой координат x1, x2 в правую часть (*).



Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх на [a,b], если для x12 из [a,b]

(1)

4 18.png

Рис. 4.18
Аналогично определяется выпуклая вниз функция. Можно дать определение строгой выпуклости, заменив нестрогое неравенство на строгое в (1) .

Теорема ( Достаточное условие выпуклости )

Если f непрерывна на [a,b], дважды дифференцируема на (a,b) и f(x)>0 на (a,b), то f строго выпукла вниз.

Доказательство. Для любых , ax1<x2b имеем

=

Участвующие в этих соотношениях величины расположены на оси в показанном на рисунке порядке.



4 19.png

Рис. 4.19

Определение. Точка x0 называется точкой перегиба функции f, если в точке x0 существует касательная и в некоторой окрестности точки x0 график f лежит по разные стороны от касательной.
4 20.png

Рис. 4.20
Теорема 1. ( Необходимое условие точки перегиба )

Если f дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки перегиба x0, то f(x0)=0.

Доказательство. Противное f(x0)  0. По теореме о сохранении знака f(x) сохраняет знак в окрестности точки x0 . По формуле Тейлора с остатком Лагранжа

Левая часть этого равенства имеет смысл уклонения точки графика функции от касательной. Это, в свою очередь, означает, что график функции лежит с одной стороны от касательной. не меняет знак.



4 21.png

Рис. 4.21
Теорема 2 ( Достаточное условие точки перегиба )

  1. f(x) в U(x0) и f(x0)=0

  2. f меняет знак при переходе через точку x0 .

Тогда x0 точка перегиба.

Доказательство. По формуле Тейлора с остатком Лагранжа

.

Следствие. Если f(x0)=0 и f(x0) 0, то x0 – точка перегиба.

Доказательство. При данных условиях f будет монотонной, и будет менять знак при переходе через x0 .

4.6.5. Асимптоты функций

Определение. Пусть f определна на полуоси x>c. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x+ , если .

Пусть f определна на полуоси x < c . Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x-, если .

Пример.


В дальнейшем рассматривается лишь случай +.



Теорема. Пусть f(x) определена на [c,+ ). Для того, чтобы прямая y=ax+b была асимптотой функции f необходимо и достаточно, чтобы

1)

2)

Пример.




4 22.png

Рис. 4.22

Наклонные асимптоты: в + линия y= - x+1, в - линия y = x+1.

Вертикальная асимптота

Функция f определена на (a,a+). Линия x=a называется вертикальной асимптотой, если , аналогично при xa - 0.

Для нахождения наклонных асимптот параметрически заданных функций поступают похожим образом. Вначале разыскиваются значения параметра t0 , для которых и . Далее коэффициенты наклонной асимптоты находятся из соотношений

1)

2) (y(t) – a x(t)) = b ,

при условии, что указанные пределы существуют.

Для нахождения вертикальной асимптоты вида x=x0 параметрически заданных функций находят t0 такие, что , . Для горизонтальной асимптоты ,



4.6.6. Общая схема построения графиков

Можно рекомендовать следующую последовательность исследования поведения функции.

1 Область определения. Симметрия ( четность, нечетность ). Периодичность.

2 Асимптоты

3 Интервалы монотонности, экстремумы ( заполняется таблица, как показано ниже )

4 Дополнительные исследования ( если необходимо, выпуклость, точки перегиба, пересечение с осями и т. п. )



Замечание. Отыскание глобальных максимумов и минимумов на отрезке производится среди точек трех типов:

  1. стационарные точки

  2. особые точки (где не существует производная)

  3. граничные точки.

Пример.

Асимптоты y/x1, x

при x .

Асимптота y=x-1



Особые точки ( в первом приближении только для первой производной ) 0,2,3


4 23.png

Рис. 4.23
Таблица для построения графика функции


t

(-,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,)



+




+




-

x

-  -3

-3

-3  1

1

1  -

Диапазон x

(-,-3)




(-3,1)




(-,1)

dy/dx

-

0

+

3

+

y(x)

-2

-2

-22

2

-2

d2y/dx2

+




+




-

Пример. Исследовать поведение кардиоиды r = 2(1 + cos t) в окрестности точек t = 0, t = .





=.









=

Для нахождения точек перегиба полезно методом сложения графиков построить приблизительно график функции . Из этого графика видно, что направление выпуклости меняется в районе точек и точки (из за знаменателя). Около точки числитель не меняет знак, а знаменатель меняет, так образом, это тоже точка перегиба.



4 24.png

Рис. 4.24











4 25 1.png

4 25 2.png


Рис. 4.25
Глава 5. Элементы теории кривых
5.1 Векторная функция скалярного аргумента
Кривые на поскости и в пространстве. Векторная функция.

5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями

На плоскости



, r(t)=x(t)i+y(t)j .

В пространстве



, r(t)=x(t)i+y(t)j +y(t)k .

Операции над вектор функциями

1) p(t), q(t) p(t)+ q(t).

2) (t)r(t).

3) Скалярное произведение (p(t) , q(t)).

4) В трехмерном пространстве определено векторное произведение [ p(t) , q(t) ].



5.1.2. Предел вектор функции

Определение



r(t)=a

Или, что тоже, |r(t) – a|=0 .



Замечание 1. Это определение не зависит от выбора базиса i , j , k.

Геометрическая интерпретация.



4 26.png

Рис. 4.26

Теорема. (Критерий существования предела вектор функции) Для существования предела

r(t) = a необходимо и достаточно существования пределов координат вектор функции

r(t) = a

Доказательство. Для заданного значения параметра t обозначим

(t) = max{|x(t)-ax|,| y(t)-ay |,| z(t)-az |}. Для любого t справедливо неравенство

(t)  =|r(t)a|.

С другой стороны |r(t)a|=



(t).

Из этих неравенств и следует требуемое утверждение.



Замечание 2. Для существования предела необходимо требовать, чтобы r(t) была определена в некоторой проколотой окрестности точки t0. Можно рассматривать односторонние производные.

Из теорем о пределах функций, с помощью доказанного критерия, получаются соответствующие теоремы для пределов вектор функций. Перечислим некоторые из них.



  1. Предел, если он существует, единственен.

  2. Предел суммы и произведения на обычную функцию

( p(t)+q(t) )= p(t)+q(t).

((t) p(t))=(t)p(t).

3) (p(t) , q(t))=(a , b).



a=p(t) , b = q(t) .

Доказательство. Пусть p(t)=,q(t)= , a=, b = . Тогда ( p(t),q(t))== ( a , b ).

4) [ p(t) , q(t)]=[ a , b ] , если a=p(t) , b = q(t) .

Для краткости введем обозначения:



.

[p(t),q(t)]= [ a , b ].



5.1.3. Непрерывность вектор функции

r(t) определена на [,] и t0(,)

r(t) непрерывна, если r(t) = r(t0)

Аналогично определяется непрерывность справа, слева.

Непрерывность на множестве.

Свойства


p(t) , q(t) , (t) непрерывны в точке t0 непрерывны p(t) + q(t), (t)p(t) ,( p(t), q(t)), [ p(t) , q(t)] .

5.1.4. Дифференцируемость вектор функции

Пусть r(t) определена в окрестности точки t0.



Производной в точке t0 называется нижеследующий предел, если он существует,

r(t)=(r(t)r(t0))/(t – t0).

Теорема. Производная вектор функции r(t) в точке t0 существует тогда и только тогда, когда существуют x(t0), y(t0), z(t0) и r(t0)=.

Утверждение следует из критерия существования предела вектор функции.



Замечание. Если у r(t) существует r(t0) в точке t0, то r(t) непрерывна в этой точке.

Определение. Векторная функция r(t) называется дифференцируемой в точке t0, если в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство

r(t) - r(t0) =a(t – t0) +(t) (t – t0), (1)

где (t) = 0.

Векторная функция a t = a (t – t0) = a dt называется дифференциалом функции r(t) в точке t0 и обозначается dr = a dt .

Условие (1) можно записать в координатной форме

(2)

где a =(ax, ay, az), = (x , y , z ) .



Теорема. Дифференцируемость r(t) в точке t0 эквивалентна дифференцируемости в точке t0 координат функции r(t).

Следствие. Для дифференцируемости r(t) в точке t0 необходимо и достаточно существование r(t0).

Геометрический смысл производной r(t):



4 27.png

Рис. 4.27

5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций

1) ( r) =r + r.

2) (r1 + r2 ) = (r1+ r2 ).

3) (r1 , r2 ) = (r1, r2 ) + (r1 , r2 ).

Для краткости будем рассматривать плоские вектора.



r1= , r2=. Тогда (r1,r2)=

и (r1 , r2 )=

=

==

=(r1, r2 ) + (r1 , r2 ).

4) [r1 , r2 ] = [r1 , r2 ] + [r1 , r2 ].



5.1.6. Гладкие кривые
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛеонард эйлер (1707—1783)
Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconИштирякова д. К
Математика. Часть Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие /...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconУважаемый студент! Вы изучили разделы математики: линейная алгебра, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и теория вероятностей
...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛ. С. Гордеев Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconТема Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛитература по дисциплине «Математический анализ»
Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Высшая школа, 1993
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconД. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconТема Дифференциальное исчисление функции одного аргумента. Применение производной к исследованию функции

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление icon§ Определение производной. Дифференцирование функций
Цель предлагаемой работы ЎЄ помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org