Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление



страница8/8
Дата26.07.2014
Размер1.66 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8

Определение. Кривая


 : tT

называется непрерывной, если непрерывны x(t), y(t), z(t). (Можно определять непрерывность в точке или на множестве).

Для заданной параметризации t[ , ] начало кривой – точка A(x(),y(),z()), конец кривой – точка B(x(),y(),z()).

Замкнутая кривая это кривая, у которой конец совпадает с началом.

Кривая называется непрерывно дифференцируемой, если функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы.

Гладкой называется кривая, которая непрерывно дифференцируема и для которой выполнено условиеt : r(t)0.

Кусочно гладкая кривая – кривая, которая непрерывна и состоит из конечного числа гладких кусков.
5.2 Длина кривой
Длина кривой. Спрямляемость.
5.2.1.Спрямляемая кривая

Разбиенем отрезка [,] называется набор точек t0 , t1 ,…. tn таких, что =t0< t1<….< tn=. Разбиение отрезка будем обозначать ={=t0< t1<….< tn= } .

Пусть  : r(t) -непрерывно дифференцируемая на [,] кривая и ={=t0< t1<….< tn= } – некоторое разбиение отрезка [,]. Для данного разбиения можно построить вписанную ломаную с узлами в точках Ak=(x(tk), y(tk), z(tk)), k=0,1,…,n. Радиус вектор в точку Ak обозначим rk. Длину ломаной обозначим (,)

(,)=|rk+1rk|

5 1.png

Рис. 5.1

рисунок для плоского случая



Определение. Кривая называется спрямляемой, если конечна точная верхняя грань , где точная верхняя грань берется по всевозможным разбиениям отрезка [,]. Эта величина s называется длиной кривой.

Пример непрерывной, не спрямляемой кривой.



5 2.png

Рис. 5.2

Длина основания очередного прямоугольника равна половине длины основания соседнего прямоугольника справа. Число звеньев ломаной, вписанной в прямоугольник берется таким, чтобы длина участка ломанной, попавшей в прямоугольник была > 1.



Теорема 1. Кривая, составленная из двух спрямляемых кривых спрямляема и ее длина равна сумме длин исходных компонент.

Доказательство. Пусть  = +. Для любого разбиения кривой существуют разбиения ,  кривых ,  такие, что ( , )  ( , )+( , ) . На рисунке на участке стыка двух кривых хорда AB заменяется на две хорды AC и CB. Все остальные хорды разбиения кривой  оставляем без изменения



5 3.png

Рис. 5.3

Так как ABAC + CB , то отсюда получаем соотношение для длин кривых ss + s. С другой стороны любая пара ,  разбиений кривых ,  образует разбиение кривой , так что ( , ) = ( , )+( , ) , поэтому справедливо обратное неравенство ss + s.



Теорема 2. Если криваянепрерывно дифференцируема, то она спрямляема и ее длина s удовлетворяет неравенству

,

где ,,

, ,,, t[,].

Доказательство. Пусть ={=t0<t1<…<tn=}, тогда по теореме Лагранжа

|r(tk+1r(tk)|==

= и

( - ) =( , )=



==

= ( - ).

Для верхней грани получим ( - ) s( - ).

Откуда и следуют требуемые неравенства.

Теорема 3. Если криваягладкая, то длина дуги s(t) от начала кривой до точки, соответствующей значению параметра t, является строго монотонно возрастающей, непрерывно дифференцируемой функцией и

=|r(t)|

Доказательство. На участке [t,t+t] по теореме 2 выполнены неравенства



(1)

5 4.png

Рис. 5.4

Требуемое равенство получится при переходе к пределу при t0, если учесть, что левая и правая части (1) будут иметь общий пределНапример, Строгое монотонное возрастание функции s(t) следует из условия выполненного для гладкой кривой.



Следствие 1. Для гладкой можно выбрать в качестве параметра длину дуги от начала кривой до данной точки s=s(t).

Действительно, для этой функции существует обратная t=t(s) и, следовательно, (t)= (t(s))

В этом случае |dr/ds|=|r(t)t(s)| =|s(t)t(s)|==1.

Следствие 2. dt, ds2=dx2+dy2+dz2, ds элемент длины дуги.

Пример. Длина цепной линии y = ch x .

Параметризацию кривой выберем в виде x = t, y = ch t , t[0, t0].

5 5.png

Рис. 5.5

s(t)=|r(t)|=|i + sh t j|==ch t. Таким образом, s(t) = (sh t) . Согласно следствия из теоремы Лагранжа s(t)=sh t + C. s(0)=0  s(t) = sh t .

5.3 Плоские кривые

Кривизна, радиус кривизны.

5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление

Рассмотрим концентрические окружности. Будем определять кривизну окружности радиуса R как величину k=1/R. Центром кривизны назовем центр окружности, а ее радиус – радиусом кривизны. Обобщим эти понятия на произвольную гладкую кривую. Рассмотрим гладкую кривую с параметризацией x(t), y(t), для краткости будем использовать обозначения:



x0=x(t0), x=x(t), y0=y(t0),y=y(t),u0=x(t0), u=x(t), v0=y(t0), v=y(t).

В процессе рассмотрения t0 будет фиксирована, а t будет рассматриваться, как текущая точка. Составим уравнения нормалей в точках (x0,y0), (x,y).



..

Найдем точку пересечения этих прямых.



или

Умножим первое уравнение на u, а второе на v и сложим.

(uv0 - vu0)p = u(x0-x) + v(y0y) откуда

.

Далее перейдем к пределу при tt0 (uu0, vv0). Получим



.

Подставляя найденной значение параметра для предельной точки пересечения нормалей, получим координаты предельной точки





Полученная таким образом точка называется центром кривизны кривой в заданной точке, а расстояние от этой точки до центра кривизны называется радиусом кривизны.



Величина обратная радиусу кривизны называется кривизной

.

5 6.png

Рис. 5.6

Окружность с центром в (X0,Y0) и радиуса R0 называется соприкасающейся окружностью.

5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой

Рассмотрим кривую , заданную в виде y = f(x), x[a,b]. В качестве параметризации выберем x = t, y = f(t), t[a,b]. Тогда





5.3.3.Порядок соприкосновения кривых

Пусть 1 , 2 представлены функциями y=f1(x), y=f2(x) и пересекаются в точке (x0, y0). Кривые 1 , 2 имеют порядок соприкосновения n в точке (x0, y0), если



, для всех k=0,1,…,n, и .

Достаточными условиями для того, чтобы кривые имели порядок касания n являются следующие условия:

Функции n+1 непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x0 и

Для доказательства обозначим f(x)=f2(x) - f1(x). Тогда в окрестности точки x0 имеет место разложение по формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа тогда



k=0,1,…,n+1.

Таким образом, будут выполнены условия из определения порядка касания.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Наука, 1971.

  2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Т.1.– М.: Наука, 1968.

  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966.

  4. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1973.

5. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т.1. – М.: Высшая школа, 1973.

6. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1972.

7. Бугров Я. С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988.

8. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972.

10. Брудно А.Л., Теория функций действительного переменного. – М.: Наука, 1971.


11. Хавин В. П. Основы математического анализа. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной вещественной переменной. Издательство «Лань», 1998.

12. Маллас Дж. Реляционный язык пролог и его применение. – М.: Наука, 1990.



1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛеонард эйлер (1707—1783)
Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconИштирякова д. К
Математика. Часть Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие /...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconУважаемый студент! Вы изучили разделы математики: линейная алгебра, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и теория вероятностей
...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛ. С. Гордеев Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconТема Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛитература по дисциплине «Математический анализ»
Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Высшая школа, 1993
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconД. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconТема Дифференциальное исчисление функции одного аргумента. Применение производной к исследованию функции

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление icon§ Определение производной. Дифференцирование функций
Цель предлагаемой работы ЎЄ помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org