Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление

Определение. Кривая

 : tT

называется непрерывной, если непрерывны x(t), y(t), z(t). (Можно определять непрерывность в точке или на множестве).

Для заданной параметризации t[ , ] начало кривой – точка A(x(),y(),z()), конец кривой – точка B(x(),y(),z()).

Замкнутая кривая это кривая, у которой конец совпадает с началом.

Кривая называется непрерывно дифференцируемой, если функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы.

Гладкой называется кривая, которая непрерывно дифференцируема и для которой выполнено условие t : r(t)0.

Кусочно гладкая кривая – кривая, которая непрерывна и состоит из конечного числа гладких кусков.
5.2 Длина кривой
Длина кривой. Спрямляемость.
5.2.1.Спрямляемая кривая

Разбиенем отрезка [,] называется набор точек t₀ , t_{1 ,}…. t_n таких, что =t₀< t₁<….< t_n=. Разбиение отрезка будем обозначать ={=t₀< t₁<….< t_n= } .

Пусть  : r(t) -непрерывно дифференцируемая на [,] кривая и ={=t₀< t₁<….< t_n= } – некоторое разбиение отрезка [,]. Для данного разбиения можно построить вписанную ломаную с узлами в точках A_k=(x(t_k), y(t_k), z(t_k)), k=0,1,…,n. Радиус вектор в точку A_k обозначим r_k. Длину ломаной обозначим (,)

(,)=|r_k+1 – r_k|



Рис. 5.1

рисунок для плоского случая

Определение. Кривая  называется спрямляемой, если конечна точная верхняя грань , где точная верхняя грань берется по всевозможным разбиениям  отрезка [,]. Эта величина s называется длиной кривой .

Пример непрерывной, не спрямляемой кривой.

Рис. 5.2

Длина основания очередного прямоугольника равна половине длины основания соседнего прямоугольника справа. Число звеньев ломаной, вписанной в прямоугольник берется таким, чтобы длина участка ломанной, попавшей в прямоугольник была > 1.

Теорема 1. Кривая, составленная из двух спрямляемых кривых спрямляема и ее длина равна сумме длин исходных компонент.

Доказательство. Пусть  = +. Для любого разбиения  кривой  существуют разбиения ,  кривых ,  такие, что ( , )  ( , )+( , ) . На рисунке на участке стыка двух кривых хорда AB заменяется на две хорды AC и CB. Все остальные хорды разбиения кривой  оставляем без изменения

Рис. 5.3

Так как AB  AC + CB , то отсюда получаем соотношение для длин кривых s  s + s. С другой стороны любая пара ,  разбиений кривых ,  образует разбиение  кривой , так что ( , ) = ( , )+( , ) , поэтому справедливо обратное неравенство s  s + s.

Теорема 2. Если кривая  непрерывно дифференцируема, то она спрямляема и ее длина s удовлетворяет неравенству

,

где ,,

, ,,, t[,].

Доказательство. Пусть ={=t₀<t₁<…<t_n=}, тогда по теореме Лагранжа

|r(t_k+1 –r(t_k)|==

= и

( - ) = ( , )=

==

= ( - ).

Для верхней грани получим ( - )  s  ( - ).

Откуда и следуют требуемые неравенства.

Теорема 3. Если кривая  гладкая, то длина дуги s(t) от начала кривой до точки, соответствующей значению параметра t, является строго монотонно возрастающей, непрерывно дифференцируемой функцией и

=|r(t)|

Доказательство. На участке [t,t+t] по теореме 2 выполнены неравенства

(1)



Рис. 5.4

Требуемое равенство получится при переходе к пределу при t0, если учесть, что левая и правая части (1) будут иметь общий пределНапример, Строгое монотонное возрастание функции s(t) следует из условия выполненного для гладкой кривой.

Следствие 1. Для гладкой  можно выбрать в качестве параметра длину дуги от начала кривой до данной точки s=s(t).

Действительно, для этой функции существует обратная t=t(s) и, следовательно, (t)= (t(s))

В этом случае |dr/ds|=|r(t)t(s)| =|s(t)t(s)|==1.

Следствие 2. dt, ds²=dx²+dy²+dz², ds – элемент длины дуги.

Пример. Длина цепной линии y = ch x .

Параметризацию кривой выберем в виде x = t, y = ch t , t[0, t₀].



Рис. 5.5

s(t)=|r(t)|=|i + sh t j|==ch t. Таким образом, s(t) = (sh t) . Согласно следствия из теоремы Лагранжа s(t)=sh t + C. s(0)=0  s(t) = sh t .

5.3 Плоские кривые

Кривизна, радиус кривизны.

5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление

Рассмотрим концентрические окружности. Будем определять кривизну окружности радиуса R как величину k=1/R. Центром кривизны назовем центр окружности, а ее радиус – радиусом кривизны. Обобщим эти понятия на произвольную гладкую кривую. Рассмотрим гладкую кривую с параметризацией x(t), y(t), для краткости будем использовать обозначения:

x₀=x(t₀), x=x(t), y₀=y(t₀),y=y(t),u₀=x(t₀), u=x(t), v₀=y(t₀), v=y(t).

В процессе рассмотрения t₀ будет фиксирована, а t будет рассматриваться, как текущая точка. Составим уравнения нормалей в точках (x₀,y₀), (x,y).

..

Найдем точку пересечения этих прямых.

или

Умножим первое уравнение на u, а второе на –v и сложим.

(uv₀ - vu₀)p = u(x₀-x) + v(y₀ – y) откуда

.

Далее перейдем к пределу при tt₀ (uu₀, vv₀). Получим

.

Подставляя найденной значение параметра для предельной точки пересечения нормалей, получим координаты предельной точки

Полученная таким образом точка называется центром кривизны кривой в заданной точке, а расстояние от этой точки до центра кривизны называется радиусом кривизны.

Величина обратная радиусу кривизны называется кривизной

.



Рис. 5.6

Окружность с центром в (X₀,Y₀) и радиуса R₀ называется соприкасающейся окружностью.

5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой

Рассмотрим кривую  , заданную в виде y = f(x), x[a,b]. В качестве параметризации выберем x = t, y = f(t), t[a,b]. Тогда

5.3.3.Порядок соприкосновения кривых

Пусть ₁ , ₂ представлены функциями y=f₁(x), y=f₂(x) и пересекаются в точке (x₀, y₀). Кривые ₁ , ₂ имеют порядок соприкосновения n в точке (x₀, y₀), если

, для всех k=0,1,…,n, и .

Достаточными условиями для того, чтобы кривые имели порядок касания n являются следующие условия:

Функции n+1 непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x₀ и

Для доказательства обозначим f(x)=f₂(x) - f₁(x). Тогда в окрестности точки x₀ имеет место разложение по формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа тогда

k=0,1,…,n+1.

Таким образом, будут выполнены условия из определения порядка касания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Наука, 1971.
   
2. 
   Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Т.1.– М.: Наука, 1968.
   
3. 
   Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966.
   
4. 
   Никольский С. М. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1973.
   

5. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т.1. – М.: Высшая школа, 1973.

6. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1972.

7. Бугров Я. С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988.

8. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972.

10. Брудно А.Л., Теория функций действительного переменного. – М.: Наука, 1971.

11. Хавин В. П. Основы математического анализа. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной вещественной переменной. Издательство «Лань», 1998.

12. Маллас Дж. Реляционный язык пролог и его применение. – М.: Наука, 1990.