1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия



Скачать 464.58 Kb.
страница1/12
Дата26.07.2014
Размер464.58 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12


Оглавление

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 2

2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка 24

3. Линейные уравнения высших порядков 52

4. Системы обыкновенных


дифференциальных уравнений 57

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Основные понятия


Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида

, (1.1)

где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальные» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин «обыкновенные» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x, искомую функцию и любые её производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n-го порядка. Например,

а) – уравнение первого порядка;

б) – уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

в) – уравнение второго порядка;

г) – уравнение первого порядка, образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения: .



Определение 2. Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество. Например, уравнение 3-го порядка

имеет решение .

Найти тем или иным приёмом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.

1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причём число констант совпадаёт с порядком уравнения: Общее решение может быть явно не разрешено относительно y(x): В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1). Например, общим решением дифференциального уравнения является следующее выражение:

,

причём второе слагаемое может быть записано и как , так как произвольная постоянная , может быть заменена новой произвольной постоянной .

Придавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определённую функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных констант, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при :

. (1.2)

В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причём общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.

1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1-го порядка


Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка () имеет вид: или (если его удаётся разрешить относительно производной) . Общее решение или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом можно найти частное решение, т.е. задача Коши будет решена. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива следующая теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема. Если в уравнении функция и её частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости XOY и в этой области задана точка , то существует (и притом единственное) решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию .

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: . Другими словами, уравнение задаёт на плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым.



Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме .
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Похожие:

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия iconОбыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем...
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
«Дифференциальные уравнения». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
Дифференциальные уравнения”. В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия iconОбыкновенные дифференциальные уравнения
Вопрос Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных для...
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия iconОбыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры
Курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения» является обязательным для студентов механико-математического факультета университета....
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 тр дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка и второго порядка, допускающие понижение порядка
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия icon01. 01. 02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Формула специальности: Специальность «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
Основными составными частями специальности являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными....
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия iconВариант I решить задачу Коши при начальных условиях
«Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org