Комплексные числа



Скачать 73.92 Kb.
Дата26.07.2014
Размер73.92 Kb.
ТипДокументы

Комплексные числа

Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных чисел. Впервые с необходимостью их введения математики столкнулись при изучении кубических уравнений. В XVI в. была получена общая формула для решения кубических уравнений вида :



.

(формула Кардано). Но оказалось, что если указанное уравнение имеет три действительных корня, то выражение будет отрицательным. Следовательно, чтобы найти корни уравнения в этом случае необходимо выполнить действия с числом вида (где ), или, что то же, с числом вида . Такие выражения получили название комплексных чисел и в дальнейшем стали широко применяться во многих разделах математики и ее приложениях.



1. Определение и различные формы записи
комплексного числа



1) Определение комплексного числа.

Пусть символ обозначает число, квадрат которого равен , т.е.



.

Символ называют мнимой единицей. Выражение вида , где – действительные числа, называют комплексным числом. При этом, называют действительной частью числа , – его мнимой частью. Действительную и мнимую части числа обозначают обычно и соответственно, т.е. и .

Комплексное число вида (где ) принято называть чисто мнимым и записывать в виде . Комплексные числа и (т.е. числа, которые отличаются только знаком мнимой части), называют комплексно сопряженными. Если одно из этих чисел обозначено через , то другое принято обозначать .

Пусть , . Комплексные числа и называются равными (записывают: ), если соответственно равны их действительные и мнимые части, т.е. если и . При этом полагают, что и .

Последнее равенство позволяет рассматривать действительные числа как подмножество множества комплексных чисел.

2) Геометрическая форма записи комплексных чисел.

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости в виде точки . Причем соответствие между комплексными числами и точками плоскости будет взаимно однозначным. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью. Ось комплексной плоскости называют действительной осью, так как точкам оси соответствуют действительные числа. Точки, лежащие на оси , изображают чисто мнимые числа. Поэтому ось комплексной плоскости называют мнимой осью.

Расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат , называют модулем комплексного числа и обозначают . Очевидно, что и .

Величину угла между вектором и действительной осью называют аргументом комплексного числа (при этом берут со знаком «плюс» если поворот от оси к вектору осуществляется против часовой стрелки, и со знаком «минус» – в противном случае). Очевидно, что аргумент данного комплексного числа () определен неоднозначно, причем любые два значения аргумента отличаются на величину, кратную . Множество значений аргумента числа обозначают ; значение аргумента, принадлежащее промежутку , обозначают и называют главным значением аргумента. Для аргумент не определен.



Пусть , , – аргумент . Очевидно, что

, .

Но тогда комплексное число можно записать в виде










. (1)

Запись комплексного числа в виде принято называть алгебраической формой записи комплексного числа, а запись в виде тригонометрической формой записи.

На практике нередко приходится переходить от одной формы записи комплексного числа к другой. Такой переход не представляет трудности. Действительно, если число записано в виде , то его действительная часть и мнимая часть находятся по формулам:

, .

Если число записано в виде , то его модуль и аргумент находятся по формулам



,

ПРИМЕР. 1) Записать в тригонометрической форме.

Находим модуль и аргумент комплексного числа. Так как его действительная часть и мнимая часть , то

и .

Следовательно, .

2) Записать число в алгебраической форме.

Находим действительную и мнимую части числа . Так как его модуль , а аргумент , то



, .

Следовательно, .




2. Действия над комплексными числами



1) Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Складывая и вычитая выражения и как обычные многочлены, мы получим комплексные числа



и .

Их называют соответственно суммой и разностью чисел и (обозначают: и ). Аналогично, умножая и как обычные многочлены и учитывая, что , получим:



. (2)

Комплексное число в правой части формулы (2) называют произведением комплексных чисел и (обозначают: ). Произведение комплексных чисел, равных , называют –й степенью числа и обозначают .

ПРИМЕР. Пусть , . Тогда

,

,

,

.

Введенные выше операции сложения и умножения комплексных чисел обладают теми же свойствами, что сложение и умножение действительных чисел. А именно, легко убедиться в справедливости следующих равенств: 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .



Замечание. Комплексному числу мы поставили в соответствие точку комплексной плоскости . Но можно также ставить ему в соответствие и радиус-вектор . Такое соответствие тоже является взаимно однозначным, причем в этом случае операции сложения и вычитания комплексных чисел естественны с геометрической точки зрения. Действительно, сумме соответствует вектор (где , ), а разности соответствует вектор .

Операцию деления комплексных чисел вводят как обратную умножению: комплексное число называется частным чисел и (обозначают: ), если .

Пусть , и . Тогда

.

Из уравнений и

находим: и .

Таким образом,



.

Замечание. Тот же результат формально получится, если числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю, т.е. на :



.

В практических вычислениях пользуются именно этим приемом.


ПРИМЕР. Пусть , . Тогда

.
2) Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Умножение и деление комплексных чисел проще выполнять, если они записаны в тригонометрической форме. Действительно, пусть комплексные числа и заданы в тригонометрической форме:



, .

Перемножив их, получим:





.

Откуда, используя формулы для косинуса и синуса суммы, находим:



(3)

Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы – складываются.

Формула (3) очевидно остается верной для любого конечного числа множителей. В частности, при возведении числа в степень () получим

. (4)

Формулу (4) называют формулой Муавра.

Теперь разделим на . Получим



Но . Следовательно,



.

Откуда, используя формулы для косинуса и синуса разности, находим:



. (5)

Итак, при делении на получили комплексное число, модуль которого равен , а аргумент – .


ПРИМЕР. Пусть , .

Тогда ,



,

.
3) Извлечение корня из комплексных чисел.

Пусть – натуральное число. Корнем –ой степени из комплексного числа (обозначают: ) называют комплексное число , такое, что .

Пусть , . Тогда по определению и по формуле (5) получаем:

.

Отсюда ,



.

Таким образом, все корни –ой степени из комплексного числа могут быть найдены по формуле



, (6)

где .



Замечание. Формально в формуле (6) может принимать любое целое значение. Но угол и угол различаются на величину . Следовательно, при и мы получим по формуле (6) одно и то же комплексное число. Таким образом, различных значений корня будет только , и чтобы их найти достаточно взять в формуле (6) .

НАПРИМЕР. Найти все значения .

Обозначим значения через . Чтобы найти необходимо сначала записать комплексное число в тригонометрической форме. Имеем:

, ,

, ,

.

Теперь по формуле (9) находим



,

где . Или, более подробно:



,

,

,

.




Похожие:

Комплексные числа iconУрок алгебры в 11 классе по теме «Комплексные числа»
Какие комплексные числа называются сопряженными? При выполнении какого действия чаще всего используют сопряженные числа?
Комплексные числа iconКомплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
Комплексные числа iconКомплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
Комплексные числа iconГосударственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальность 010100 Математика Квалификация Математик
Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности...
Комплексные числа icon1. Комплексные числа
Комплексные числа – упорядоченная пара (x; y) действительных чисел, если для множества этих чисел определяется равенство и операции...
Комплексные числа iconКомплексные числа. Комплексные числа и арифметические операции над ними
Арифметические операции над действительными числами ( сложении е, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля) снова...
Комплексные числа iconГосударственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальность 010500 Механика Квалификация Механик Москва 2000
Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности...
Комплексные числа icon«комплексные числа»
Поэтому в школьном курсе математики при решении квадратных уравнений, дискриминант которых меньше нуля, отмечалось, что такие уравнения...
Комплексные числа iconРешение задач с параметром на множестве комплексных чисел
Выбор темы: Комплексные числа математическая модель для описания и изображения материальных точек в решении прикладных задач по физике....
Комплексные числа icon«Комплексные числа в алгебраической форме, действия с ними. Сопряженные комплексные числа.»
Проверка домашнего задания : 4 учащихся выполняют одновременно заранее выписанные на доске 4 задания, предлагавшиеся на дом. В это...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org