Урок алгебры в 11 классе по теме «Комплексные числа»

1. Какие причины вызвали необходимость расширения множества действительных чисел?

2. Определить комплексное число (алгебраическая форма) [ a = bi; Re Z=a, Jm Z = b

i – мнимая единица]

Чисто мнимое число?

3. По карточкам 2 человека у доски.

№1

1) Записать формулы сложения, умножения комплексных чисел в алгебраической форме.

а) 4+3i
б) (-5+18; 3+30) = 13+33i

1. Рассмотрим степени мнимой единицы.

2. Выполнить действия:
+=+ i= - 1 = -1=-1= i-1
3. Найдите комплексное число из условия.

Z=3+4i

(x+yi)= x+2xyi-y= (x-y)+2xyi
3=xgif" name="object21" align=absmiddle width=15 height=20>- y, x-y=3, x- -3=0,

4=2xy ; y= ; y=.

x= - 1, x= 4, ReZ = x x - 1

5. Какие комплексные числа называют обратными данному? Запишите формулы для нахождения числа, обратного данному комплексному числу.

W==- i

6. Расскажите о геометрической интерпретации комплексных чисел точками координатной плоскости.

7. Расскажите о геометрической интерпретации комплексных чисел с помощью вектора (полярная система координат).

8. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа.

r==;



Аргумент определяется неоднозначно.

 ;  + 2n

Выбирается угол из (-; ] и обозначается arg Z – главный аргумент.

Cвойства модуля:

=
zz=²
=

9. Запишите комплексное число в тригонометрической форме.

а) i ;

б)-i;

а) r= =1 cos ==0 =

sin==1 =. i =cos+ i sin

б) r=1 cos ==0 =-

10. Записать формулы для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел в тригонометрической форме.

Найдите все значения .

Решение:

1. 
   -i= 0-I
   
2. 
   2) r===1
   

k=0 -

k=1 45

k=2 105

k=3 165

k=4 225=-180+45=-135

k=5 285=-90+15=-75
11. Доказать, что ни при каких значениях m комплексное число

log_{2 (m}²-13m+44)-2+i не может быть чисто мнимым.

log>0,

m >o.
1. m² –13m+44=4

m² –13m+40=0 m==

m ± 5, m=8.
2. m²-13m+44>0 d=169-176<0 m-любое.

3. 
   log₂m-3>0, log₂m>3 m>9
   

log(m²-13m+44)-2 0

Z₁=lg(2x²+x+1)+4^xi и lg(x²+1)+(2^x+1-3)i являются сопряженными?

lg(2x²+x+1)= lg(x²+1), 2x²+x+1= x²+1

t²+2t-3=0 t=-3,1

2^x=1 x=0

Ответ:

12. На координатной плоскости постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) Rez + 1mz2,

б) Rez2,