Рабочая программа курса «Числовые системы»

2007/2008 уч.год.

Протокол № от

профессор В.Г.Чирский

Рабочая программа курса «Числовые системы»

для студентов III курса по специальностям

«информатика с дополнительной специальностью математика» и «математика с дополнительной специальностью информатика»

Тема	Лекции (часы)	Семинары (часы)
Аксиоматические теории. Аксиоматические теории. Формальные и неформальные аксиоматические теории. Схема построения неформальной аксиоматической теории. Интерпретация и модель аксиоматической теории. Формулировка аксиоматической теории. Свойства аксиоматических теорий: непротиворечивость, категоричность, полнота, независимость.	1
Аксиоматическая теория натуральных чисел. Система натуральных чисел как алгебраическая система с двумя тернарными и одним унарным отношениями. Первичные термины и аксиомы. Свойства сложения и умножения. Порядок на множестве натуральных чисел. Теоремы, подготавливающие введение порядка. Определение отношений >, < во множестве N. Линейно и строго упорядоченное полукольцо. Теорема о дискретности. Теорема Архимеда. Отрезок натурального ряда, начальный отрезок натурального ряда. Наибольший и наименьший элемент множества. Ограниченное множество. Теоремы о наибольшем и наименьшем элементах. Теорема об однозначности линейного и строгого порядка в N. Конечные множества и их свойства. Теоремы о конечных множествах. Бесконечные и счётные множества. Кратные элементы полугруппы. Теорема о кратных элементах полугруппы. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел. Независимость аксиомы индукции и её роль в обосновании арифметики. Система аксиом Пеано. Эквивалентность двух формулировок аксиоматической теории натуральных чисел.	12	14
Упорядоченные системы. Упорядоченные полугруппы, группы, полукольца, кольца, тела, поля и их свойства. Положительный элемент упорядоченного полукольца. Архимедов порядок. Критерий линейно строго упорядоченного кольца. Критерий однозначности линейного и строгого порядка в кольце. Критерий продолжения порядка. Примеры колец с неоднозначным или неархимедовым порядком. Пример поля, допускающего бесконечно много упорядочиваний. Теорема о линейно и строго упорядоченном поле.	5	4
Аксиоматическая теория целых чисел. Аксиоматическое определение. Свойства целых чисел. Теорема о порядке кольца целых чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел.	4	2
Аксиоматическая теория рациональных чисел. Система аксиом, определяющих рациональные числа. Свойства рациональных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел.	1	4
Последовательности в нормированных полях. Нормированное поле. Примеры норм: тривиальная, естественная, р-адическая нормы. Теоремы о свойствах нормы. Ограниченная, фундаментальная, сходящаяся последовательности, эквивалентные последовательности, нулевая последовательность. Подпоследовательность последовательности. Теоремы о свойствах последовательностей в нормированных полях. Примеры последовательностей с бесконечным множеством пределов, последовательностей, сходящихся (ограниченных, фундаментальных) относительно одного подполя и расходящихся (неограниченных, нефундаментальных) относительно другого подполя; фундаментальных, но неограниченных последовательностей.	6	6
Аксиоматическая теория действительных чисел. Первичные термины и аксиомы. Свойства действительных чисел. Теорема о двойной последовательности. Теорема о существовании корня натуральной степени из положительного числа. Теорема о сечении. Теорема о порядке. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории действительных чисел.	5	6
Аксиоматическая теория комплексных чисел. Первичные термины и аксиомы. Свойства комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел.	2
Итого:	36	36

Литература: В.И.Нечаев «Числовые системы».

С. Феферман «Числовые системы».

Иконникова Т.К.