Рабочая программа По курсу «Геометрия и алгебра», для студентов фмф

зав. кафедрой алгебры

___________________

«___»_________2010г.

Рабочая программа

По курсу «Геометрия и алгебра», для студентов ФМФ (1 курс 1 семестр, 2010-2011 учебный год).

Общий объем курса 100 часов, из них 50 часов лекций, 34 часов семинарских занятий.

Программу разработал Чиспияков Сергей Валентинович.

Лекция 1.	Множество. Операции над множествами. Подмножества. Метод встречных включений. Свойства операций над множествами. Мощность множеств. Метод включения и исключения.	Практическое занятие 1.	Множества. Метод встречных включений. [2] 1.5, 1.7 (1,3,5), 1.10 (1,3), 1.11 (1,3,5,7,9,1), [5] 1 (1,3,5,7,9). Д/з. [2] 1.7 (2,4), 1.10 (2), 1.11 (2,4,6,8), [5] 1 (2,4,6,8,10).
Лекция 2.	Прямое произведение множеств. N-арное отношение. Бинарное отношение. Свойства бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества отношением эквивалентности.	Практическое занятие 2.	Свойства операций над множествами. Метод включения и исключения. [2] 1.12 (1,3,5), 1.13 (1,3), 1.14 (1,3,5), [5] 3 (21, 23, 25, 27, 29). Д/з. [2] 1.12 (2,4), 1.13 (2,4), 1.13 (2,4), [5] 3 (22, 24, 26, 28, 30).
Лекция 3.	Отношение порядка. Композиция бинарных отношений. Инверсное отношение. Ассоциативность композиции бинарных отношений.	Практическое занятие 3.	Бинарное отношение. Свойства бинарных отношений. Отношение порядка. [2] 1.34 (1), 1.35 (1,3,5), 1.36 (1,3), 1.40 (1,3,5), [5] 8 (71, 73, 75, 77, 79). Д/з. [2] 1.34 (2), 1.35 (2,4), 1.36 (2,2), 1.40 (2,4,6), [5] 8 (72, 74, 76, 78,80).
Лекция 4.	Функциональное отношение. Область определения и область значения. Свойства функциональных отношений. Тождественное отношение. Свойства тождественного отношения. Композиция функциональных отношений. Обратная функция. Теорема об обратной функции.	Практическое занятие.	Отношение эквивалентности. Композиция бинарных отношений. Инверсное отношение. [2] 1.40 (1,3,7), 1.57 (1,3), [5] 9 (81, 83, 85, 87) д/з [2] 1.42 (12), 1.50, 1.51, 1.57 (2), [5] 9 (82,84,86,88,90).	Самостоят.
Лекция 5.	Аксиомы Пеано. Принцип математической индукции. Метод математической индукции. Множество натуральных чисел	Практическое занятие 4.	Функциональное отношение. Свойства функциональных отношений. Композиция функциональных отношений. [2] 1.52 (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13). д/з . [2] 1.52 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14).
Лекция 6.	Бинарные алгебраические операции. Свойства бинарных алгебраических операций. Алгебры. N-арные алгебраические операции. Группоид, полугруппа, моноид, группа.	Практическое занятие.	Обратная функция.	Самостоят.
Лекция 7.	Группа. Подгруппа. Критерий подгруппы. Простейшие свойства группы.	Практическое занятие 5.	Бинарные алгебраические операции. Свойства бинарных алгебраических операций. [2] 2.1 (1,2,3,4,5,6), 8.2, 8.3 (1,3,5,7), 8.4 (1,3), 8.5 (3,5,7). д/з [2] 2.1 (7,8,9), 8.3 (2,4,6), 8.5 (4,6,8).
Лекция 8.	Кольцо. Подкольцо. Критерий подкольца. Простейшие свойства колец. Гомоморфизмы колец.	Практическое занятие 6.	Группа. Подгруппа. Критерий подгруппы. [2] 8.12, 8.14 (6,7,8), 8.15 (1,3,5), 8.16 (1,2). д/з 8.14 (2,9), 8.15 (2,4), 8.16 (3,4).
Лекция 9.	Поле. Подполе. Критерий подполя. Простейшие свойства полей.	Практическое занятие .	Гомоморфизмы, изоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма групп. [2] 8.70 (1,3,5,7,9). д/з [2] 8.70 (2,4,6,8).	Самостоят.
Лекция 10.	Гомоморфизмы, эпиморфизмы, изоморфизмы групп, колец, полей. Ядро и образ гомоморфизма групп.	Практическое занятие 7.	Кольцо. Подкольцо. Критерий подкольца. [2] 9.1 (5,7,9,11), 9.2 (5,7). д/з [2] 9.1 (6,8,10,12), 9.2 (6,8).
Лекция 11.	Поля конечной характеристики. Поля Галуа GF(pn).	Практическое занятие 8.	Область целостности. Поле. Подполе. Критерий подполя. [2] 9.16, 9.17 (1,3,5), 9.18 (1,3,5), 9.29 (1,3,5). д/з [2] 9.17 (2,4,6), 9.18 (2,4,6), 9.29 (2,4,6).
Лекция 12.	Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексных чисел. Комплексная плоскость.	Практическое занятие 9.	Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексных чисел. [2] 2.4 (1,3,5,7), 2.15 (1,3,5), 2.16 (1,3,5), 2.26 (1,3,5). д/з [2] 2.4 (2,4), 2.15 (2,4), 2.16 (2,4), 2.26 (2,4).
Лекция 13.	Тригонометрическая форма комплексных чисел. Формула Муавра. Экспоненциальная форма комплексных чисел.	Практическое занятие 10.	Контрольная работа № 1.
Лекция 14.	Векторное пространство. Подпространство. Критерий подпространства. Простейшие свойства векторных пространств. Линейно зависимая, линейно не зависимая система векторов. Базис векторных пространств. Координаты вектора в базисе. Гомоморфизмы векторных пространств.	Практическое занятие 11.	Векторное пространство. Подпространство. Критерий подпространства. Базис векторных пространств. Координаты вектора в базисе. [2] 4.7 (1,3,5), 4.14 (1,3), 4.22 (1,3,5) д/з [2] 4.7 (2,4), 4.14 (2), 4.22 (2,4)
Лекция 15.	Системы линейных уравнений. Совместная, несовместная система уравнений. Определенная, неопределенная система уравнений. Теорема о количестве корней однородной системы уравнений.	Практическое занятие 12.	Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. [2] 4.18 (1,3,5,7,9,11) д/з [2] 4.18 (2,4,6,8,10)
Лекция 16.	Векторные пространства со скалярным умножением. Нулевое скалярное умножение. Существование ненулевого скалярного умножения векторов. Стандартное скалярное умножение векторов.	Практическое занятие.	Скалярное произведение векторов. [2] 4.78 (1,3,5), 4.79 (1), 4.85 (1,3). д/з [2] 4.78 (2,4), 4.79 (2), 4.85 (2).	Самостоят.
Лекция 17.	Ортогональный базис. Дополнение ортогональной системы векторов до ортогонального базиса.	Практическое занятие 13.	Ортогональный базис. Процесс ортогонализации. [2] 4.92 (1). д/з [2] 4.92 (2).
Лекция 18.	Евклидово векторное пространство. Теорема Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Ортонормированный базис в Евклидовом пространстве.	Практическое занятие 14.	Ортонормированный базис в Евклидовом пространстве. Процесс ортонормирования [2] 4.94 (1), 4.97 (1). д/з [2] 4.94 (2), 4.97 (2).
Лекция 19.	Скалярное умножение в евклидовых пространствах с ортонормированным базисом. Изоморфизм евклидовых векторных пространств одной размерности.	Практическое занятие.	Дополнение ортогональной системы векторов до ортогонального базиса. [2] 4.93 (1). д/з [2] 4.93 (2).	Самостоят.
Лекция 20.	Ортогональное дополнение векторного пространства со скалярным умножением. Обратимые операторы.	Практическое занятие 15.	Операции над матрицами. Обратная матрица. [2] 3.2 (1), 3.3 (1,3,5), 3.4 (1,3), 3.38 (3,5). д/з [2] 3.2 (2), 3.3 (2,4,6), 3.4 (2), 3.38 (4,6).
Лекция 21.	Матрица. Операции над матрицами. Вырожденная матрица. Невырожденные элементарные преобразования строк матрицы. Условие невырожденности матрицы.	Практическое занятие.	Матричные уравнения. [2] 3.16 (1,3), 3.40 (1,3,5). д/з [2] 3.16 (2), 3.40 (2,4).	Самостоят.
Лекция 22.	Обратная матрица. Условие обратимости матрицы.	Практическое занятие 16.	Вычисление определителей. Правило Крамера. Формула обратной матрицы. [2] 3.30 (1,3,5,7), 3.33 (1,3), 3.34 (1) д/з [2] 3.30 (2,4,6), 3.33 (2,4), 3.34 (2) [2] 3.55 (1,3,5,7) д/з [2] 3.55 (2,4,6).
Лекция 23.	Перестановка. Теорема о четности перестановки. Определитель n-го порядка. Разложение определителя по строке, столбцу матрицы.	Практическое занятие 17.	Контрольная работа № 2.
Лекция 24.	Алгебраическое дополнение. Минор. Теорема о связи минора и алгебраического дополнения матрицы. Свойства определителей. Правило Крамера. Формула обратной матрицы.
Лекция 25.	Правило Крамера. Формула обратной матрицы. Матричные уравнения. Теорема о ранге матрицы.

Рекомендованная литература:

1. 
   Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. -559 с.
   
2. 
   Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высшая школа, 1982. -223 с.
   
3. 
   Фадеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. СПб.: Изд. «Лань», 2005. -288с.
   
4. 
   Анищенко А.Г. Методические рекомендации для студентов заочников 4 курса физико-математического факультета. Брянск 1989 г.
   
5. 
   Горбачев В.И., Иноземцева Т.М. Методические рекомендации для студентов заочников 1 курса ФМФ. Брянск 1991.
   
6. 
   Горбачев В.И. Методические рекомендации для студентов заочников 3 курса ФМФ. Брянск 1988.