Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки



Скачать 237.38 Kb.
Дата26.07.2014
Размер237.38 Kb.
ТипРабочая программа

НОУ ВПО «ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ»



РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Наименование дисциплины Линейная алгебра

Рекомендуется для направления подготовки

080100.62 – «Экономика»

Квалификации (степени) выпускника – бакалавр экономики



Москва

2011
Аннотация

программы учебной дисциплины

«Линейная алгебра»
1. Цели и задачи дисциплины: ознакомление с основными понятиями линейной алгебры, освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины, развитие четкого логического мышления. Дисциплина «Линейная алгебра» является основой для изучения других математических курсов, а также дает необходимый математический аппарат для изучения экономических дисциплин.
2. Место дисциплины в структуре ООП: учебная дисциплина «Линейная алгебра» входит в базовую часть цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин. Входные знания и умения студентов должны соответствовать курсу математики общеобразовательной школы. Дисциплина «Линейная алгебра» является предшествующей для следующих дисциплин: «Макроэкономика», «Микроэкономика», «Эконометрика», «Дифференциальные и разностные уравнения», «Методы оптимальных решений», «Методы моделирования и прогнозирования экономики», «Математические модели и методы оптимального управления», «Теория игр».
3. Требования к результатам освоения дисциплины: процесс изучения дисциплины направлен на формирование общекультурных компетенций: ОК-1 и ОК-4, а также профессиональных компетенций: ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-14, ПК-15.

В результате изучения дисциплины студент должен:



Знать: основные определения, понятия изучаемых разделов линейной алгебры.

Уметь: формулировать и доказывать основные результаты этих разделов.

Владеть: навыками решения типовых задач с применением изучаемого теоретического материала.
Объем, содержание, разделы, учебно-методическое и информационно-материальное обеспечение дисциплины
4.
Объем дисциплины и виды учебной работы



Вид учебной работы

Всего часов/ зачетных единиц

Семестры

1

2

1

2

3

4

Аудиторные занятия (всего)

116/3,2

116/3,2

-

В том числе:

-

-

-

Лекции

56/1,55

56/1,55

-

Семинары (практические занятия)

60/1,65

60/1,65

-

Самостоятельная работа (всего)

100/2,8

100/2,8

-

В том числе:

-

-

-

Самостоятельная работа

80/2,2

80/2,2

-

Выполнение домашних заданий

20/0,6

20/0,6

-

Вид промежуточной и итоговой аттестации

-

экзамен

-

Общая трудоемкость в часах

в зачетных единицах

216

216

-

6

6

-



5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов (тем) дисциплины




п/п

Наименование раздела (темы) дисциплины

Содержание раздела (темы)


1

2

3

1



Преобразования матриц и системы линейных уравне­ний.


Матрицы. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Алгоритм Гаусса. Системы линейных уравнений: основные понятия и определения. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух и трех неизвестных. Системы линейных однородных уравнений. Ненулевые решения системы линейных однородных уравнений. Фундамен­тальная система решений.

2

Определитель.


Понятие определителя квадратной матрицы. Вычисление определите­лей второго и третьего порядка. Основные свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема Лапласа и вычисление определителей разложением по строке (столбцу). Определитель транспонированной матрицы.

3

Линейные пространства.


Векторы на плоскости и в пространстве. Понятие n-мерного вектора. Линейные преобразования векторов (умножение вектора на число и сложение векторов). Аксиомы линейных преобразований. Понятие линейного (векторного) пространства. Линейная зависимость и независимость совокупности векторов. Размерность и базис линейного (векторного) пространства. Разложение вектора по векторам базиса.

4

Алгебра матриц.


Равенство матриц. Сумма матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Транспонирование матриц. Матричная запись системы уравнений. Основные свойства арифметических операций над матрицами. Понятие матрицы, обратной данной. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Обращение матриц. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера. Преобразование координат вектора при замене базиса.



1

2

3

5

Ранг матрицы.


Ранг матрицы. Ступенчатая матрица и ее ранг. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях матрицы и алгоритм Гаусса. Критерий линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы. Ранг произведения матриц. Определитель произведения матриц.

6

Структура множества реше­ний системы линейных уравнений.


Векторная запись системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных.

7

Линейные операторы.


Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора и его корни. Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными значениями.

8

Линейные, билинейные и квадратичные формы.


Формула линейного функционала. Понятие билинейной формы. Матрица билинейной формы. Матрица симметричной билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Единственность симметричной билинейной формы, порождающей квадратичную форму. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Критерии положительной определенности квадратичных форм.

9

Элементы аналитической геометрии.


Прямоугольная система координат на плоскости и координатный метод. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов. Общее уравнение прямой на плоскости. Угловой коэффициент прямой. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Каноническое и параметрическое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.




1

2

3







Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Общее уравнение плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых.

10

Евклидовы пространства.


Скалярное произведение и его основные свойства. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Норма (длина) вектора и ее свойства. «Угол» между векторами и ортогональность векторов. Линейная независи­мость попарно ортогональных векторов. Орто­гональная проекция вектора на подпространство. Построение ортонормированного базиса ортого­нализацией произвольного базиса. Матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе. Ортогональные матрицы. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.

11

Самосопряженные операторы.


Сопряженность операторов в евклидовом пространстве. Матрицы сопряженных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Ортонор­ми­рованный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Приведение квад­ра­тичной формы к каноническому виду.

12

Аффинные пространства.


Преобразование координат точки при замене системы координат. Линейные отображения. Линейные операторы, связанные с линейными отображениями. Геометрические свойства линейных отображений. Аффинные и изометрические отображения.



5.2. Разделы (темы) дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами




п/п


Наименование последующих дисциплин

Номера тем данной дисциплины, необходимых для изучения последующих дисциплин

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

Дифференциальные и разностные уравнения

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

-

2

Макроэкономика

-

+

+

+

-

+

+

+

+

+

-

-

3

Математические модели и методы оптимального управления

-

+

-

-

-

+

+

-

+

-

-

-

4

Методы моделирования и прогнозирования экономики

-

+

-

-

-

+

+

-

+

-

-

-

5

Микроэкономика

-

-

+

+

-

+

+

+

+

+

-

-

6

Методы оптимальных решений

-

+

-

-

-

+

+

-

+

-

-

-

7

Теория игр

-

+

-

-

-

+

+

-

+

-

-

-

8

Эконометрика

+

+

-

+

-

-

-

+

+

-

-

-


5.3. Разделы (темы) дисциплины и виды занятий




п/п

Наименование раздела (темы)

дисциплины

Часовой объем занятий по видам

Лекции

Семинары

СРС

Всего

1

2

3

4

5

6

1

Преобразования матриц и системы линейных уравнений

6

6

10

22

2

Определитель

6

6

10

22

3

Линейные пространства

6

8

10

24

4

Алгебра матриц

4

4

8

16

5

Ранг матрицы

4

4

8

16

6

Структура множества решений системы линейных уравнений

4

4

8

16

7

Линейные операторы

6

6

10

22

8

Линейные, билинейные и квадратичные формы

4

4

8

16

9

Элементы аналитической геометрии

6

8

10

24

10

Евклидовы пространства

4

4

8

16

11

Самосопряженные операторы

2

2

4

8

12

Аффинные пространства

4

4

6

14

ИТОГО:

56

60

100

216


6. Лабораторный практикум




п/п

раздела дисциплины

Наименование лабораторных работ

Трудоемкость (часы/зачетные единицы)



не предусмотрен


7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)

не предусмотрена


8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) Основная литература

  1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – М.: Изд. ВШЭ, 2007.

  2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, любое издание.

  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, любое издание.

  4. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. – М.: Дело, 2000.

  5. Налимов В.Н. Основы высшей математики для экономистов. Лекционный курс: Учебное пособие. – М.: Весть, 2006.

  6. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического анализа. /Под ред. Ефимова А.В. и Демидовича Б.П. – М.: Наука, любое издание после 1981 г.

  7. Налимов В.Н. Основы высшей математики для экономистов. Практические занятия (семинары): Учебное пособие. – М.: Весть, 2006.


б) Дополнительная литература

  1. Высшая математика для экономистов: Учебник. /Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001.

  2. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Изд. МГУ, 1998.

  3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971.

  4. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975.

  5. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1978.


9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Специально оборудованные кабинеты и аудитории: компьютерные классы, аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения.


10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
Контроль знаний и умений студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде домашних заданий и контрольной работы. Контрольная работа проводится в конце первого модуля. Все домашние задания должны быть сданы до проведения контрольной работы. Итоговый контроль осуществляется в виде письменного экзамена. Полный ответ (решение) каждого из 10 заданий экзамена приносит студенту одно очко. В случае неполного решения оценка может принимать значения между нулем и единицей. Например, арифметическая ошибка, не изменившая верного плана решения задания, приводит к штрафу 0,1. Отсутствие поясняющих примеров при ответе на теоретический вопрос приводит к штрафу 0,2 и т.д.

В зависимости от набранной суммы очков определяется оценка за экзамен по десятибалльной шкале. При этом используются следующие пороговые значения.




Сумма набранных очков

0

1,5

3

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

9

9,5

Оценка по 10-балльной шкале

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системе.


По десятибалльной шкале

По пятибалльной шкале

1 – неудовлетворительно

2 – очень плохо

3 – плохо

неудовлетворительно – 2



4 – удовлетворительно

5 – весьма удовлетворительно



удовлетворительно – 3

6 – хорошо

7 – очень хорошо



хорошо – 4

8 – почти отлично

9 – отлично

10 – блестяще

отлично – 5





Тематика домашних и контрольной работ
Домашние задания предназначены для контроля освоения студентами следующих основных компонентов курса:


  1. Основные понятия и определения.

    1. Преобразования матриц и системы линейных уравнений.

      1. Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений.

      2. Элементарные преобразования матриц.

      3. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные.

    2. Определители и их вычисление.

    3. Линейное (векторное) пространство.

      1. Подпространство линейного пространства.

      2. Линейная оболочка системы векторов.

      3. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

      4. Базис и координаты векторов.

      5. Размерность линейного пространства.

    4. Арифметические операции над матрицами.

      1. Сумма матриц.

      2. Умножение матрицы на число.

      3. Произведение матриц.

      4. Обратная матрица и обращение матриц.

    5. Матрица перехода.

    6. Ранг матрицы и его отыскание.

    7. Фундаментальная система решений.

  2. Методы решения некоторых классов задач линейной алгебры.

    1. Приведение матриц к ступенчатому виду. Алгоритм Гаусса.

    2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

    3. Определитель и его основные свойства.

    4. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).

    5. Обращение матриц.

    6. Вычисление координат векторов.

    7. Построение базиса линейного пространства.

    8. Преобразование координат при замене базиса.

    9. Ранг матрицы и его отыскание с помощью алгоритма Гаусса.

    10. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов).

    11. Построение фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений.

    12. Построение множества решений системы линейных уравнений.

    13. Выбор главных и свободных неизвестных.


Контрольная работа предназначена для проверки качества освоения студентами следующих компонентов дисциплины:


  1. Основные понятия и определения.

    1. Преобразования матриц и системы линейных уравнений.

      1. Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений.

      2. Элементарные преобразования матриц.

      3. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные.

    1. Определители и их вычисление.

    2. Линейное (векторное) пространство.

      1. Подпространство линейного пространства.

      2. Линейная оболочка системы векторов.

      3. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

      4. Базис и координаты векторов.

      5. Размерность линейного пространства.

    3. Арифметические операции над матрицами.

      1. Сумма матриц.

      2. Умножение матрицы на число.

      3. Произведение матриц.

      4. Обратная матрица и обращение матриц.

    4. Матрица перехода.

    5. Ранг матрицы и его отыскание.

    6. Фундаментальная система решений.

  1. Методы решения некоторых классов задач линейной алгебры.

    1. Приведение матриц к ступенчатому виду. Алгоритм Гаусса.

    2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

    3. Определитель и его основные свойства.

    4. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).

    5. Обращение матриц.

    6. Вычисление координат векторов.

    7. Построение базиса линейного пространства.

    8. Вычисление размерности пространства.

    9. Преобразование координат при замене базиса.

    10. Ранг матрицы и его отыскание с помощью алгоритма Гаусса.

    11. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов).

    12. Исследование совместности системы линейных уравнений.

    13. Построение фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений.

    14. Построение множества решений системы линейных уравнений.

    15. Выбор главных и свободных неизвестных.

Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в пособии [1] (раздел «Некоторые экзаменационные задачи»), учебнике [4] (раздел «Практикум») и в сборнике [6].


Типовой вариант домашнего задания


  1. Найдите решение (методом обратной матрицы, по формулам Крамера и методом Гаусса) системы линейных уравнений:



  1. Представьте как выражение главных неизвестных через свободные общее решение системы линейных уравнений:



  1. Вычислите определитель: .

  2. Даны матрицы Найдите следующие произведения матриц: в тех случаях, когда операция умножения определена.

  3. Найдите координаты вектора относительно базиса , если известны его координаты (50; 48) относительно базиса , причем

  4. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:



  1. Установите, можно ли образовать базис четырехмерного пространства из векторов:

  2. Векторы; заданы координатами относительно некоторого базиса. Докажите, что системы векторов и являются базисами («старым» и «новым»). Найдите матрицу перехода от «старого» базиса к «новому».


Типовой вариант контрольной работы


  1. Найдите координаты вектора относительно базиса , если известны его координаты (−7, −3, −5) относительно базиса , а вектора базисов связаны соотношениями

  2. Представьте как выражения главных неизвестных через свободные решение системы линейных уравнений



  1. Вычислите определитель

  2. Решите матричное уравнение

  3. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:



  1. Найдите, при каких значениях вектор образует базис вместе с векторами .

  2. Установите, является ли совместной система уравнений:



Типовой вариант заданий экзаменационного билета


  1. Формулы Крамера решения систем линейных уравнений с невырожденной матрицей системы.

  2. Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам и , если векторы соответствуют ребрам этого параллелепипеда.

  3. Отрезок с концами в точках А(3, 5) и В(−12, −4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.

  4. Найдите ранги матриц АВ и ВА, если

  5. Методом обратной матрицы решите систему уравнений:



  1. Установите, компланарны ли векторы

  2. Найдите какой-нибудь базис в трехмерном пространстве векторов, перпендикулярных вектору (1, 2, 3).

  3. Могут ли матрицы и быть матрицами одного линейного оператора в различных базисах?

  4. В некотором базисе заданы векторы . Найдите угол (в градусах) между этими векторами.

  5. Вычислите площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы:

Настоящую Программу разработал: заведующий кафедрой матема­ти­че­ских и естественнонаучных дисциплин НОУ ВПО «ИМЭС» к.ф.-м.н., доцент Налимов Валерий Николаевич.
Программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры математи­ческих и естественнонаучных дисциплин НОУ ВПО «ИМЭС» (Протокол № 4 от 14 апреля 2011 года).
Программа утверждена на заседании Ученого Совета НОУ ВПО «ИМЭС» (Протокол № 9 от 28 апреля 2011 года).

Похожие:

Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки iconПримерная программа наименование дисциплины Алгебра и теория чисел Рекомендуется для направления подготовки
Место дисциплины в структуре ооп: Б. 2 Математический и естественнонаучный цикл, базовая часть
Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки iconРабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" Направление подготовки 010200 «Математика и компьютерные науки»
Дисциплина "Линейная алгебра" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,...
Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки iconУчебной дисциплины (модуля) Наименование дисциплины (модуля) История русского литературного языка Рекомендуется для направления подготовки
В процессе освоения данной учебной дисциплины обучающийся формирует и демонстрирует следующие компетенции
Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки iconРабочая учебная программа дисциплины (модуля) Линейная алгебра Направление подготовки 080100 Экономика Профиль подготовки
Дисциплина «Линейная алгебра» входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла подготовки бакалавра по направлению...
Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки iconПрограмма дисциплины «Линейная алгебра»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 Экономика,...
Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки iconУчебной дисциплины (модуля) Наименование дисциплины (модуля) Старославянский язык Рекомендуется для направления подготовки
Б. Общепрофессиональный цикл. Базовая часть. Профиль «Отечественная филология»
Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки iconУчебной дисциплины (модуля) Наименование дисциплины (модуля) Общая дидактика Рекомендуется для направления подготовки
«Преподавание филологических дисциплин (с указанием языка / языков и литературы/литератур)»
Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки iconУчебной дисциплины (модуля) Наименование дисциплины (модуля) Славянский язык (чешский) Рекомендуется для направления подготовки
Б. Профессиональный цикл. Вариативная часть. Профиль «Отечественная филология»
Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки iconУчебной дисциплины (модуля) Наименование дисциплины (модуля) Стилистика основного изучаемого языка Рекомендуется для направления подготовки
Конкретные задачи курса, способствующие реализации поставленной цели, предполагают
Рабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки iconУчебной дисциплины (модуля) Наименование дисциплины (модуля) Риторика Рекомендуется для направления подготовки
«Отечественная филология», основ теории текста и дискурса, стилистики и культуры речи, философии, культурологи
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org