Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова



Скачать 66.03 Kb.
Дата26.07.2014
Размер66.03 Kb.
ТипДокументы

УДК 519.68; 620.179.15; 681.3



Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков,

Т. В. Синькова

Институт проблем регистрации информации НАН Украины

ул. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина

Изучение построений сопряженных элементов в

гиперкомплексных числовых системах. Часть 1
Рассмотрены методы построения сопряженных чисел в различных гиперкомплексных числовых системах. Показано, что их свойства могут отличаться от свойств сопряженных в комплексной системе чисел.

Ключевые слова: гиперкомплексные числовые системы, сопряженный элемент, норма, мнимая единица.
Целью данной работы является исследование возможности построения со-пряженных элементов в различных гиперкомплексных числовых системах, что обеспечит выполнение операции деления в них.

Исторически гиперкомплексные числа возникли как развитие и обобщение комплексных чисел. Свойства гиперкомплексных чисел не совпадают со свойст-вами комплексных. Но при развитии теории гиперкомплексных чисел целесооб-разно стремиться к тому, чтобы она была возможно ближе к теории комплексных чисел.

Для комплексных чисел можно построить сопряженное число, или симметричное относительно вещественной оси. Сопряженное число определяется по простому правилу.

Если:
а = a1 + a2i, (1)


то:
= a1 – a2i . (2)

Пара сопряженных чисел обладает следующими двумя существенными свой-ствами.


© Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова

  1. Сумма сопряженных чисел есть число вещественное:


а + = 2 a1 R. (3)



  1. Произведение сопряженных чисел — есть также число вещественное, называемое нормой исходного и сопряженного чисел


a = a1 2 + a2 2 R. (4)
Для таких гиперкомплексных числовых систем второго порядка как система двойных чисел и система дуальных чисел, результаты совершенно аналогичны.

Если i 2 = + 1, то



= a1 a2i;

a gif" name="object5" align=absmiddle width=18 height=18> = a1 2 – a2 2 R;

a + = 2 a1 R.
Если же i 2 = 0, тогда:
= a1 – a2i;

a = a1 2 R;

a + = 2 a1 R.
Но для гиперкомплексных числовых систем второго порядка, у которых за-кон композиции

i = p + qi2,
правило определения сопряженного числа несколько сложнее. Действительно, пусть

a = a1 + a2i;

= х + yi ,
тогда

а + = a1 + x + (a2 +y)i; (5)

a = a1x + a2py + (a2x + (a1 + a2 q) y) i. (6)
Условия (3) и (4) дают систему:



a2 + y = 0;

a2x + (a1 + a2 q) y = 0,

решая которую, получим сопряженное число



= a1 + a2q – a2i. (7)
Выражение (7) дает обобщенное правило построения сопряженного числа для систем второго порядка с единицей в базисе. Действительно, при q = 0 и p =  1 или 0, (7) переходит в правило определения сопряженного элемента для комп-лексных, двойных и дуальных чисел.

Рассматривавшиеся до сих пор гиперкомплексные числовые системы содер-жат в базисе единичный элемент. Если число в таких гиперкомплексных число-вых системах таково, что все коэффициенты при неединичных базисных элемен-тах равны нулю, то считается, что это число — вещественное. Поэтому в гипер-комплексных числовых системах без единичного элемента в базисе целесооб-разно считать аналогом вещественного числа такое число, которое может быть представлено произведением вещественного числа на единичный элемент.

Рассмотрим в качестве примера гиперкомплексную числовую систему R R. Ее таблица умножения будет выглядеть






e1

e2

e1

e1

0

e2

0

e2

Единичный элемент такой гиперкомплексной числовой системы


E = e1 + e2. (8)

Тогда число вида




a = a1e1 + a1e2 = a1(e1 + e2) = a1E , (9)
где a1R, является аналогом вещественного числа. Найдем в такой системе выражение для сопряженного элемента. Пусть
a = a1e1 + a2e2;

= xe1 + ye2;
a + = (a1 + x)e1 + (a2 +y)e2; (10)
a = a1xe1a2ye2. (11)
Число a должно быть аналогом вещественного числа, то есть
a = N(e1 + e2). (12)
Требование того, что выражения (10) и (11) должны иметь вид (9), приводят к системе
(13)
решение которой x = a2, y = a1, и пара сопряженных имеет вид:
a = a1e1 + a2e2;
= a2e1 + a1e2.
Они обладают обоими свойствами сопряженных для комплексных чисел.

Рассмотрим гиперкомплексные числовые системы более высоких порядков. Здесь при построении сопряженных чисел возникает вопрос не только об их структуре, но и их количестве. Если в системах второго порядка сопряженные числа образуют пару, то в системах n-го порядка следует ожидать того, что сопряженные числа будут образовывать совокупности из п элементов. Об этом говорят и рассмотренные в работе [1] представления сопряженных чисел в триплексной и квадриплексной числовых системах. Но произведение всех п сопряженных чисел должно быть равно норме.

Для некоторых систем сопряженные элементы можно построить, анализируя структуру системы. Так, система квадриплексных чисел получается путем удвоения системы комплексных чисел системой комплексных чисел, то есть
a = a1 + ia2 , (14)
где:
a = a11 + ja12;

a2 = a21 + ja22;

i2 = –1, j2 = –1.
В этом случае число (14) имеет три сопряженных:
a = a11 + ia2 = a11 + ja12 + ia21 + ija22; ac2 = = a11ja12 + ia21ija22;
ac1 = a1ia2 = a11 + ja12 ia21ija22 ; ac3 = = a11ja12 ia21 + ija22.
Тогда можно показать, что:
R;
R.
Однако, попытки применить такой подход к другим гиперкомплексным чис-ловым системам, полученным удвоением, успеха не принесли. Методы построе-ния сопряженных чисел в таких системах, а также полупростых гиперкомплекс-ных числовых системах будут рассмотрены во второй части статьи.

1. Синьков М. В., Губарени Н.М. Непозиционные представления в многомерных числовых системах. — К. : Наук. думка, 1979. — 136 с.



Поступила в редакцию 15.03.02




38

Похожие:

Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconЯ. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова
Рассмотрено построение логарифмической функции от кватерниона. Предложен вывод основного выражения и сопоставление с логариф-мом...
Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconМ. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова
Рассмотрены новые применения квадриплексных чисел в таких важных областях как криптография с открытым ключом и цифровая фильтрация...
Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconМ. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, Т. В. Синькова
Целью работы является повышение эффективности моделирования различных процессов, описываемых такими дифференциальными уравнениями...
Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconМ. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
Рассмотрены алгоритмы проведения арифметических и алгебраических операций, построение таких нелинейностей как экспонента, тригонометрические...
Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconМ. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
Изучены особенности алгоритмов выполнения линейных и нелинейных операций в системе обобщенных комплексных чисел. Успешное решение...
Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconМ. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, П. В. Трубников
Одним из методов защиты информации является метод, близкий к криптографии с открытым ключом, который сводится к задаче сохранения...
Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconРедкоземельные элементы в щелочно-карбонатных метасоматитах северного урала
А. В. Калиновским (Калиновский, 1990; Калиновский, Суханов, 1985). Эти образования были отнесены им к полевошпатовым метасоматитам...
Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconА. А. Постникова
Уральского государственного педагогического университета (г. Екатеринбург, Россия)
Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconПетр Калиновский
Издание православного братства во имя Воздвижения Честного и Животворящего Креста Господня
Я. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconВ. А. Моцарт. Менуэт соль мажор (фортепиано, исполняет А. Бахчиев)
Д. Шостакович. Валь – шутка (флейта и фортепиано). Интермеццо, Мурзилка (фортепиано, исполнение В. Постникова)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org