Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012



страница11/12
Дата26.07.2014
Размер1.15 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Понятие поля. Поля классов вычетов


Особый тип колец с единицей представляют собой поля. При этом ноль кольца и его единица предполагаются различными. Другими словами, в поле должно быть по крайней мере два элемента.

Определение. Полем называется кольцо

  1. коммутативное,

  2. с единицей,

  3. каждый, отличный от нуля элемент которого обратим.

Из определения следует, что всякое поле должно быть кольцом, но не всякое кольцо обязано быть полем.

Примеры полей:

1. Поле рациональных чисел.

2. Поле вещественных чисел.

3. Поле комплексных чисел

4. Поле Z5.

Для поля всегда справедливы следующие утверждения:

1. В поле всегда разрешимы уравнения



ax = b, где a ≠ 0;

ya = b, где a ≠ 0, причем однозначно.

2. Если из поля Р исключить ноль, т.е. рассмотреть множество , то относительно перенесённых на это множество операций умножение из поля Р, множество представляет собой мультипликативную группу.



  1. В поле нет делителей нуля.

  2. Все числовые поля – бесконечные множества.

Исходя из свойств поля можно принять другое определение поля: полем называется множество, содержащее по крайней мере два элемента, на котором определено отношение равенства элементов, которые являются абелевой аддиктивной группой и все элементы которого без нулевого элемента, образуют мультипликативную группу.

Особую роль в современных приложениях алгебры в частности дискретной математике, играют поля классов вычетов, где модуль a ≠ 0.

Заметим, кольцо Zm будет полем тогда и только тогда, когда число простое. Значит, полями будут Z2, Z3, Z5, Z7, Z11, Z13 и т.д. Это конечные поля.

В этих полях при решении задач можно пользоваться многими методами, сформулированными и обоснованными при решении аналогичных задач в поле вещественных чисел.

Например, при решении систем линейных уравнений можно пользоваться методом Гаусса, методом Крамера, матричным методом. При исследовании системы линейных уравнений можно пользоваться теоремой Кронекера – Копелли, так как теорема о ранге матриц справедлива и для матриц заданных над полем Zp, где - простое число.

Приведем примеры решения одной из перечисленных задач.



  1. Решить систему в поле Z7, используя метод Крамера.

1).
Найдем основную и две дополнительные матрицы системы: , , .

2). Найдем определители найденных матриц



,

, .

3) Вывод: система решений не имеет, так как определитель основной матрицы равен нулю, а среди определителей дополнительных матриц есть отличные от нуля.


2. Исследовать систему:

в Z3

1). Найдем ранг обыкновенной матрицы системы:



rang A = 3, так как .

2). Найдем ранг расширенной матрицы системы:



rang A = 3, так как ранг расширенной матрицы может быть только либо равен рангу обыкновенной матрицы, либо быть больше его на 1, а четырем ранг матрицы В не может равняться, т.к. в матрице B всего три строки. < числа неизвестных.

Следовательно, система совместная, но неопределенная.

Так как поле, в котором задана система – конечное, то и решений эта система имеет конечное число, больше или равное 2. Найдем все решения этой системы. Для этого применим метод Гаусса:





, – множество решений заданной системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение хотелось бы привести слова У. У. Сайера, который пишет: «Стремительное развитие алгебры, как и любой другой ветви математики и естествознания, можно сравнить с буйным ростом тропического леса, сквозь который трудно пробраться. Конечно, познать всё невозможно, однако каждый специалист станет уверять Вас, что вы должны знать именно ту часть алгебры, которая ему кажется наиболее интересной. Ученый пользующийся математикой в своих исследованиях, должен отчетливо сознавать, что в математике будет сделано ещё очень много новых открытий, не имеющих никакого отношения к его собственным исследованиям, тем не менее он не должен пропустить того маленького открытия, которое может оказаться решающим для его работы.» (Математика в современном мире. Издательство «Мир», М., 1967. У.У. Сайер. Алгебра.)

Вопросы и упражнения

Вопросы и упражнения




        1. Привести примеры множеств:

а) конечных,

б) бесконечных,

в) пустых.


        1. Что значит «задать множество». Какими способами это можно сделать?

        2. Что такое «подмножество данного множества»? Привести пример.

        3. Существует ли хотя бы одно множество, не имеющее ни одного подмножества?

        4. Какие действия можно производить над множествами? Дать их определения.

        5. Что такое «декартовое произведение двух множеств»? Привести пример.

        6. Дать определения бинарного соответствия и бинарного отношения на множестве. Привести примеры бинарных отношений.

        7. Какое бинарное отношение называется эквивалентностью? Привести примеры бинарных отношений.

        8. Что такое «разбиение на данном множестве»?

        9. Как связаны между собой разбиения и эквивалентности на данном множестве?

        10. Как связаны между собой разбиения и эквивалентности на данном множестве?

        11. Что такое «отображение из одного множества в другое»? Привести пример.

        12. Какие виды отображений различают? Дать их определения и привести примеры.

        13. Как связаны между собой длина множества и количество перестановок этого множества и количество перестановок этого множества и количество подстановок этого множества?

        14. Как перемножают подстановки? Какими свойствами обладает это умножение? Какие имеются специальные подстановки?

        15. Дать определение делимости целого числа на целое число в. Какими свойствами обладает отношение делимости на ? Является ли оно эквивалентностью?

        16. Как читается теорема о делении с остатком на множестве целых чисел?

        17. Как построить разбиение множества по данному , где - натуральное число:

а) с помощью отношения сравнимости по ,

б) с помощью равноостаточности при делении целых чисел по .

Как связаны между собой полученные разбиения?


        1. Что такое «внутренняя бинарная операция на данном непустом множестве? Привести пример.

        2. Каким образом можно задать внутреннюю бинарную операцию на данном множестве? Привести примеры.

        3. Какими свойствами может обладать внутренняя бинарная операция:

а) алгебраичность,

б) коммутативность,

в) ассоциативность,

г) дистрибутивность относительно второй внутренней бинарной операции.

Дать определения и привести примеры.


        1. Какие специальныеи элементы может содержать множество относительно данной внутренней бинарной операции:

а) нейтральный элемент,

б) симметричный элемент к данному элементу,

в) симметризуемый элемент.

Дать определение и привести примеры.

23. Какой элемент множества называется:

а) нулем,

б) единицей,

в) противоположным к данному элементу,

г) обратным к данному элементу,

д) обратным элементом.

Дать определение, указать обозначения, привести примеры.

24. Дать 2 определения группы. Какая между ними взаимосвязь?

25. Привести примеры групп


  1. числовых

  2. нечисловых.

26. Сколько нейтральных элементов может быть в группе?

27. Сколько симметричных элементов может быть у данного элемента группы?

28. Может ли в группе иметься хотя бы один несимметричный элемент?

29.Существуют ли некоммутативные группы? Привести пример.

30. Какие группы называют конечными? Привести пример конечной группы.

31. Дать определение кольца. Привести примеры

а) числовых колец,

б) нечисловых колец.

32. какие типы колец Вам известны? Привести примеры.

33. Можно ли сказать, что в любом кольце ? Почему?

34. Какие элементы в кольце называются делителями нуля? Привести примеры.

35. В любом ли кольце есть делители нуля?

36. Какие простейшие свойства есть у элементов кольца?

37. Какая алгебраическая структура называется полем? Какая взаимосвязь между понятиями «кольцо» и «поле»? Привести примеры.

38. Имеются ли в поле делители нуля?

39. Какие кольца, поля называются конечными? Привести примеры.

40. Если поле имеет пять элементов, то сколько решений максимально может иметь уравнение с темя неизвестными?

41. Определить какие из операций f являются алгебраическими на следующих множествах A, какие из алгебраических операций коммутативны, ассоциативны?

1) A = 2N = {x | xN, x = 2n, nN}

а) f сложение натуральных чисел,

б) f умножение натуральных чисел.

2) A = {x | xN, x = 2n+1, nN}

а) f сложение натуральных чисел,

б) f умножение натуральных чисел.

3) A = R – {0}

а) f сложение вещественных чисел,

б) f умножение вещественных чисел.

4) A = RQ

а) f сложение вещественных чисел,

б) f умножение вещественных чисел.

5) A = {1}

а) f сложение натуральных чисел,

б) f умножение натуральных чисел.

6) A = {0, 1}

а) f сложение целых чисел,

б) f умножение целых чисел.

42. Укажите какие из следующих операций f являются алгебраическими на множестве A = {x | xR, x > 0}, какие из алгебраических операций коммутативны, ассоциативны?

1) afb = ,

2) afb = a + b – 1,

3) afb = ab2,

4) afb = ab,

5) afb =,

6) afb = loga b,

7) afb = max {a, b},

8) afb = | a b |.

43. Доказать, что операция f на множестве N алгебраическая и ассоциативна, если:

1) afb = НОД (a, b),

2) afb = НОК (a, b),

3) afb = min {a, b},

4) afb = a,

5) afb = 1.

44. Указать, какие из следующих множеств относительно указанных операций являются группами.

1) , f – обычное умножение.

2) , f – обычное умножение.

3) , f – обычное умножение.

4) , f – обычное умножение.

5) A = Q{0}, f – обычное умножение.

6) A = {x | xQ, x > 0}, f – обычное умножение.

7) A = 2Z, f – обычное умножение.

8) , f – обычное умножение.

45.Доказать что каждое из следующих множеств с заданной операцией (с помощью таблицы Кэли), является группой:

1. 2.

















































e



46. Доказать, что каждое из следующих числовых множеств с обычным сложением и умножением является кольцом (полем).

1) ,

2) ,

3) ,

4)

5)

47. Доказать, что множество со следующими операциями сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей:

1)

2) ,

Указать в каждом из этих колец обратимые элементы. В кольце с делителем нуля найти все делители нуля.

48. Выписать все перестановки 1) трёх элементов, 2) четырёх элементов.

49. Найти число инверсий в следующей перестановке и указать четность перестановки:

2, 4, 6,…, 2n, 1, 3, 5,…, 2n-1.

50. Найти произведение подстановок:

1) ,

2) ,

3) .

51. Найти подстановку Х, если

1) ,

2) ,

3) .

52. Найти частные и остатки при делении на 7 следующих чисел:

3,.5, 10, 35, 100, 0, -1, -7, -12, -50.

53. Найти частное и остатки при делении на -8 следующих чисел:

4, 6, 11, 32, 99, 0, -2, -15, -35.

54. Построить кольца Указать в них:

1) для каждого элемента противоположный элемент;

2) указать все обратимые элементы и для каждого из них обратный элемент;

3) показать, что все обратимые элементы в данном кольце мультипликативную группу;

4) указать среди перечисленных колец поля;

5) в каждом из указанных колец указать делители нуля.

55. Пусть Будет ли кольцом (полем) структура на М относительно обычных операций сложения и умножения вещественных чисел?

56. Доказать, что каждое из следующих числовых множеств с обычным сложением и умножением является кольцом:

1) ,

2) ,

3), a и b целые числа одинаковой чётности

Какие из этих колец содержат единицу? В таких кольцах укажите обратимые элементы.

57. Докажите, что каждое из следующих множеств матриц с обычным сложением и умножением является кольцом:

1) 2).

3) 4).

4)

5)

6)

7) , a, b. – целые числа одинаковой чётности

8)

9) .

Какие из этих колец коммутативны? Какие содержат единицу? В таких кольцах укажите обратимые элементы. В кольцах с делителем нуля найдите все делители нуля.

58 Решить систему линейных уравнений:

1) в 2) в , 3) в .

4) в . 5) в .
Образцы решения задач
ЗАДАЧА 1. Установить, является ли группой множество относительно операций f:



Решение. Для того, чтобы установить наличие на структуры группы, проверим выполнимость аксиомы группы:


  1. алгебраических операций f .

т.е операция f алгебраическая на множестве ,

  1. ассоциативность операции f




Операция f не является ассоциативной, т.к тождество ассоциативности нарушается, например, при



.

Следовательно, группой не является.


ЗАДАЧА 2. определить, является ли группой множество подстановок относительно обычного умножения подстановок, где





Решение

1 способ. Составим таблицу Кэли для умножения на







































































































  1. Алгебраичность операции. Все клеточки внутри таблицы заполнены элементами из , причем однозначно. Следовательно операция () – алгебраична.

  2. Существует нейтральный элемент при любом значении и.

  3. Операция () обратима, так как для любого значения ивсуществует :

Действительно, .



  1. Операция () ассоциативна, т.к. тождество ассоциативности выполняется при всех значениях . Действительно, пусть принимает значение принимает значение принимает значение , где a, b, c, d независимо друг от друга пробегают множество . Тогда

, следовательно, (xy)z = x(yz), т.е. умножение на ассоциативно.

Следовательно - группа.


1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Похожие:

Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и коммуникаций
Учебно- методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие по Новой истории стран Азии и Африки Брянск, 2008 Сагимбаев Алексей Викторович. Учебно-методическое пособие по курсу «Новая история стран Азии и Африки»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения Исторического факультета, обучающихся по специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов педагогических колледжей. Предлагаемый практикум является учебно-методическим пособием нового типа. Он активизирует познавательную деятельность обучаемого
Педагогика: практикум. Учебно-методическое пособие для студентов педагогических колледжей
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие по неорганической химии Алт гос техн ун-т им. И. И. Ползунова, бти. Бийск
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм обучения, изучающих курс "Неорганическая химия"
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов физико-математических специальностей вузов Балашов 2009 удк 004. 43 Ббк 32. 97
Данное учебно-методическое пособие состоит из лабораторных работ, которые условно можно разбить на несколько частей
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов 4 курса (озо, одо) специальности 050602. 65 «Изобразительное искусство»
О. А. Бакиева. Народный костюм Севера: Учебно-методическое пособие для студентов 4 курса очной и заочной формы обучения специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для преподавателей и студентов санкт-Петербург 2008 г
Данное учебно-методическое пособие мы рассматриваем как одно из средств, способствующих конструированию новой образовательной среды,...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности «Информатика»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «информатика», а также может использоваться...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org