Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012
|
Скачать 1.15 Mb.
|
2 способ. Из комбинаторики известно, что для множества состоящего из трёх элементов имеется в точности  различных подстановок и они образуют мультипликативную симметрическую группу. Множество  состоит из шести различных подстановок трёх элементов. Следовательно  - симметрическая группа.
ЗАДАЧА 3.Является ли кольцом (полем) множество Решение. Пусть 
Тогда Проверим выполнение аксиом кольца.
 следовательно,
 .
 , так как , т.е. сложение в  коммутативно.
так как
Если ноль  существует, то это элемент множества , т.е. имеет вид
 , и удовлетворяет условию для  ,
т.е т.е. 5. Симметризуемость операций сложения. Для каждого элемента Действительно, если  6. Алгебраичность умножения.
 
т.к 7. Ассоциативность умножения.
Так как 8. Умножение двояко диструбтивно относительно сложения.
Следовательно 9. Проверим, является ли это кольцо коммутативным.
10 Проверим, имеет ли кольцо К единицу Если е из К, то Решим линейную систему относительно неизвестных x и y методом Крамера:  ,  ,  .
 , т.к если бы  , то  и  должно быть иррациональным числом, что противоречит условию  . Значит, система имеет только одно решение, которое можно найти по формуле Крамера:  т.е.  . Следовательно,  ,т.к.  .Так как умножение в К коммутативно, то с выполнением  следует выполнение  .
Возьмем  т.е  , где и  удовлетворяют
 
Если Значит Решим систему методом Крамера относительно неизвестных х и у. ,  ,  .
Для указанных ограничений на Вывод: 2). Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С Задачник – практикум по алгебре. Ч1.М.: Просвещение, 1982.-79с. 3). Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра .М.: Просвещение, 1974.-144с. 4). Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник – практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1969. – 27 с. 5). Дорофеева А.В. Высшая математика. Гуманитарные специальности: Учебное пособие для вузов.- М.: Дрофа, 2003.-384с. 6) Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. - 495с. 7) Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959.-431с. 8) Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение. 1964. -183с. 9) Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. -332с. 10) Турецкий В.Я. Математика и информатика. -М.: Инфра 2001.- 557с. 11) Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984-416с. 12) Фадеев Д.К, Соминский И.С. Сборник задач по высшей Алгебре. М.: Наука 1977. - 228с. 13) Шнеперман Л.Б Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк. 1982.- 223. |
кольцом относительно обычных операций сложения и умножения вещественных чисел?
. Тогда 
,
т.е. 
т.е. 
где 
, т.е. 
.
существует в К элемент 
, удовлетворяющий условию
.
. Так как 
, то 
т.е. 
.
и 
т.е. 
, т.е. умножение двояко диструбтивно относительно сложения в К.
- кольцо.
в 
, т.е. 
.
, причем 
для 
Тогда
, т.е. 
.
существует в К, то 
и 
т.е. 
.
т.е
, 
. Значения х и у существуют в R, то Z необязательно. Например, при 
имеем 
, т.е. 
не обязан существовать в К для 
.
